材料力学第04章

第四章扭转沈阳建筑大学侯祥林刘杰民

第四章扭转§4–1扭转的概念§4–2扭转的内力—扭矩与扭矩图§4–3薄壁筒扭转§4–4圆截面杆扭转的应力及强度条件§4–5圆截面杆扭转的变形及刚度条件§4–6矩形截面杆自由扭转§4–7薄壁杆扭转

§4–1扭转的概念×直杆在外力偶作用下，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA扭转：——扭转角（两端面相对转过的角度）——剪切角，剪切角也称切应变。ק4–2扭转的内力—扭矩与扭矩图mmmTⅠⅠx一、扭矩圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶，合力偶的力偶矩称为截面的扭矩，用T表示之。扭矩的正负号按右手螺旋法则来确定，即右手握住杆的轴线，卷曲四指表示扭矩的转向，若拇指沿截面外法线指向，扭矩为正，反之为负。×mTx扭矩的大小由平衡方程求得。二、扭矩图各截面的扭矩随荷载而变化，是截面坐标的函数，表示各截面扭矩的图象称为扭矩图。扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同，具体如下：×

扭矩图的画法步骤：

⒈画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基线；

⒉将杆分段，凡集中力偶作用点处均应取作分段点；

⒊用截面法，通过平衡方程求出每段杆的扭矩；画受力图时，截面的扭矩一定要按正的规定来画。

⒋按大小比例和正负号，将各段杆的扭矩画在基线两侧，并在图上表出数值和正负号。×例1画图示杆的扭矩图3kN.m5kN.m2kN.m解：11223kN.mT1ABCAC段：BC段：2kN.mT2扭矩图3kN.m2kN.m⊕○-×扭矩是根据外力偶矩来计算，对于传动轴，外力偶矩可通过传递功率和转数来换算。三、外力偶矩换算其中：P—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（r/min）若传动轴的传递功率为P，每分钟转数为n，则每分钟功率作功：力偶作功：×例2已知：一传动轴转数n=300r/min，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮输出功率P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩×112233②求扭矩（扭矩按正方向假设）nABCDm2

m3

m1

m4×③绘制扭矩图BC段为危险截面。nABCDm2

m3

m1

m44.78kN.m9.56kN.m6.37kN.m––扭矩图×例３画图示杆的扭矩图。3m2m2m1m⊕⊕○_扭矩图ק4–3薄壁筒扭转薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②两端施加一对外力偶m。×2.实验后：①圆周线不变；②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度。②纵向线变成螺旋线。3.结果：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。圆周线实际代表一个横截面，此结果表明横截面仍保持平面，且大小、形状不变，满足平面假设。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。×二、薄壁筒切应力

A0为平均半径所作圆的面积。薄壁筒扭转时，因长度不变，故横截面上没有正应力，只有切应力。因筒壁很薄，切应力沿壁厚分布可视作均匀的，切应力沿圆周切线，方向与扭矩转向一致。T×acddxbdy´´tz三、切应力互等定理：

这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。×四、剪切虎克定律：

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。acddxbdy´´tz单元体ab的倾角称为切应变，切应变是单元体直角的改变量。实验表明，在弹性范围内，切应力与切应变成正比，即这就是剪切虎克定律，比例常数G

称为剪切弹性模量。×剪切弹性模量G、与弹性模量E和泊松比一样，都是表征材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系。根据该式，在三个材料常数中，只要知道任意两个，就可求出第三个来。ק4–4圆截面杆扭转的应力及强度条件×3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察1.横截面变形后仍为平面，满足平面假设；2.轴向无伸缩，横截面上没有正应力；×二、等直圆杆扭转横截面上的切应力RdxdxB’C’C’c’b’d⒈变形的几何条件横截面上b点的切应变：其中为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角B’×⒉物理条件横截面上b点的切应力：⒊静力条件O2dAdAbT其中称为截面对圆心的极惯性矩。×于是得横截面上任一点的切应力为Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意义。式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；—求应力那点到圆心的距离；×dD环形截面：极惯性矩的单位：m4DdO⒋极惯性矩×同一截面，扭矩T，极惯性矩IP为常量，因此各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，方向垂直于圆的半径，且与扭矩的转向一致。TTmaxmax实心圆截面切应力分布图空心圆截面切应力分布图最大切应力在外圆处。×⒌最大切应力令：Wt

称为抗扭截面模量，单位：m3实心圆截面空心圆截面×例4

已知空心圆截面的扭矩T

=1kN.m，D=40mm，d=20mm，求最大、最小切应力。dDTmaxmin解：×三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：其中容许切应力[]是由扭转时材料的极限切应力除以安全系数得到。ק4–5圆截面杆扭转的变形及刚度条件一、扭转时的变形当T、GIP为常量时，长为l一段杆两端面相对扭转角为其中GIP表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。×二、刚度条件[]称为许用单位扭转角。若许用单位扭转角给的是，则上式改写为×例５图示圆轴，已知mA=1kN.m，mB=3kN.m，mC=2kN.m；l1

=0.7m，l2

=0.3m；[]=60MPa，[]=0.3°/m，G=80GPa；试选择该轴的直径。ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○解：⑴按强度条件×ABCmAmB

mCl1l22kN.m1kN.m⊕○⑵按刚度条件该圆轴直径应选择：d=83.5mm.×[例4—5]图示圆轴，已知mA=1.4kN.m，mB=0.6kN.m，mC=0.8kN.m；d1

=40mm，d2

=70mm；l1

=0.2m，l2

=0.4m；[]=60MPa，[]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚度，并计算两端面的相对扭转角。ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○解：⑴按强度核该d1d2×ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○d1d2满足强度条件。⑴按刚度核该×ABCmAmB

mCl1l20.6kN.m0.8kN.m⊕○d1d2此轴不满足刚度条件。×[例4—6]长为l=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用切应力[]=30MPa，试设计杆的外径；[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径×x×②刚度校核③右端面转角×[练习2]图示圆杆BC段为空心，已知D=50mm，d=25mm；a=250mm，b=150mm；G=80GPa；试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角。ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m11223344解：本题应分4段考虑。×ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344×ABCaabb

Dd0.5kN.m0.3kN.m0.8kN.m○－○－0.8kN.m○－0.5kN.m1kN.m11223344ק4–6矩形截面杆自由扭转

非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。×h³bht1T

t

max注意！b自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。×h³bht1T

t

max注意！b一、矩形杆横截面上的切应力分布

⒈形心与角点的切应力等于零；

⒉周边的切应力与周边相切，方向与扭矩的转向一致；

⒊截面的最大切应力发生在长边的中点，短边的最大切应力发生在短边的中点。×二、最大切应力及单位扭转角h³bht1T

t

max注意！b——相当极惯性矩。截面最大切应力：单位扭转角：其中：——抗扭截面模量。系数、随长短边的比值m=h/b

而变化，可查