北师大版七年级数学(下)整式的运算知识点总结及习题

七年级数学第一单元《整式的运算》本章知识结构：一、整式的有关概念1、单项式3、多项式二、整式的运算2、单项式的系数及次数4、多项式的项、次数5、整式（一）整式的加减法（二）整式的乘法1、同底数的哥相乘3、积的乘方5、单项式乘以单项式7、多项式乘以多项式9、完全平方公式（三）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式2、哥的乘方4、同底数的哥相除6、单项式乘以多项式8、平方差公式一、整式的有关概念1、单项式：数与字母乘积，这样的代数式叫单项式。单独一个数或字母也是单项式。2、单项式的系数：单项式中的数字因数。3、单项式的次数：单项式中所有的字母的指数和。练习：指出下列单项式的系数、指数和次数各是多少。a,c3 42xy,c32mn,a2b4、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中次数最高项的次数叫多项式的次数。5、多项式的项及次数：组成多项式中的单项式叫多项式的项,特别注意，多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！练习：指出下列多项式的次数及项。多项式中次数最高项的次数叫多项式的次数。2x3y2z3 4 -ab,32xy5m5n26、整式：单项式与多项式统称整式。特别注意，分母含有字母的代数式不是整式，即单项式和多项式的分母都不能含有字母。二、整式的运算（一）整式的加减法基本步骤：去括号，合并同类项。特别注意：1.整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式 ^2.括号前面是”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘.(二)整式的乘法1、同底数的哥相乘法则：同底数的哥相乘，底数不变，指数相加。数学符号表示：am?anamn(其中m、n为正整数)练习：判断下列各式是否正确。a3?a32a3,b4b4b8,m2m22m2(x)3?(x)2?(x)(x)6x6特别注意，公式还可以逆用： amnam?an(m、n均为正整数)2、哥的乘方法则：哥的乘方，底数不变，指数相乘。数学符号表示：(am)namn(其中m、n为正整数)[(am)n]pamnp(其中m、n、P为正整数)练习：判断下列各式是否正确。(a4)4a44a8,[(b2)3]4b234b24(x2)2n1x4n2,(a4)m(am)4(a2m)2特别注意，公式还可以逆用：amn(am)n(an)m,amnp[(am)n]p(m、n均为正整数)3、积的乘方法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的哥相乘。(即等于积中各因式乘方的积。)符号表示：(ab)nanbn,(其中n为正整数)，(abc)nanbncn(其中n为正整数)练习：计算下列各式。(2xyz)4,(1-a2b)3,( 2xy2)3,(a3b2)32特别注意，公式还可以逆用： an?bn(ab)n,an?bn?cn(abc)n,(其中n为正整数)4、同底数的哥相除法则：同底数的哥相除，底数不变，指数相减。数学符号表示：amanamn(其中m、n为正整数)ap工(a0,p为正整数)paa01(a0)判断：TOC\o"1-5"\h\z6 3 63 2 2\o"CurrentDocument"aaaa,10 20,/40 5 3 2(-) 1,(m)(m)m5练习：计算1 2c3/1、1 2003,010 (0.1) 2 (-) [(2)]2m、2m.2.2 2、mnm(2) 2,(x)(x?x),aa5、单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的哥分别相乘，其余的字母则连同它的指数不变，作为积的一个因式。单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。练习：计算下列各式。(1)(5x3)(2x2y),(2)(3ab)2(4b3)(3)(am)2b(a3b2n),(4)(2a2bc3)(4c5)(3ab2c)6、单项式乘以多项式法则：单项式乘以多项式，就是根据乘法分配律用单项式的去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序。7、多项式乘以多项式法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；练习：1、计算下列各式。(1)(2a)(x2y3c),(2)(x2)(y3)(x1)(y2)1⑶(xy)(2x2y)8、平方差公式法则：两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。数学符号表示：2 2(ab)(ab)ab其中a,b既可以是数，也可以是代数式.说明：平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的，它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。其结构特征是：①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。9、完全平方公式TOC\o"1-5"\h\z法则：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)这两数积的 2倍。口决：首平方，尾平方， 2倍乘积在中央。数学符号表示：2 2_ 2(a b) a 2ab b ;2 2_ 2(a b) a 2ab b其中a,b既可以是数，也可以是代数式.一一 2 2 2即:(ab)a2abb结构特征：①公式左边是二项式的完全平方；②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的 2倍。特别说明：完全平方公式是根据乘方的意义和多项式乘法法则得到的，因此(ab)2a2b2/ 2 2 2 2 2(a b) (a b)(a b) a ab ab b a 2ab b(a b)2 (a b)(a b) a2 ab ab b2 a2 2ab b2练习：1、判断下列式子是否正确，并说明理由。― ― 2_2⑴(x2y)(x2y)x2y,2 2 2⑵(2a5b)24a225b2,1 2 12(3)(—x1)2—x2x1,2 4⑷无论是平方差公式，还是完全平方公式，a,b只能表示一切有理数.2、计算下列式。(1)(6xy)(6xy)(2)(x4y)(x9y)(3)(3x7y)(3x7y)(4)(x3y2z)(x3y2z)⑸(x3y2z)(x3y2z)(6)199.92(7)20012199923、简答下列各题：(1)已知a2」25,求(a工)2的值.a a⑵若xy22,x2y2 1,求xy的值.(3)如果(mn)2zm22mnn2,则z应为多少？(三)整式的除法1、单项式除以单项式法则：单项式除以单项式，把它们的系数、相同字母的哥分别相除后，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。2、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，就是多项式的每一项去除单项式，再把所得的商相加。练习：计算下列各题。1C1)( a6b4c)(2a3c)45 1 2(2)6(ab)5[-(ab)2]3(3)(5x2y34x3y26x)(6x)13m2n2m12 32m13 2m12、⑷/xyxyxy)(0.5xy)3 4《整式的运算》一、知识点：1、只有数与字母的的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式） ；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称整式。下列代数式中，单项式共有个，多项式共有个。212 2 3； 1/ 、 1/ x1xya,5a b,2,ab,—（xy）,（ab）,a, , 3 4 a 2 72、一个单项式中，所有的指数和叫做这个单项式的次数；一个多项式中，次数的项的次数叫做这个多项式的次数。（单独一个非零数的次数是0）23斗亍I、xyz,次数是;（2）兀的次数是,次数是;（2）兀的次数是2（3）3ab2c2a2bab2是单项式和，次数最高的项是,它是次项式，二次项是,常数项是.3、同底数哥的乘法，底数,指数。即：aman（m,n都是正整数）。5 6填空：(1) 35 36(2)b2mbm145 6填空：(1) 35 36(2)b2mbm14、哥的乘方，底数o即:（m,n都是正整数）。,,、 _32填空：（1）2355b2n13x5、积的乘方等于每一个因数乘方的积。即:nab（n是正整数）2填空：（1）3x32b412xy6、同底数哥相除，底数不变，指数相减。即:6、同底数哥相除，底数不变，指数相减。即:n（a0,m,n都是正整数，且m>n）,零指数:a0,（a0）；负指数a零指数:a0,（a0）；负指数ap0,p是正整数）.填空：①- 4②xyxy3.147、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的哥分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为2 1积的因式。如：2xyz-xy

(2)单项式与多项式相乘：4ab2ab23a2b=(3)多项式与多项式相乘：2xyx2y8、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。即:公式逆用：a2b2计算：①58x58x②3xy3xy,③37.5217.529、完全平方公式：ab2a公式逆用：a2b2计算：①58x58x②3xy3xy,③37.5217.529、完全平方公式：ab2a22abb2a22abb2o公式变形：①a2b2(ab)2公式推广：①ab计算：①2x4… _ 2mn2ax22x1⑤(xy)2(xy)22 2、(xy)(xy)(xy)⑥(4y3x5z)(3x4y5z)10、整式的除法：单项式相除，把系数、同底数哥分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：(1)10a4b3c5a3b ；⑵3x3y2 xy ；多项式除以单项式，如:18a2b10b22b二、巩固练习：1、选择题：(1)下列叙述中，正确的是( )、，一. 2B、a、兀、0、22都是单项式B、a、兀、0、22都是单项式C、多项式3a3b22a1是六次三项式D、mnn 是二2.次二项式(2)减去3x等于5x25的代数式是()一2一 _A、5x6x52B、5x3x5C、55x22D、5x6x5.. 3 5(3)计算(610)(810)的结果是()9A、4810一 一9B、4.810C、一 一94.810一 一15D、48102(4)如果多项式xmx9是一个完全平方式,则m的值是(：)A、±3B、3C、士6D、6(5)如果多项式x28xk是一个完全平方式，则k的值是()A、一4B、4C、—16D、162、计算：3 3 3(1)aa 2a2 23a(2)2x3y2x3y 2x3yxyzxyz

9(x+2)(x—2)—(3x—2)223 2 4⑸x3xx2x2

_ 2 _ 2(6)2ab2ab3、运用整式乘法公式进行计算:99101999912399101999912321221184、解答题：2(1)解万程：x1x2x215(2)化简求值:xy(2)化简求值:xy2xy22x2y24xy,其中x10,y125(3)(3)若xy6,xy3,求x2y2的值。(4)计算图中阴影部分的面积。

BB卷练习题TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2X X1化简：x 3 - 3 =2 22.已知,x、y是非零数，如果个一5,则31\o"CurrentDocument"xy xy2 ,2 4 ,43'abababab.一■ 1 ・4、乘积一■ 1 ・4、乘积1 21221321 21——2等于1999 20005、下列各图中，每个正