《完全平方公式》 教案 (公开课获奖)2022北师版

课课：一章课：授课授时：教目：

1.6全方式1第六节完平方公式〔第1课时〕知与能理完全平方公式的本质并会运用公式进行简单的计了解完全平方公式的几何背景.过与法经历探索完全平方公式的程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜测等探究创新能力，开展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识情与度验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功体验与喜悦，树立学习的自信.教重：全平方公式及其应.教难：全平方公式的应.教及法导本节课采用自主探索发导交流的模式展开教学导学生主动地进行观察、归纳、猜测和验.考虑到学生认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的开.启发、边探索、边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动.遵循知识的产生过程特殊→一般→特殊所的知识用于实践中课准：教师：多媒体课件.学生：课前进行预习工作.教过：一前诊，辟路师上节课我学习了平方公式知了应用平方差公式可以进行某些多项式乘法的简便运.那位同学能说一下平方差公式是什么？它的结构特征是什么？生极踊跃，争先恐后〕生：平方差公式：〕=a；

公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的.右边是两数的平方差.师：应用平方差公式要注意什么问题？生1：弄清在什么情况下才能使平方差公.生2充把两个因式中相同的局部看作，互为相反的局部看作.师：很好.还记得我们是怎样用形解释平方差公式的吗？生：利用图形大正方形中割掉一个边长为b的正方形，剩下图形的面积可以用a表，也可以表示，就可以得到：(a+b)〔a-b〕=a-b2.师示多媒体课件，使学生数形结合起来，帮助其理.〕师平方差公式实质上是特殊的项式乘法的一种简便运算我由一些特殊的多项式乘法的计算中分析得到的数学规律它可以进行一些数或式乘法的简便计.数学中，还有很多规律等待我们去探索、去发.设意：本堂的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步开展学生的符号感和推理能.而这个过程离不开旧知识的铺垫方公式的学习很多教学环节和形式与本节的学习是类似的中含的根本知识与根本能力也仍是本节的精神主旨，因而复习很有必.二设质，究试师示多媒体课件〕1.观察以下算式及其运算结果，有什么发现？〔+3〕

〔2+3〕

=(+3)(m+3)=(2+3)(2+3)=+3+3+9=4+2×3x+2×3+9=+2×3+9=4+2×2×3x=+6+9x+92.再举两例验证你的发.

请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？生察思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现.生1：我发现两个算式都是两个和的平方，结果是三项，都有这两个数的平.师：很好生我现算式都是两个数和的平方果是这两个数的平方和再上这两个数的乘积的2倍师：太好了同们看一下是这么回事吗？生声〕是师：你能再举两例验证你的发现吗？生(积极动手、动脑，验证结论，派代表发.师：同学们是否都验证了这个发现？生：是师：你能用式子表示这个规律吗？生：能〔手〕生1：(a+b)22.师书进而问〕你能验证这个规律吗？生多项式乘法验证了正确性〕师：用语言怎样表达？生：两和平，于们平方加它的的2倍.师书〕〔出示课件〕

图

你能用图1-7解释这一公式吗？生考、讨论后，积极举手〕生1验证平方差公式一样两种方法表示图中大正方形的面积为2和a+2ab+b，这两个算式相等，就得到(2=a2+2ab+b.师：太棒了！刚刚，我们从数和形两个方面验证了这个规律的正确性，今后遇见形(a+b)的子，就可以用这个公式来计算.如：〔+3〕=+2×3•m+9=

+6m+9.比拟一下两种做法，哪一种较简单？生：用公式简单.师：试着用公式计算x〕生手计算，体会公式可以使运算简.〕设意：过特例的探索，引入完全平方公式，再让学生自己举例加深对公式的体.而在计算图形的面积时，通过比照这些表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认.通过自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激.三探规、成论1.初完平公.师示课件〕你能计算(a－b)吗生考、积极动脑，在练习本上试着计〕师视，发现两种不同解法，让这两名学生板.〕生1：－b)－b)－b)=a.生2：－b)=a+(]2－b)+b=a.师：看这两个同学的做法是否正确？他们是怎样做的？生：一个是利用多项式的乘法，一个是利用公式，把差的形式化成了和的形式，都正.

师：很好！你能用语言描述一下这个结果吗？生：两差平，于们平方减它的的2倍.师把个规律也当成公式面公式合起来称完全平公.你体会一下“完全〞的含义生嘴舌，最后形成统一意见〕“全部〞的意师：我们把a+b)2=a2称和完全平方公式，2－2ab+b2

称为差的完全平方公式再完平公.师：你能分析一下完全平方公式的结构特点，并用语言进行完整地描述吗？生论，争相答复〕生结构特：边二式两和差平；右是数平和上或去这数积2倍.生2：两和或〕平，于两的平和上或去这数的2倍.师：很好学的东西多了，有的同学可能会记混，教你一口诀于记忆：首方尾方积2倍中，加减前.生：理解口诀，记忆公式.设意：学生从代数运算的角度导出两数差的完全平方公式在此根底上加以总结，从而完善了完全平方公式，同时培养学生有条理的思考和语言表达能.最后以口诀的形式，加深学生对公式的理.四学致、固知师完平方公式和平方差公式一样是整式乘法中的重要公式用它们可以使运算简便〔示多媒体课件〕例完全平方公式计算：(1)(2；(2)x+5);(3)mn生：分析算式的特点，找准谁相当于公式中的a谁相当于公式中的b，试着用公式解题师：派两名同学板演，师生共同评.稳练.1.计：

22〔1〕

1()2

；〔2〕

15

)

；〔3〕(2－3)

；〕(+1)－.生：板演，师生共同评价.师：发现学生有新解法，指名板.生：(+1)－＝+1+)(n+1)＝+1)师：给出肯定，建议学生试着用这种解法做一.2.纠练习：指出以下各式中的误，并加以改正：〔1〕a＝2a+1;〔2〕a+1)＝4

+1；〔3＝生：分析错误原因，并改.

a设意：照公式进行独立的简单计算，体会公式在解中的应用一熟悉公式并过小组交流，自我检验，稳固反.察个人的实际运用能力，并及时查漏补.例利完全平方公式计算：(1)(-2；(2)(-1-2x)师：指导学生分析算式特.生：找出相当于公式中与b的数式，试着解.设意：对课本内容的补充，使学生从更深的一个角度来认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问.教学时首放手让学生独立来解决第一个题目生能出错较多且集中在中间项的符号上由引出有进一步认识公式的必要而教师引导学生再次观察题目细分析题目当中谁相当于公式当中的a与b题过程中学生认识到了解决问题之前恰中选择公式和正确分析题目的必要性，学习的积极性再次被激.五知迁、式练师：我们把形如2+b的式子称完全平式请思考：1.假设(x-1)，那么代数式x+5的值为.2.〔1〕9x2-12x+m是一个完全平方式，那么m的值是〔2〕2是一个完全平方式，那么m的值是.生：组内交流，探究尝试.

师：巡视，发现有程度较好的同学已解出答案，指名，让其说出自己的解.设意：两题都是常考题型其中第一题是整体代法求代数式的值二题是考查学生对完全平方式概念的理解生解决起来可能会有困难师以给予适当的指导使其掌握这种题型的解.课上如果时间不允许，可以放到课下进行探.六

总串，入统师导学生从完全平方公式和方差公式不同和解题过程中要注意的事项两方面总结本节课所学内容生：分析1.完平方公式和平方差公式不：〔1〕形式不同．〔2〕结果不同：完全平方公式结果是三项，即(＝+；平方差公式的结果是两项，即+)(＝2.解过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两,做不丢、弄符、ab时少2.设意：堂小结并不只是课堂知识点的回忆，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励一梳理本节所学要有所思考达所学知识稳固的目的.七达检，价正★1.用完平方公式计算：(1)－a)(2)3﹢b)2(3)2★x，求代数(-3+2(3﹢)－7的值.设意：计两个题目，由简单到复杂，对不同程度的学生分层要.度稍好的学生都完成一般的学生只要完成一题即学生限定时间独立完成生错使学生了解自己学习的掌握情况，便于教师的学情分.八课作、固高1.根训练：课本习题.2.拓练习：〔1〕试着用图形解释2=ab.〔2〕﹢2与－b)试

有怎样的联系？能否用一个等式来表示两者之间的关系，并尝用图形来验证你的结论？

设意：计两组题目，第一组为根底题，稳固本节所学组题目为下一节课的学习做准备九板设1.6完全平方公式〔1〕完全平方公式：(＝+两数和〔或差〕的平方，等于这两数的平方和加上〔或减去〕这两数积的两.

例题

练习教反有前面平方差公式的学习做根底多数学生能够很顺利地进行自主探究和用图形验证和的完全平方公式，并从中建立了数形结合的意.关于差的完全平方公式的几何解释，本节课没有让学生给出验证方法，放到课下进行探索，是为了降低难.这节课的探究活动较多学生的主性得到了充分的表达堂气氛平等融洽激高涨更喜的是在完全平方公式的探求和应用过程中别在解决例2的题时有学生观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力和分析问题、解决问题的能力，此时，作为教师我们要善于抓住这个契时地对学生提出表扬和鼓励一步激发他们的学习兴趣.而对于表现较差的学生，不可轻言放弃，那么要适时地进行学法指导，使其领会数学的化归思想学用一般方法决问题养他们“既见树木又森林〞的优良观察品质本节课的缺乏之处在于处理达检测题目的时间有些紧因是学生对完全平方式的理解不是很好变训练题用的间稍多一些议把变式训练放到课下探究本节课练好完全平方公式的有关计算即可.第章

反例数一、学生知识状况分析通过本章的学习已经历抽象反比例函数概念的过程了反比例函数的概念，

会作出反比例函数的图象索掌握其性质函数图象中获取信息来解决实际问题。本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合步形成对函数概念的整体性认识步高从函数图象中获取数学信息的能力提高生的感知水平逐步形成从函数视角处理问题的意识体验数形结合的数学思想方.教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能.二、教学任务分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的根底上抽象出来的数学概念,是究现实世界变化规律的重要内容及数学模型,生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内,对数已有了初步的认识在此底上讨论反比例函,可以进一步领悟函数的概念累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验为继学习二次函数等产生积极的影响。教学目标(一知识与能力1.经历抽象反比例函数概念的过，理解反比例函数的概2.会作反比例函数的图象，并探和掌握反比例函数的主要性.3.会从函数图象中获取信息用反比例函数的概念和要性质解决实际问题.(二)过程与方法1.熟练掌握本章的整体知识结构培养学生的概括和归纳能力，形成知识体.2.在经历抽象反比例函数概念的程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能.3.经历一次函数的图象及其性质探索过程，在合作与交流中开展学生的合作意识和交流能力4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式作反比例函数的图象能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问.(三情感与价值观通过本章内容的回忆与思考展学生的数学应用能力历函数图象信息的识别与

应用过程，开展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。教学重点本章知识的网络结构体.反比例函数的概.会作反比例函数的图象，并掌握其性.反比例函数的相关应.教学难点利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性.反比例函数的相关应.教学方法自主探究、合作交流三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习提问，引人入胜；第二环节：知识串联，形成体系；第三环节：例题精练，稳固新知；第四环节：交流探讨、获小结；第五环节：课后作业第一环节：复习提问，引人入胜活动目的给生设置疑问，激学生的思考和回忆，明确本节课的学习任务。活动过程：本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内?学生答复预设：反函数及例数用。.

教师引入：面就面复.第二环节：知识串联，形成体系活动目的引导学生对本章的所的根底知识进行系统的归纳和整理学明确各个知识点之间的联系，将底知识网络化，形本钱章知识的框架结构体系。活动过程：〔一〕本章知识结构引导学生构造本章知识结构图。(可前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导

图，上课进行展示和交流)本章内容框架活动效果学可以根据以上内框架自己整理的知识框架进行补充和整理善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内.考前须知：1.应学生自主总和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导；2.对于学生个性化的结构框架的理设计，只要合理，老师都应给予肯定。（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概.学生答复预设：例：当三角形的面积是16cm时，它的底边a(cm)是这个底边上高h(cm)函数解：a＝

32h

.在上式中，任意给定h一值，相应地就确定了一个a的值因此a是的数。所以一般地，如果两变量，y之的关系可以表示成是x的比例函.

kx

(k是数，k≠0)形式,那么y〔三〕说说函数y＝

2和y的象的联系和区别xx联系：图象都是由两支曲线成；(2)它们都不与坐标轴相交；(3)它们都不过原点，既是中心称图形，又是轴对称图.(4)虽然y＝

2和y=-的象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分xx别作x轴、y轴的平行线，与坐轴围成的矩形面积相等，都为2.

区别：它所在的象限不同y=支曲线在第二象限和第四象限.

2的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-的两x(2)y＝

2x

2的图象在每个象限内y随x增大而减小y=-的象在每个象限内，yx随x的大而增大.〔四〕回忆反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质画函数图象的步骤有列表、描点、连在作反比例函数的图象时应注意：列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值尽量多取一些点线时要连成光滑的曲线，而不是折.反比例函数图象的性质有〔课件演示1.形状：反比例函数的图象是两双曲.2.位置：当k>0时图象分别位第一、三象限；k<0时，象别位于第二、四象限3.增减性：当k>0时.在每一个限内y增大而减小；当k<0时在每一个象限，y随x的大而增.4.因为在y=

kx

(k≠0)中x不为0也能，所以反比例函数的图象不可能与x轴交，也不可能与y轴相.5.在一个反比例函数图象上任取点，Q过点，Q分别作x、轴，轴的行线，与坐标轴围成的矩形面积为S，S那么S＝S6.对称性：反比例函数的图象是轴对称图形是中心对称图形它有两条对称轴，对称中心是坐标原点第三环节：例题精练，稳固新知活动目的使生运用反比例函的概念象和主要性质熟练的解决实际问题高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。活动过程：课件展示例一1.以下函数中，其图象位于第一三象限的有哪?其图象所在象限内，的值值的增大而增大的是哪些()

(1)y=

13x

(3)y=(2)y=x

(4)y=-

72.在函数＝

3x

的图象上任取一点P，过P分别轴、轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多?分析：根据反比例函数图象的性质，当＞0，图象位于第一、三象限，在每一个象1限内，随的大而减小；当k<0时，好相反，但在＝中形式虽然和反比例函3x数的形式不相同，但可以化成y=

x

的形式。答案：图象位于第一、三象限的(在其图象所在象限内y的随x值增大而增大的(3)(4).2.S=｜=3.例二14

，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200，倒过来放，对桌面的压强是多少当体积v＝5米ρ＝1.98千／米(ρ与的函关系式当米3CO的密度.

时，分析：压强p、力面积S、压三者间的关系为p=是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不.

FS

，因为是同一物体，所以质量m、密度ρ、体积v三之的关系为：

，由v=5米，千／,可知质量m，实际代表反比例函数中的k求出m就确定了反比例函数的关系.答案：解1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p

FS

所倒过来放时对面的压强＝

FF

＝800Pa.

的质量为千克将v=5米，ρ=1.98克／米入公式ρ＝故所求ρ与v间函关系式为ρ＝.

中，得m=9.9千克.(2)当v＝9米

时，ρ=

＝1.1(千克／米3)

课堂练习课演示：1.对于函数y=

2x

2，当x>0时y_______0，这局图象在______限；对于y＝-，x当x<0时，y____0，局部图象在_____限2.函数y=

10

的图象在第象内，在每一象限内y增大而_____.k3.根据以下条件，分别确定函数y＝的达式x(1)当x=2时，y＝-3；(2)点(-

12

13

k)在双曲线y＝上x答案：1.>一三<二四2.一、三减3.(1)y=

1(2)y=；6考前须知：在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，防止替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。第四环节：交流探讨收小结活动内容：教师导学生进行忆和整理后通过师生交流和生生交流答复以下问题：本节课我们都一起回忆和复习了哪