第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

Chapter4傅里叶变换和系统的频域分析FourierTransformandFrequency-DomainAnalysisofSystems第四章傅里叶变换和系统的频域分析第二、三章中分别讨论了连续时间系统和离散时间系统的时域分析法。以冲激函数或单位序列为基本信号，任意信号可分解为一系列冲激函数或单位序列，而系统的响应（零状态响应）是输入信号与系统冲激响应或单位序列响应的卷积。2本章主要讨论连续信号的傅里叶变换和连续系统的频域分析法。以非周期信号为例：所谓傅里叶变换（含正变换和逆变换），其目的是以正弦函数或虚指数函数为基本信号，将任意连续时间信号表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之和（对于周期信号）或积分（对于非周期信号）。3接下来我们可证明，连续LTI系统对虚指数函数的响应仍是同频率的虚指数函数，只是乘上了一个与有关的复常数。输出输入4时域分析法频域分析法卷积乘积5频域分析法的优点：

1.将卷积运算转换为乘积运算，使运算简化。

2.物理意义更明确。【不存在，正余弦函数常见】

3.将反卷积运算转换为除法运算。6$4.5傅里叶变换的性质（）$4.6能量谱和功率谱（能量谱定义

功率谱定义及二者关系）线性

奇偶性

对称性

尺度变换

时移

频移卷积定理

时域微积分

频域微积分

相关定理

第四章傅里叶变换和系统的频域分析$4.1信号分解为正交函数（正交函数集的定义

信号分解公式）$4.2傅里叶级数（三角函数形式

奇/偶函数的级数特点

指数形式）$4.3周期信号的频谱（频谱定义

矩形脉冲频谱特点

信号功率）$4.4非周期信号的频谱（引出傅里叶变换

某些特殊函数结果）$4.7周期信号的傅里叶变换（求解方法

与傅里叶级数关系）$4.8LTI系统的频域分析（频率响应及频域分析

无失真传输

理想低通）$4.9取样定理（信号的取样

时域取样定理

频域取样定理）74.1信号分解为正交函数

4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似。为轴和轴的单位矢量,组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。84.1信号分解为正交函数

一.正交函数集1.正交函数在区间上定义的非零实函数和,若满足条件，则称函数和为在区间的正交函数。2.正交函数集在区间上定义的个非零实函数，其中任意两个均满足,则称函数集为在的正交函数集。94.1信号分解为正交函数

3.完备正交函数集如果在正交函数集之外不存在函数满足等式，则称该函数集为完备正交函数集。例：三角函数集在区间组成完备正交函数集。其中，。原因：*（自己下去验证，后同）104.1信号分解为正交函数

**对任意的和注意：正弦函数集是正交函数集，但不是完备正交函数集。如果是复函数集，若在区间满足：，则称此函数为正交函数集。114.1信号分解为正交函数

例：复函数集在区间组成完备正交函数集。其中，。原因：*式(a)二.信号分解为正交函数的线性组合设有个函数在区间构成一个正交函数空间。将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为：（自己下去验证）124.1信号分解为正交函数

显然，应选取各系数使实际函数与近似函数在区间内的误差为最小。为防止正负误差相互抵消的情况，通常采用最小均方误差准则。其中的均方误差定义为：在中，为求得，必须使。即：式(b)134.1信号分解为正交函数

根据【所有交叉项

的积分为零】【

中不含

项】【求和号去掉】【求和号去掉】144.1信号分解为正交函数

可推得：交换微分与积分次序，可得：式中。式(c)15【】4.1信号分解为正交函数

展开前面的式(b)，可得：由于,得：164.1信号分解为正交函数

由于，显然当所取的项数越大时，均方误差越小。（越大，越接近于）当时，。此时有：(1)物理意义：信号可展开为无穷多项正交函数的线性组合，各项的展开系数按式(c)计算。(2)物理意义：信号的能量等于各正交分量的能量和。【的能量为】174.2傅里叶级数

4.2傅里叶级数本节的任务是将周期信号在区间展开成在完备正交函数集中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。184.2傅里叶级数

一.周期信号的分解（结果为三角函数的形式）设有一个周期信号,它的周期是,角频率,它可分解为:（前提：满足狄里赫利条件）其中称为傅里叶系数。教材P120194.2傅里叶级数

傅里叶系数可按$4.1中的相关公式计算：204.2傅里叶级数

因此，在最终展开式中的常数项为。为保证计算公式的统一起见，定义：*是关于的偶函数。即：。是关于的奇函数。即：。类似地，可得出的计算公式：*214.2傅里叶级数

由于和是同频率项，可进行合并。式中：是关于的偶函数。即：。是关于的奇函数。即：。224.2傅里叶级数

总结：任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦（正弦）分量。其中第一项是常数项，它是周期信号所包含的直流分量；式中第二项称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同，是基波振幅，是基波初相角；式中第三项称为二次谐波；以此类推，还有三次、四次、…

谐波。一般而言，其中的称为次谐波。总之，周期信号可分解为各次谐波分量。234.2傅里叶级数

例4.2-1

将如图所示的方波信号展开为傅里叶级数。解：244.2傅里叶级数

254.2傅里叶级数

264.2傅里叶级数

下面考察当用有限项级数逼近时引起的误差：当取一、三次谐波时：当取一、三、五次谐波时：当取一、三、五、七次谐波时：当只取基波时：【】274.2傅里叶级数

TT/20t(a)基波0T/2Tt

(b)基波+三次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/2Tt(d)基波+三次+五次+七次谐波284.2傅里叶级数

(1)级数所取项数愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号,其均方误差越小。低频成分––––

合成波形的主体轮廓。高频成分––––合成波形的细节部分。(2)级数所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有约的偏差。但在均方（整体）的意义上，合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）294.2傅里叶级数

二.奇、偶函数的傅里叶级数

若给定的

有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使得计算较为简便。1.为偶函数即有：,波形对称于纵坐标轴。304.2傅里叶级数

2.为奇函数即有：,波形对称于原点。314.2傅里叶级数

注意：任意信号都可以分为奇函数和偶函数两部分。其中：式(a)式(b)式(a)式(b)*32任意周期信号可以分为奇函数和偶函数两部分，是否会简化傅里叶级数系数的计算？思考：4.2傅里叶级数

不能。因为仍要计算两类系数。回答：334.2傅里叶级数

3.为奇谐函数如果函数的前半周期波形移动后，与后半周期波形相对于横轴对称，即：，则称该函数为奇谐函数。此时傅里叶级数展开式中将只含有奇次谐波分量，而不含有偶次谐波分量。即：

例：344.2傅里叶级数

证：【】令，可得：354.2傅里叶级数

【令】当为偶数时，。当为奇数时，。的证明类似。得证。364.2傅里叶级数

例4.2-2

正弦交流信号经全波或半波整流后的波形如下图所示。求它们的傅里叶级数展开式。(a)全波整流信号(b)半波整流信号解：(1)全波整流信号374.2傅里叶级数

为偶函数，。令，可得：方法一384.2傅里叶级数

394.2傅里叶级数

注意：同样可看成是周期为的周期函数。此时，对应的基波角频率为。方法二仍为偶函数，。404.2傅里叶级数

令，可得：【】【】414.2傅里叶级数

令，可得：【】【】424.2傅里叶级数

(2)半波整流信号令方法一434.2傅里叶级数

444.2傅里叶级数

令【】454.2傅里叶级数

对于半波整流信号，也可分解为奇函数与偶函数两部分进行求解。方法二464.2傅里叶级数

474.2傅里叶级数

三.傅里叶级数的指数形式设，对上式中第三项进行变量替换：【三角形式】484.2傅里叶级数

如将上式中的写成（其中），则

上式可写成：

利用，，可得：494.2傅里叶级数

令复数量，称其为复傅里叶系数，简称傅里叶系数。可得指数形式的傅里叶级数为：**其中的傅里叶系数为：【教材P127式（4.2-18）中多了一个1/2】504.2傅里叶级数

讨论：与的关系。展开式的对比：三角形式：指数形式：514.2傅里叶级数

例4.2-3

周期锯齿波的信号如图所示，求其指数形式的傅里叶级数展开式。解：524.2傅里叶级数

当时，有：【】分部积分法：534.3周期信号的频谱

4.3周期信号的频谱一.周期信号的频谱单边谱：…….横坐标…….纵坐标单边幅度频谱，简称单边幅度谱。…….横坐标…….纵坐标单边相位频谱，简称单边相位谱。544.3周期信号的频谱

(a)单边幅度谱(b)单边相位谱幅度谱线：幅度谱中的每条竖线代表该频率分量的幅度。相位谱线：相位谱中的每条竖线代表该频率分量的相位。包络线：连接各幅度谱线顶点的曲线。554.3周期信号的频谱

双边谱：双边相位频谱，简称双边相位谱。…….横坐标…….纵坐标…….横坐标…….纵坐标双边幅度频谱，简称双边幅度谱。564.3周期信号的频谱

(a)双边幅度谱(b)双边相位谱574.3周期信号的频谱

周期信号频谱的共同点：第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非整数倍的谐波分量。第三为收敛性，各次谐波分量的振幅虽然随的变化有起伏变化，但总的趋势是随着的增大而逐渐减小。当时，。584.3周期信号的频谱

二.周期矩形脉冲的频谱设有一幅度为1，脉冲宽度为的周期性矩形脉冲，其周期为，求其复傅里叶级数。解：594.3周期信号的频谱

定义：取样函数特点：(1)当时，。(2)是偶函数。(3)总体呈衰减趋势。(4)是的零点。604.3周期信号的频谱

周期性矩形脉冲指数形式的傅里叶级数展开式为：注意：当为实数时，幅度谱与相位谱可画在同一张图上。614.3周期信号的频谱

几个重要指标：1.相邻谱线的间隔：3.第一个零点的位置：2.谱线零点的位置：4.第一个零点对应的谱线序号：【前提：为的整数倍】624.3周期信号的频谱

周期性矩形脉冲频谱的特点：1.离散性。2.谐波性。且当时，谱线越稠密。4.谱线的幅度按包络线的规律变化。当时，相应的频谱分量等于零。5.能量主要集中在第一零点以内。定义信号带宽为。当时，零点位置越远，带宽越宽。P663.收敛性。能量主要集中在低频频率处。634.3周期信号的频谱

f

(t)2TtT03T4TT=4f

(t)2TtT0T=8f

(t)tT0T=16f

(t)t0T02/4/1/4Fn02/4//TFn02/4/1/16Fn02/4/1/8Fn，谱线越稠密（间隔：）；非周期信号演变为连续谱。641/1602/4/Fnf

(t)tT0=T/8f

(t)tT0

=T/402/8/1/8Fn4/02/16/1/4Fn4/8/tT0=T/16f

(t)4.3周期信号的频谱

，零点位置越远，带宽越宽（）。654.3周期信号的频谱

三.周期信号的功率（从频域计算）周期信号是功率信号，归一化平均功率为：以上为时域表达式，其频域表达式为：664.3周期信号的频谱

4.3周期信号的频谱

形式项：形式项：674.3周期信号的频谱

**由于是的偶函数，且有，则有：【】以上两式称为帕斯瓦尔等式。它们表明，对于周期信号，在时域中求得的功率与在频域中求得的功率相等。（能量守恒）【解释：的功率】684.3周期信号的频谱

例4.3-1试计算下图所示信号在频谱第一个零点以内各分量的功率所占总功率的百分比。解：根据第二部分的计算结果，有：694.3周期信号的频谱

第一个零点对应的频率为：【】【】704.4非周期信号的频谱

4.4非周期信号的频谱前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而频谱密集成为连续谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，但这些无穷小量仍保持一定比例关系。（例：与）为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念（思路：无穷小/无穷小或无穷小*无穷大）。令：称为频谱密度函数（含义在后面解释）。*一.傅里叶变换714.4非周期信号的频谱

当时，有：式(b)*式(a)【】724.4非周期信号的频谱

术语：式(b)为非周期函数的傅里叶变换。式(a)为频谱密度函数的傅里叶逆变换。为的频谱密度函数(频谱函数)。为的原函数。记号：*734.4非周期信号的频谱

奇偶性：（前提：为实函数）的偶函数的奇函数的偶函数的奇函数744.4非周期信号的频谱

傅里叶逆变换式的物理意义：根据奇偶性，有：【上式第二项为奇函数】754.4非周期信号的频谱

上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分量”。各频率分量的幅度为，为无穷小量。所以信号的频谱（幅度谱）不能用各分量的幅度表示，改为用频谱密度函数的幅度来表示，即：在某频点处单位频率的信号幅度。【单位频率的信号幅度无穷小频率间隔】764.4非周期信号的频谱

傅里叶变换的存在条件：需要说明，前面在推导傅里叶变换式的过程中并未遵循数学上的严格步骤。数学证明指出，函数的傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内绝对可积，即：。但注意该条件并非必要条件。当引入广义函数的概念后，许多不满足绝对可积分条件的函数（例：）也能进行傅里叶变换。这给信号与系统的分析带来了很大的方便。774.4非周期信号的频谱

例4.4-1如图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号表示，其宽度为，高度为1。求其频谱函数。解：784.4非周期信号的频谱

*注意：如果为实函数或虚函数，幅度谱和相位谱可表示在一张图上。2.门函数的带宽定义为。794.4非周期信号的频谱

例4.4-2

求下图所示的单边指数函数的频谱函数()。解：804.4非周期信号的频谱

例4.4-3

求下图所示的双边指数函数的频谱函数()。解：814.4非周期信号的频谱

例4.4-4

求下图所示信号的频谱函数()。解：824.4非周期信号的频谱

二.某些特殊函数的傅里叶变换（

等）1.冲激函数的频谱即单位冲激函数的频谱是常数1，如下图所示。其频谱密度在区间处处相等，常称为“均匀谱”或“白色频谱”。*834.4非周期信号的频谱

2.冲激函数导数的频谱按冲激函数导数的性质：【第一章的性质】类似可得：*【】844.4非周期信号的频谱

3.单位直流信号的频谱幅度等于1的直流信号可表示为：显然，该信号并不满足绝对可积条件。854.4非周期信号的频谱

当时，有：*【分子分母同除以】【】思考：与哪个函数的特点相同？864.4非周期信号的频谱

4.符号函数的频谱符号函数定义为：显然，该信号并不满足绝对可积条件。874.4非周期信号的频谱

当时，有：【】但884.4非周期信号的频谱

5.阶跃函数的频谱阶跃函数定义为：不满足绝对可积。=+894.4非周期信号的频谱

总结：

附录四列出常用函数的傅里叶变换。（教材P414）904.5傅里叶变换的性质

4.5傅里叶变换的性质任一信号可以有两种描述方法：时域的描述频域的描述本节将研究在某一域中对函数进行某种运算（如：尺度变换、平移等），在另一域中所引起的效应。为简便起见，用表示二者间关系，即：914.5傅里叶变换的性质

一.线性性质若，，则：证明过程略。物理意义：1.齐次性2.可加性924.5傅里叶变换的性质

二.奇偶性【部分内容前面已讨论】本性质研究实时间函数与其频谱的奇、偶、虚、实关系。934.5傅里叶变换的性质

若是实时间函数，则频谱函数的实部是的偶函数，是的奇函数，是的偶函数，是的奇函数。2.若是实偶函数，则，且有：因此，也为实偶函数（关于的函数）。3.若是实奇函数，则，且有：因此，为虚奇函数（关于的函数）。944.5傅里叶变换的性质

4.的傅里叶变换令得，*若是实函数，则是的偶函数，是的奇函数。954.5傅里叶变换的性质

总结一若是实函数，且设则有：(1)(2)如,则实奇虚奇(3)如，则实偶实偶偶函数奇函数964.5傅里叶变换的性质

(1)(2)总结二若是虚函数，则有：（自己下去证明）如,则虚奇实奇(3)如，则虚偶虚偶偶函数奇函数974.5傅里叶变换的性质

三.对称性若，则有：。*将换为，得：将和互换，得：证：即：984.5傅里叶变换的性质

例如：令，得：解：已知。例4.5-1

求取样函数的频谱函数。994.5傅里叶变换的性质

例4.5-2

求函数和的频谱函数。解：已知已知【为

奇函数】1004.5傅里叶变换的性质

四.尺度变换含义：若信号在时间坐标上压缩（或扩展）到原来的，那么其频谱函数在频率坐标上将展宽（或压缩）至

倍，同时其幅度变为原来的。若，则有：。*例：1014.5傅里叶变换的性质

时域压缩频域扩展时域扩展频域压缩例：1024.5傅里叶变换的性质

令，则。当时，有：当时，有：特例：证：1034.5傅里叶变换的性质

五.时移特性若，则有：。*含义：在时域中，信号沿时间轴右移（或左移），其在频域中所有频域分量相应落后（或超前）一相位，而其幅度保持不变。思考：证：*1044.5傅里叶变换的性质

例4.5-3

已知图(a)的函数是宽度为2的门函数，即：，其傅里叶变换。求图(b)和(c)中函数和的傅里叶变换。(a)(b)(c)1054.5傅里叶变换的性质

解：(1)(2)或利用：可得相同结果。P1121064.5傅里叶变换的性质

例4.5-4如图所示，有5个相同的脉冲，其相邻间隔为，求其频谱函数。解：设位于坐标原点的单个脉冲表示式为，其频谱为，则图中的信号可表示为：显然有：1074.5傅里叶变换的性质

根据等比数列求和公式（教材P100），有：对上式进行化简，可得：1084.5傅里叶变换的性质

显然，当时，有：另外，当(为整数，但不为5的倍数)时，有：【】即：在处，是的5倍。这是由于在这些频率点处，5个单个脉冲的各频率分量同向。【令】1094.5傅里叶变换的性质

(为整数，但不为5的倍数)信号的能量将向处集中，其它频率处幅度减小，甚至为零（如：、、、等处）。1104.5傅里叶变换的性质

推广到一般情况（脉冲个数为，且为奇数），有：(为整数，但不为N的倍数)当时，信号演变为周期信号，且有如下规律：除的频率外，其它频率分量的幅度均为零。即：连续谱离散谱。（解释：例如0和间间隔个幅度为零的频率点）1114.5傅里叶变换的性质

六.频移特性（调制特性）若，则有：。*含义：将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴右移；将信号乘以因子，对应于将频谱函数沿轴左移。证：1124.5傅里叶变换的性质

例：

求解正、余弦函数的傅里叶变换。根据频移性质，可得：根据欧拉公式，可得：1130t1f

(t)=cos0t0-00F(j)(b)正弦脉冲及其频谱0t1f

(t)=sin0t-X()0-00(a)余弦脉冲及其频谱4.5傅里叶变换的性质

1144.5傅里叶变换的性质

例4.5-5如已知信号的傅里叶变换为，求信号的傅里叶变换。解：频移特性在通信系统中应用广泛，如调幅，同步解调等都是在频谱搬移基础上实现的。实现频谱搬移的原理如下图所示：调制解调P118115调幅波（补充）电磁波的传播导线空气例：无线电广播、电视塔、微波通信等。若采用无线传输，需要使用天线，天线所流过电流必须是高频电流，原因是必须满足：天线尺寸信号波长例：语音信号频率若则4.5傅里叶变换的性质

116将要发射的低频信号搭载到高频信号（称为载波）上，然后通过天线发射出去的过程。所发射的信号称为已调信号。（类比：人乘坐交通工具）调制：解调：在接收方，从已调信号中恢复出真正要传送的低频调制信号。（类比：人从交通工具中下来）4.5傅里叶变换的性质

调幅：已调信号的幅度随着调制信号幅度的变化而成正比例地变化。1174.5傅里叶变换的性质

调制信号：载波信号：已调信号：从时域上看，已调信号的幅度随着调制信号幅度的变化而变化。若，则：从频域上看，频谱搬移。调制过程1184.5傅里叶变换的性质

调制过程1194.5傅里叶变换的性质

载波信号：解调后输出：已调信号：滤波后输出：解调过程1204.5傅里叶变换的性质

解调过程1214.5傅里叶变换的性质

七.卷积定理若：则：时域卷积定理：频域卷积定理：若：则：其中：1224.5傅里叶变换的性质

证：根据卷积积分的定义，有：【交换积分次序】【时移特性】频域卷积定理的证明过程类似，略。1234.5傅里叶变换的性质

例4.5-6求三角形脉冲的频谱函数。*=（自己下去验证）1244.5傅里叶变换的性质

*=1254.5傅里叶变换的性质

例4.5-7求斜升函数和函数的频谱函数。解：已知且有【是

奇函数】【卷积的微积分性质】1264.5傅里叶变换的性质

八.时域微分和积分设若，则有。*时域微分定理：时域积分定理：若，则有。*若，则。这里，。1274.5傅里叶变换的性质

证：时域微分定理可证明如下：时域积分定理可证明如下：这两个性质经常用来求某些复杂函数的傅里叶变换。即先将所求的函数求导(或积分)，求出其导数(或积分)的傅里叶变换,再利用积分(或导数)性质求出所求信号的频谱。【反复利用左边的性质】1284.5傅里叶变换的性质

什么时候应用时域微积分性质？微分性质：当直接计算某函数的傅里叶变换繁琐，而其积分的傅里叶变换容易计算时，可应用微分性质。积分性质：当直接计算某函数的傅里叶变换繁琐，而其导数的傅里叶变换容易计算时，可应用积分性质。1294.5傅里叶变换的性质

例4.5-8求三角形脉冲的频谱函数。解：1304.5傅里叶变换的性质

设，则有：【】1314.5傅里叶变换的性质

利用积分性质，可得：【】再次利用积分性质，可得：【】1324.5傅里叶变换的性质

例4.5-9求门函数的积分的频谱函数。解：【】1334.5傅里叶变换的性质

利用时域积分性质时应注意的条件：但要注意，对某些函数，虽然有，但有可能存在：这是因为：最终有：*当欲求某函数的傅里叶变换时，常可根据其导数的傅里叶变换，利用积分特性求得。1344.5傅里叶变换的性质

例4.5-10求图(a)、(b)所示信号的傅里叶变换。解：图(a)所示的函数可写为：(a)(b)(c)【】1354.5傅里叶变换的性质

图(b)所示的函数可写为：(a)(b)(c)【】1364.5傅里叶变换的性质

九.频域微分和积分设频域微分定理：若，则有。*频域积分定理：若，则有。*这里，。若，则。1374.5傅里叶变换的性质

证：频域微分定理可证明如下：即：。【】【对称性】1384.5傅里叶变换的性质

频域积分定理可证明如下：1394.5傅里叶变换的性质

什么时候应用频域微积分性质？（第一种情况）微分性质：当直接计算的傅里叶逆变换繁琐，而其积分的傅里叶逆变换易计算时，可应用微分性质。积分性质：当直接计算的傅里叶逆变换繁琐，而其导数的傅里叶逆变换易计算时，可应用积分性质。1404.5傅里叶变换的性质

利用频域积分性质时应注意的条件：当欲求的逆傅里叶变换时，常可根据其导数的逆变换，利用积分特性求得。但要注意，对某些函数，虽然有，但有可能存在：这是因为：【】最终有：*1414.5傅里叶变换的性质

什么时候应用频域微积分性质？(第二种情况，更常用)微分性质：当已知，可计算出：…积分性质：当已知，可计算出：…1424.5傅里叶变换的性质

例4.5-11求斜升函数的傅里叶变换。解：单位阶跃信号及其频谱函数为由式，可得：【令】1434.5傅里叶变换的性质

例4.5-12求函数的傅里叶变换。解：令根据频域积分特性有：【】1444.5傅里叶变换的性质

利用傅里叶（逆）变换求解类似或思路：将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已知的函数在某点处的函数值。即：或：1454.5傅里叶变换的性质

例4.5-13求。解：解题思路是将表达式凑成某（逆）傅里叶变换已知的函数在某点处的函数值。即：令设，可得：【若，积分上限为】1464.5傅里叶变换的性质

令，可得：。即：。1474.5傅里叶变换的性质

十.相关定理相关定理研究的是两个实信号相关函数的傅里叶变换与各信号的傅里叶变换之间的关系。若：则：证：根据第二章中的结论，有：同理，可证明。1484.5傅里叶变换的性质

以上两个式子表明，两个信号互相关函数的傅里叶变换等于其中一个信号的傅里叶变换与另一个信号傅里叶变换的共轭之乘积。对于自相关函数，即，则有：即:自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。总结：本节学习了线性、奇偶性、对称性、尺度变换、时移特性、频移特性、卷积定理、时域微积分、频域微积分、相关定理等性质（教材P161）。巧妙利用这些性质，可大大简化计算。1494.6能量谱和功率谱

4.6能量谱和功率谱前面研究的频谱是在频域中描述信号特征的方法之一。它反映了信号所含分量的幅度和相位随频率的分布情况。此外，还可以用能量谱或功率谱来描述信号。特别是对于随机信号，由于无法用确定的时间函数来表示，也就不能用频谱表示。这时，往往用功率谱来描述它的频域特性。一.能量谱信号能量：若，则称信号为能量有限信号。【实信号】1504.6能量谱和功率谱

接下来研究实信号能量和频谱函数间的关系。【交换积分次序】帕斯瓦尔方程1514.6能量谱和功率谱

也可以从频域的角度来研究信号能量。为表征能量在频域中的分布情况，可借助密度的概念，定义能量密度函数，简称为能量谱。能量谱：单位频率的信号能量（能量密度）。*(3)。(2)能量谱反映信号能量在频域的分布。(1)能量谱是的偶函数，且只取决于幅度谱。【对于能量信号而言】特点：1524.6能量谱和功率谱

二.功率谱信号（平均）功率：若，则称信号为功率有限信号。功率有限信号的能量。为计算傅里叶变换，截取中的一段。设：【实信号】1534.6能量谱和功率谱

的能量可表示为：功率谱：单位频率的平均功率。【】154(1)功率谱是的偶函数，且只取决于幅度谱。(2)功率谱反映了信号平均功率在频域的分布情况。(3)。【注意能量/功率信号之分】4.6能量谱和功率谱

特点：证：对于功率信号，自相关函数定义为：【注意与第二章中能量信号定义不同】【时，有

】155例4.6-1如图所示RC低通电路，已知输入端电压

,输出为电容两端电压。求：(1)的自相关函数和功率谱。(2)输出的功率谱，自相关函数和平均功率。4.6能量谱和功率谱

1564.6能量谱和功率谱

思路：【注意是功率信号】(1)(2)由由类似地，可推导出：【即由

可求】157解：(1)4.6能量谱和功率谱

【

为奇函数】158(2)4.6能量谱和功率谱

1594.6能量谱和功率谱

1604.7周期信号的傅里叶变换

4.7周期信号的傅里叶变换在前面讨论周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换基础上，本节将讨论周期信号的傅里叶变换，以及傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系。这样，就能把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换的应用范围更加广泛。一.周期函数傅里叶变换的求解方法二.傅里叶级数与傅里叶变换的关系主要内容：1614.7周期信号的傅里叶变换

一.周期函数傅里叶变换的求解方法方法一：设有周期为的周期函数*1624.7周期信号的傅里叶变换

*含义：上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐波角频率处，其强度为各相应幅度的倍。例4.7-1求周期性矩形脉冲信号的频谱函数。解：1634.7周期信号的傅里叶变换

傅里叶级数傅里叶变换1644.7周期信号的傅里叶变换

例4.7-2求周期性单位冲激函数序列的频谱函数。*解：利用傅里叶系数公式1654.7周期信号的傅里叶变换

方法二：从周期信号中任意截取其中一个周期的信号，令其为。则有：*根据时域卷积定理，有：1664.7周期信号的傅里叶变换

例4.7-3求例4.7-1中周期脉冲的频谱函数。当取的不同周期时，对的计算结果有无影响？思考：没有影响。设，则有：。解：1674.7周期信号的傅里叶变换

二.傅里叶系数与傅里叶变换的关系*上式表明傅里叶变换的许多性质也适用于傅里叶级数，同时还提供了求周期信号傅里叶系数的另一种方法。方法1：方法2：1684.7周期信号的傅里叶变换

例4.7-4求如图所示的周期信号指数型傅里叶级数的系数。解：结果已知1694.8LTI系统的频域分析

4.8LTI系统的频域分析前面讨论了信号的傅里叶分析，本节将研究系统的激励与响应在频域中的关系。在此基础上，再讨论任意信号作用于系统所引起的响应，得出响应的频域求解方法，并引出频域中反映系统特性的函数–––

频率响应。一.频率响应及频域分析法傅里叶分析是将信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和，因此首先讨论单一的虚指数函数作用于LTI系统引起的响应(零状态响应)。1704.8LTI系统的频域分析

1.虚指数函数作用于系统所引起的响应设，系统的冲激响应为。即：。其中：一个虚指数函数作用于LTI系统所引起的零状态响应仍然是同频率的虚指数函数，只是幅度和相位上发生了变化。实质：1714.8LTI系统的频域分析

2.当输入为任意信号时的响应当激励为任意信号时，由傅里叶逆变换式可得：根据线性性质，可得：因此，有：*1724.8LTI系统的频域分析

3.频率响应的定义频率响应（频率响应函数，系数函数）定义为系统零状态响应的傅里叶变换与激励的傅里叶变换之比，即：幅频响应相频响应偶函数奇函数1734.8LTI系统的频域分析

系统特性的表征系统微分方程框图冲激响应频率响应…174例4.8-1某LTI系统的幅频响应和相频响应如下图所示。若系统的激励，求系统的响应。4.8LTI系统的频域分析

4.频域分析法时域分析法：频域分析法：解：将展开成傅里叶级数的基波角频率方法一1754.8LTI系统的频域分析

傅里叶系数1764.8LTI系统的频域分析

取的傅里叶变换，可得：方法二1774.8LTI系统的频域分析

结果分析：直流分量一次谐波二次谐波直流分量：完全通过。一次谐波：幅度减半，滞后。二次谐波：完全滤除。1784.8LTI系统的频域分析

例4.8-2描述某系统的微分方程为求输入时系统的零状态响应。解：对方程取傅里叶变换，得：1794.8LTI系统的频域分析

例4.8-3如图所示的电路，若激励电压源为单位阶跃函数，求电容电压的零状态响应。解：【令】【分子、分母

同乘】1804.8LTI系统的频域分析

181例4.8-4如图所示的系统，已知乘法器的输入信号分别为，乘积通过频率响应为4.8LTI系统的频域分析

的滤波器，求输出。解：1824.8LTI系统的频域分析

利用傅里叶变换的对称性，可得：又有：1834.8LTI系统的频域分析

可转换为：1844.8LTI系统的频域分析

二.无失真传输所谓无失真传输是指输出与输入相比，只有幅度上以及出现时间上的先后不同，而没有波形上的变化。思考：LTI系统的频率响应应满足什么条件，才能实现无失真传输信号？1854.8LTI系统的频域分析

结论：幅频响应为常数（理想情况）相频响应为一条过原点的直线一般对限带信号而言，只要在信号有限带宽内满足该条件即可实现无失真传输。实际：多为低通/高通/带通/带阻等；幅频响应有波纹。1864.8LTI系统的频域分析

三.理想低通滤波器截止频率：通带：阻带：注意：与无失真传输系统的频率响应进行区分。1874.8LTI系统的频域分析

1.冲激响应令并同除以，可得：输出峰值时刻推迟了。输出出现在输入之前。特点：【对称性】1884.8LTI系统的频域分析

2.阶跃响应令，则有：【设】【】正弦积分1894.8LTI系统的频域分析

以下讨论：(1)信号上升时间(2)吉布斯现象(3)最大值(4)因果性1904.8LTI系统的频域分析

由上图可见，在处阶跃响应上升最快【此时的导数值最大】，若定义上升时间为在处斜率的倒数，则上升时间为：结论：滤波器的通带愈宽，即截止频率愈高，其阶跃响应上升时间愈短，波形愈陡峭。【设表示滤波器带宽】当从某信号的傅里叶变换恢复或逼近（如：用的不同频率成分逼近）原信号时，若原信号有间断点，则在各间断点处，恢复信号将出现过冲，称为吉布斯现象。1914.8LTI系统的频域分析

(3)结论：与滤波器的带宽无关。增大滤波器的通带，不能减小过冲的幅度，仅能使其更靠近处。(4)理想低通是非因果的，是物理不可实现的。虽然理想低通滤波器是物理不可实现的。但传输特性接近于理想特性的电路却不难构成。(教材P180)【此时有：】192要求：幅频特性不能在有限频带内为零。4.8LTI系统的频域分析

判断系统是否物理可实现的依据：时域:频域:佩利