第三章 应力分析与应变分析

第三章应力分析与应变分析3.1应力与点的应力状态3.1.1六个基本假设3.1.2外力3.1.3应力和内力3.1.4点的应力状态3.1.5张量与应力张量2/5/202313.1应力状态基本概念金属塑性加工是金属与合金在外力作用下产生塑性变形的过程，所以必须了解塑性加工中工件所受的外力及其在工件内的应力和应变。本章讲述变形工件内应力状态的分析及其表示方法。这是塑性加工的力学基础。2/5/20232型钢轧制2/5/20233轧辊的断裂2/5/20234锤锻过程2/5/20235飞机蒙皮的成形破裂起皱能否一次成形，用什么样的模具?变形量是否满足要求（厚度减薄量等）?

要想定量的研究变形过程，建立理论公式，在研究塑性力学行为时，必须采用一些假设。FF2/5/202363.1.1六个基本假设（1）连续性假设。变形体内均由连续介质组成，即整个变形体内不存在任何空隙。这样，应力、应变、位移等物理量都是连续变化的，可化为坐标的连续函数。

（2）匀质性假设。变形体内各质点的组织、化学成分都是均匀且相同的，即各质点的物理性能均相同，且不随坐标的改变而变化。（3）各向同性假设。变形体内各质点在各个方向上的物理性能、力学性能均相同，也不随坐标的改变而变化。（4）初应力为零假设。物体在受力之前是处于自然平衡状态，即物体变形时内部所产生的应力仅由外力引起。（5）体积力为零假设。体积力如重力、磁力、惯性力等与面力相比十分微小，可忽略不计。（6）体积不变假设。

物体在塑性变形前后体积不变。2/5/20237在塑性理论中，分析问题需要从静力学、几何学和物理学等角度考虑。静力学角度是从变形体中质点的应力分析出发、根据静力平衡条件导出应力平衡微分方程。几何学角度是根据变形体的连续性和匀质性假设，用几何的方法导出小应变几何方程。物理学角度是根据实验和基本假设导出变形体内应力与应变之间的关系式，即本构方程。此外，还要建立变形体由弹性状态进入塑性状态并使继续进行塑性变形时所具备的力学条件，即屈服准则。2/5/202383.1.2外力塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使其成形的一种加工方法。作用于金属的外力分为两类：面力或接触力：作用于金属表面的力，可以是集中的，但一般是分布的力。体积力：作用在金属物体的每个质点上的力。2/5/202391.面力作用力塑性加工设备的可动工具部分对工件所作用的力，用于使金属坯料产生塑性变形，又称主动力。可以实测或理论计算，用于验算设备强度和设备功率。在不同的加工工序中，可以是压力、拉力或剪切力。反作用力一般情况下，作用力与反作用力互相平行，并组成平衡力系。摩擦力沿工具和工件接触面切向阻碍金属流动的力，其方向平行于接触面，并与金属质点流动方向或流动趋势相反。摩擦力最大值不应超过金属的抗剪强度。摩擦力的存在往往会引起变形力的增加，对金属的塑性往往是有害的。正压力沿工具和工件接触面法向阻碍工件整体移动或金属流动的力，其方向垂直于接触面，并指向工件。2/5/2023102/5/2023112.体积力体积力是与变形体内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。对于一般的塑性成形过程，由于体积力与加工中的面力比较起来要小的多，在实际工程计算中一般可以忽略。但在高速加工时，如高速锤锻造、爆炸成形等，金属塑性流动的惯性力应该考虑。如锤上模锻时，坯料受到由静到动的惯性力作用，惯性力向上，有利于金属充填上模，故锤上模锻通常形状复杂的部位设置在上模。2/5/2023123.1.2外力外力体积力面力重力惯性力电磁力特点：分布在物体体积的外力，它作用在物体内部的每一个质点上特点：分布在物体表面的外力……作用力（主动力）反作用力约束反力摩擦力正压力2/5/2023133.1.3内力和应力内力：在外力作用下，物体内各质点之间产生的相互作用的力。应力：单位面积上的内力。2/5/202314S为截面C-C上点Q的全应力。全应力为矢量，可分解成两个分量，一个垂直于截面C-C，即C-C截面外法线N上的分量，称为正应力，一般用σ表示；另一个平行于截面C-C，称为切应力，用τ表示。则：2/5/202315若将C-C截得的下半部分放在空间直角坐标系oxyz中，使C-C截面垂直于某坐标轴，如y轴，即C-C截面外法线方向N平行于y轴，则过Q点的微分面称为y面。将Q点的全应力S在三个坐标轴上的投影称为应力分量。每个应力分量可用两个下角标的符合表示，第一个角标表示该应力分量所在的平面，第二个下角标表示其作用方向。2/5/2023161.单向受力下的应力及其分量

一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。过试棒内一点Q并垂直于拉伸轴线横截面C-C上的应力为：若过Q点做任意切面C1-C1，其法线N与拉伸轴成θ角，面积为F1。由于是均匀拉伸，故截面C1-C1上的应力是均布的。此时截面上Q点的全应力Sθ、正应力σθ、切应力τθ分别为：在单向匀速拉伸条件下，可用一个σ0来表示其一点的应力状态，称为单向应力状态。2/5/2023172.多向受力下的应力分量（1）应力分量的提出

设在直角坐标系中有一个承受外力的物体，物体内有一个质点Q，现在围绕Q点切取一个矩形六面体作为单元体，六面体的棱边分别平行于坐标系的三根坐标轴。取六面体中三个互相垂直的表面作为微分面，各个微分面上的全应力都可以按坐标轴方向分解为一个正应力和两个切应力，三个微分面共有九个应力分量，其中三个正应力分量，六个切应力分量。可以用这九个应力分量来表示物体内点的应力状态。2/5/2023182.多向受力下的应力分量（2）应力分量的表示为了清楚的表示各个微分面上的应力分量，我们给三个微分面命名为：X面、Y面、Z面；让每一个应力分量都带上两个下标，第一个下标表示应力分量的作用面，第二个下标表示应力分量的作用方向。所以，九个应力分量可以表示为：

可以看出，两个下标相同的应力是正应力，如σxx，一般写成σx的形式；两个下标不相同的是剪切应力，如τxy。2/5/2023192.多向受力下的应力分量（3）应力分量的正、负方向规定应力分量的正、负按以下方法确定：在单元体上，外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，在正面上，指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向负向的取负号；相反的，外法线指向坐标轴负向的微分面叫做负面，在负面上，正向坐标轴正向的应力分量取负号，指向负向的取正号。按照这个规定，正应力分量以拉为正，压为负。2/5/2023202.多向受力下的应力分量（4）剪应力互等定律

由于单元体是处于静力平衡状态，所以绕单元体各轴的合力矩必须等于零，由此可以得到如下的关系式：这个式子叫做剪应力互等定律。它表明了：为了保持单元体的平衡，剪应力总是成对出现。因此，实际上只需六个应力分量就可以表示点的应力状态。即九个应力分量只有六个是独立的。2/5/2023213.1.4点的应力状态点的应力状态：指受力物体内一点任意方位微分面上所受的应力情况。只有了解变形体内任意一点的应力状态，才能推断整个变形体的应力状态。要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。若已知过一点的三个相互垂直的微分面上的九个应力分量，如何求得过改点任意微分面上的应力分量？2/5/2023223.1.4点的应力状态已知某个坐标系中Q点的三个互相垂直的坐标面上的九个应力分量。现过Q点作一个任意斜切微分面ABC，这样就组成一个微小四面体QABC。外法线方向为N，则这个斜面与三个坐标轴x、y、z的方向余弦分别为：l=cos（N，x）；m=cos（N，y）；n=cos（N，z）。假设斜面ABC面积为dF，则dF在三个坐标面上的投影面积分别为：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF2/5/2023233.1.4点的应力状态现设斜面上的全应力为S，它在三个坐标轴方向的分量分别为Sx，Sy，Sz，由于四面体QABC处于平衡状态，由静力平衡条件由∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0即有：

SxdF–σxdFx–τyxdFy–τzxdFz=0SydF–σydFy–τxydFy–τzydFz=0SzdF–σzdFz–τyzdFy–τxzdFz=0整理得：或2/5/2023243.1.4点的应力状态全应力：全应力S在法线N上的投影就是斜微分面上的正应力σ，它等于Sx，Sy，Sz在N上的投影之和，即：斜切微分面上的切应力为：2/5/202325综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力已知时，便可确定该点的应力状态。

2/5/202326应力边界条件方程如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力分别为px、py、pz，则2/5/202327应力边界条件方程的物理意义：建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。2/5/2023283.5.1求和约定和应力张量（1）求和约定为了简化公式和书写的方便，我们常采用求和约定的方式来书写公式。例如我们探讨一矩阵与向量的乘法：

2/5/202329其中等式右边各项可以写为或去掉求和符号而直接写为。其中有一特征：同一项中i为重复下标，逢重复下标就相加，该下标称为哑标。非重复下标j称为自由标。哑标哑标自由标2/5/202330求和约定的注意要点：哑标是说明求和的记号，用什么字母表示无关紧要。如2/5/202331方程式左右两边的自由标必须相同。例如：2/5/202332练习：把如下公式展开，以为例。“，”表示求导数其中2/5/202333（2）应力张量在斜面上的应力分析中，我们得到用矩阵表示为2/5/202334变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。根据这九个应力分量的特点，我们可以采用一种新的方法来表示它们，如下表所示。2/5/202335x面y面z面x方向y方向z方向2/5/202336去掉表中虚线，则变成矩阵，并可用一个符号表示该矩阵。2/5/202337该矩阵的特点：由材料力学剪切应力互等定律，有则此矩阵为一对称矩阵。该对称矩阵称为二阶对称应力张量，矩阵中的元素称为应力张量分量。2/5/202338张量在力学中是一个十分重要的概念。标量是一个仅由数的大小表征的量，如温度、质量、能量等。矢量是由数的大小和方向来表征的量，如力、速度等，它可由空间中的有向线段表示。张量则是由数的大小、方向和方位来表征的量，如应力张量、应变速度张量等。2/5/202339标量可以表示在数轴上，数的大小有正负之分。不存在坐标变换，可以称之为零阶张量。矢量在坐标系中可以分解，随着坐标系选取的不同，矢量的分量也随之发生变化。存在坐标变换。为正交矩阵，有矢量可以称之为一阶张量2/5/202340而张量相当于矢量的某种集合，既包含了每一矢量的大小和方向，还体现了这些矢量之间的相互关系。其与坐标系的选取有关，存在坐标变换。具有如此坐标变换的张量称为二阶张量2/5/202341直角坐标系下的应力张量2/5/202342柱坐标系下的应力张量2/5/202343课堂练习已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴上的分量Sx、Sy、Sz，，及斜面上的法线应力sn和切应力tn。2/5/20234