现代分析第八章

今天讲这个东西！2023/2/5新课程现代数学——《分形几何简介》2分形几何简介

AnIntroductionto

FractalGeometry现代分析第八章上帝必定是一个几何学家！Godmustbeageometer！

名人名言

——伽利略——Galileo分形(fractal)分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家---曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出版的《大自然的分形几何学》(TheFractalGeometryofNature)是这一学科经典之作。分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念，混沌(chaos,)、分形和孤立子(soliton)

是非线性科学(nonlinearscience)中三个最重要的概念。几何学的基本研究对象是“空间形式的抽象化——形。研究形的各种变换不变性质形成了不同研究内容的几何学——欧几里德几何学、射影几何、拓扑学、……用不同的方法去研究形，又形成了以研究方法为特征的各种几何学——几何学的发展陈省身的观点历史上几何学可分为六个时期：1)公理(欧几里德)；2)坐标(笛卡尔，费马)；3)微积分(牛顿，莱布尼兹)；4)群(克莱因，李)；5)流形(黎曼)；6)纤维丛(嘉当，惠特尼)。7）分形几何（曼德布罗特）两千多年来，虽然几何学的研究方法发生了多次革命，但是其研究对象却始终保持在两千多年前的局面——欧几里德几何对象——直线、平面、圆形、球形、正方形、正方体乃至其它的如二次曲线之类的空间规则图形。几何学的发展2023/2/58欧几里德几何学的局限传统的欧几里德几何学已经在改造自然、训练思维、推进人类文明方面发挥了不可替代的作用。但是，欧几里德几何所研究的图形限于直线、平面、圆形、球形、正方形、正方体乃至其它的如二次曲线之类的空间规则图形。当我们严格地去分析欧几里得几何与自然的关系时，我们会发现，要想在自然界中找到真正的圆形、球形、正方形、正方体等，几乎是不可能的，欧几里德几何图形其实只是人类对大自然的理想化产物。欧几里德几何学的局限黑板房子轿车盒子太阳描述事物：平时我们可以用欧几里德几何图形近似地表示形状简单的物体.欧几里德几何学的局限可是对于一些不规则而复杂的物体，用什么方法描述这些几何图形呢？欧几里德几何学的局限欧几里德几何图形并不能准确地描述大自然测量事物欧几里得几何学的研究对象仅涉及具有特征长度的几何物体：0维空间：点，可以计数，没有长度；1维空间：线段，有长度，没有宽度；2维空间：矩形，有周长、面积，没有体积；3维空间：方体，有表面积、体积；自然界中很多物体具有特征长度，比如：人有高度、山有海拔高度等。欧几里德几何学的局限欧几里德几何学的局限但是事物大多没有这么简单。美国计算机科学家曼德尔布罗特（Mandelbrot

）就提出了这样一个问题：英国的海岸线有多长？海岸线

英国的海岸线地图英国的海岸线有多长？英国的海岸线有多长？当你用一把固定长度的直尺来测量时，对海岸线上两点间的小于尺子尺寸的曲线，只能用直线来近似。因此，测得的长度是不精确的。如果你用更小的尺子来刻画这些细小之处，就会发现，这些细小之处同样也是无数的曲线近似而成的。随着你不停地缩短你的尺子，你发现的细小曲线就越多，你测得的曲线长度也就越大。如果尺子小到无穷小，则测得的长度将是无穷大。英国的海岸线有多长？得到的结论是：海岸线的长度是多少？——这取决于所用尺子的长短。精细的测量发现：海岸线的长度是无限的！而显然海岸线的面积为零；而我们确实看到了海岸线的存在，而且海岸线应该是有界的。但是，海岸线面积为零，长度无穷，究竟海岸线的什么量有界呢？英国的海岸线有多长？海岸线的长度问题，并不仅仅是一个特别的个例！许多事物都有类似的困惑——2023/2/520分形几何学被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，其本质是一种新的世界观和方法论。它承认，在一定条件下、一定过程中、在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等），世界的局部可能表现出与整体的相似性；它承认，空间维数的变化既可以是离散的，也可以是连续的……分形几何学2023/2/522认识分形2023/2/523分形理论源自于数学内部2023/2/524“病态”的“数学怪物”“病态”的“数学怪物”

19世纪后半叶起，数学家们在研究函数的连续性时构造出一系列不符合人们传统观念的集合。德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierstrass）1872年构造的以他的名字命名的函数W（x）是这类集合的第一例其中1<s<2且>1，W(x)是处处连续、但处处不可微的函数。对应参数s

=1.4,=2，W(x)的图象是

Weierstrass函数怪物1Weierstrass函数怪物1Weierstrass函数Weierstrass函数W(x)的缺陷是：其图象难以绘出，因此不够直观。但是，由于该函数处处连续却无处可微，从而人们认识到其图象是处处连续却处处无切线的曲线，这引起了当时数学界的极大震惊。怪物1Weierstrass函数1883年，德国数学家康托(G.Cantor)构造了一个奇异集合——康托三分集：将数轴上的闭区间E0=[0,1]三等分，删去中间的开区间(1/3,2/3)，剩下两个闭区间[0,1/3]，[2/3,1]记为E1；再将这两个闭区间分别三等分，各去掉中间的开区间(1/9,2/9)，(7/9,8/9)，剩下更短的四个闭区间记为E2，……，这样的操作一直继续下去，直至无穷。怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集怪物2康托三分集在这样的操作下，有些点是永远删不去的，比如，1/3，2/3，以及所有被删去的开区间的端点。最后剩下的是一个离散的无穷点集F，称为康托三分集.怪物2康托三分集如果用0维的（点的个数）尺度去测量它，其度量值显然是无穷；如果用一维的长度尺度去测量它，注意其第n步过后的生成元En

由长度为(1/3)n

的2n个区间段构成，其长度为2n(1/3)n，因此，康托三分集的长度为怪物2康托三分集这说明，康托三分集无法用欧几里得几何的整数维尺度去度量。怪物2康托三分集1904年，瑞典数学家冯·科赫（H.vonKoch）构造了著名的魔线：取单位长度线段E0，将其等分为三段，中间的一段用边长为E0的1/3的等边三角形的两边代替得到E1，它包含四条线段，对E1的每条线段重复同样的操作后得E2，对E2的每条线段重复同样的操作后得E3，……，继续重复同样的操作无穷次时所得的曲线称为科赫曲线

怪物3VonKoch雪花曲线怪物3VonKoch雪花曲线如果用一维的长度尺度去测量它，注意其第n步过后的生成元En

由4n个长度为(1/3)n

的区间段构成，其总长度为(4/3)n，因此，科赫曲线的长度为无穷。怪物3VonKoch雪花曲线怪物3VonKoch雪花曲线因此科赫曲线的面积为0。如果用二维的面积尺度去测量它，注意其第n步过后的生成元En

可以由4n-1个底边长度为(1/3)n-1

，高为的三角形所覆盖（如图），这些三角形的总面积为，这说明，科赫曲线无法用欧几里得几何的整数维尺度去度量。怪物3VonKoch雪花曲线若把初始元E0“——”改为边长为1的等边三角形，对它的三边都反复施以同样的变换，直至无穷，最后所得图形称为科赫雪花曲线.它被用作晶莹剔透的雪花模型.怪物3VonKoch雪花曲线观察雪花分形过程第一次分叉：1第一次分叉，周长为3(4/3)1，围出面积0.5772第二次分叉，周长为3(4/3)2，围出面积0.6423第三次分叉，周长为3(4/3)3，围出面积0.674第四次分叉，周长为3(4/3)4，围出面积0.6835第五次分叉，周长为3(4/3)5，围出面积0.688Koch雪花曲线长度趋于无穷，但是，其围出的面积保持有界，曲线本身所占有的面积为0。这说明，Koch雪花无法用欧几里得几何的整数维尺度去度量。1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基“垫片”：怪物4谢尔宾斯基垫片设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得图形F称为谢尔宾斯基“垫片”，它被用作超导现象和非晶态物质的模型。怪物4谢尔宾斯基垫片不要心急仔细看我将类似的操作施以正方形区域（与前面不同的是这里将正方形九等分）所得图形F称为谢尔宾斯基“地毯”。怪物4谢尔宾斯基垫片数学家门杰（K.Menger）从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰“海绵”。构造过程为：怪物5门杰海绵从一个立方体出发，将其每边三等分，得27个小立方体，将体心和六面心上共七个小立方体舍去保留其余20个小立方体；再对每个小立方体进行同样操作，得到更小的20×20＝400个立方体，如此操作进行下去直至无穷，便得到门杰“海绵”。怪物5门杰海绵门杰“海绵”怪物5门杰海绵类似前述讨论可以知道：对于谢尔宾斯基“垫片”，如果用一维的长度尺度去测量它，其长度为无穷；如果用二维的面积尺度去测量它，其面积为0。怪物5门杰海绵对于门杰“海绵”，如果用二维的面积尺度去测量它们，其面积为无穷；如果用三维的体积尺度去测量它们，其体积为0。

这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构，由于其表面积为无穷大，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型。怪物5门杰海绵这些说明，用欧几里得几何的整数维尺度也无法去度量谢尔宾斯基垫片和门杰海绵。怪物5门杰海绵2023/2/577由复解析函数迭代

产生的图形在第一次世界大战期间，法国数学家G.Julia和P.Fatou受牛顿迭代法求解方程的启发，研究了复解析函数的迭代性质，建立了复解析动力系统理论。在他们的理论中，设f是一个非常数的有理函数或整函数,考虑f的迭代序列f0(z)=z,f1(z)=f

(z),……，fn+1(z)=f

ºfn(z)=f[fn(z)],……

Julia集研究在n→∞时该序列的渐近性态。对于一个给定的函数，他们把复平面分成两部分，一部分称作稳定集或Fatou集F=F(f)

F=F(f)={z∈C:序列{fn}在z的某邻域上是正规的}.另一部分称作非稳定集或Julia集J=J(f)

J=J(f)=C-F(f)

Julia集笼统地说，稳定集或Fatou集F(f)是使得序列{fn}表现良好的点集，在其中的每一点，都存在一个邻域U，使得{fn(z)}在U上一致收敛到一个有限数或一致发散到无穷；非稳定集或Julia集J=J(f)=C-F(f)是使得序列{fn}表现混乱的点集。F(f)是一个开集，而J(f)是一个闭集。Julia集比如，对函数f(z)=z2,容易算出开集F(f)包含两部分：单位圆的内部和外部，它们分别是使得{fn(z)}一致收敛到0和一致发散到无穷的点集，而J(f)=单位圆周{z∈C:|z|=1}。Julia集需要注意的是，在一般情况下，J(f)都是极其复杂的几何图形，远没有单位圆周这么简单。事实上，几乎所有的Julia集都非常复杂，又非常美丽。Julia集2023/2/583f(z)=z2+c,c=0.11+0.66i

Julia集Julia集(二)C=-1Julia集(三)C=-0.5+0.5iJulia集(四)C=-0.2+0.75iJulia集(四)C=0.64i

针对二次函数簇fc(z)=z2+c，其中c是复参数，他引入一个集合M，叫做Mandelbrot集,M={c∈C:序列{fcn(0)}不趋于∞}={c∈C:J(fc)是连通集}并惊奇地发现集合M具有惊人的复杂性和许多美妙的性质。

Mandelbrot集Mandelbrot集新课程现代数学——《分形几何简介》Mandelbrot集32023/2/591分形概念的引入星系、云团、山川河流、动物植物等是不规则的；晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的；数学中的某些自然生成的形体也是不规则的。问题：如何用几何来描述它们？分形的定义美国计算机科学家曼德尔布罗特（B.Mandelbrot）观察到这些图形的共同特征，提出了一门描述大自然的几何形态的学科---分形(Fractal)几何。分形的定义1975年曼德尔布罗特在其《分形：形状、机遇和维数》一书中第一次引入分形这一概念，1977年他又出版了其第二部著作《大自然的分形几何学》。分形的定义曼德尔布罗特对分形的定义：分形的定义Afractalisashapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形据曼德尔布罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规则碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德尔布罗特一直使用英文fractional一词来表示他的分形思想。Fractal（分形）一词的由来

因此，取拉丁词之头，英文之尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德尔布罗特是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。Fractal（分形）一词的由来

“分形”的命名70年代末fractal传到中国，一时难以定译。中科院物理所李荫远院士说，fractal应当译成“分形”，郝柏林、张恭庆、朱照宣等科学家表示赞同，于是在中国大陆fractal逐渐定译为“分形”。如今台湾还译“碎形”，显然不如“分形”好。分形的特点是，整体与部分之间存在某种自相似性，整体具有多种层次结构。“分形”之译的确抓住了fractal的本质--科学本质、哲学本质和艺术本质。“分形”的命名中国传统文化中关于“分”与“形”有丰富的论述，想必李荫远院士极为熟悉。李院士是物理学名词审定委员会三名顾问之一。宋明理学关于“理”(“理念”或者“太极”)与“万物”、整体与部分、一般与具体的关系的思想吸收了佛家观念，特别是华严宗和禅宗的观念。李荫远的译名实在于平凡处见功力，如李善兰(1811-1882)译“微分”

(differentiation)、“积分”

(integration)，王竹溪(1911-1983)译“湍流”(turbulence)、“逾渗”

(percolation)和“运输”(transportation)。2023/2/5100分形的特征对于什么是分形，虽然曼德尔布罗特曾经提出了一个定义，但却很难据此判定一个图形是否是分形。到目前为止,人们还没有给出分形的一个确切定义。正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形也可同样的处理。分形的特征分形作为一种全新的概念，使许多人在第一次见到分形图形时都有新的感受，不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看。分形图可以体现出许多传统美学的标准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的新的表现。分形的特征分形图中的平衡，是一种动态的平衡，一种画面各个部分在变化过程中相互制约的平衡；分形图的和谐，是一种数学上的和谐，每一个形状的变化，每一块颜色的过渡都是一种自然的流动，毫无生硬之感；分形的对称，既不是左右对称也不是上下对称，而是画面的局部与更大范围的对称，或说局部与整体的对称。分形的特征在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和丰富的变换，它表现的是自然界的千姿百态和复杂性。分形的特征分形几何学认为：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。局部可以反映整体。分形的特征维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间.对于更抽象或更复杂的对象，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数。但通常人们习惯于整数的维数。分形的特征当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。分形的特征分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。对于我们上面提到的Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成.用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0.那么只有找一个与该曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是分数了。分形的特征分形的特征，归纳起来有以下几点：无限精细的结构不能用传统的几何语言描述自相似性分数维数可以由简单的方式生成分形的特征（1）具有无限精细的结构，即在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节；无限精细的结构（2）具有不规则性，以至于无论它的局部或整体都不能用传统的几何语言、乃至微积分的语言来描述；不能用传统的几何语言描述（3）具有某种自相似性，其任意小的局部都可能在统计或者是近似意义上与其整体具有相似性；自相似性分形最明显的特征是自相似性

不要心急仔细看我（4）分形的分数维数（用某种方式定义的）通常严格大于它的拓扑维数；分数维数（5）在许多令人感兴趣的情形，可以由非常简单的方法定义，并由递归、迭代等产生。

分形几何的主要价值在于它在极端有序和真正混沌之间提供了一种可能性：本来看来十分复杂的事物，事实上大多数均可用仅含很少参数的简单公式来描述。其实简单并不简单，它蕴含着复杂。分形几何中的迭代法为我们提供了认识简单与复杂的辩证关系的生动例子。可以由简单的方式生成其中（1）、（2）、（4）说明了分形的复杂性；（3）、（5）项说明了分形的规律性和生成机制。以分形的观念来考察前面提到的各种“病态”曲线时，可以看出它们不过是各种分形而已。分形的特征2023/2/5117分形的应用分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变，从根本上讲分形反映了自然界中某些规律性的东西。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、地质学、医学、生态学、地震预报、图象编码理论、信号处理、等等。分形的应用分形的应用领域1.数学：动力系统2.物理学、化学等自然科学：如雷电、相变、聚合物生长、天文、地理、地质、生态、生命等自然现象；3.非线性动力系统中的分形研究；4.人文、经济：如股票涨落分析等；5.国民经济：如地震、气象的预报预测、石油的多次开采等领域。其他：医学、计算机，社会，艺术等等以植物为例，植物的生长是植物细胞按一定的遗传规律不断发育、分裂的过程。这种按规律分裂的过程可以近似地看作是递归、迭代过程，这与分形的产生极为相似。在此意义上，人们可以认为一种植物对应一个迭代函数系统。人们甚至可以通过改变该系统中的某些参数来模拟植物的变异过程。分形的应用在医学、生态学领域，分形被用于描述和预示不同生态系统的演化。有一些科学家认为分形几何有助于他们理解被观察的正常活细胞的结构和组成癌组织的病细胞的结构。所以通过建立与健康的或患病的组织相像的分形生长模型，科学家们也能够了解存在于基因密码的控制生长的信息，以及如果这种生长结果的信息被破坏时，癌组织是如何发展的。分形的应用在数学内部，分形几何对以往欧氏几何无能为力的“病态”曲线的全新解释是人类认识客体不断开拓的必然结果。当前，人们迫切需要一种能够更好地研究、描述各种复杂自然曲线的几何学。而分形几何恰好可以担当此用。所以说，分形几何也就是自然几何，以分形或分形的组合的眼光来看待周围的物质世界就是自然几何观。分形的应用分形作为一种新的世界观和方法论，具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。分形的应用2023/2/5124研究分形2023/2/5125如何来研究分形？如何来研究分形？研究分形遇到的首要问题是如何度量它们，比如，如何比较两个分形的大小？如何认定两个分形是相似的？如何衡量两个不同的分形在度量上是等价的？分形是复杂的、不规则的系统，从前面提出的康托三分集等分形图形讨论中我们知道，用欧几里得几何的整数维尺度无法去度量分形。

如何来研究分形？分形区别于传统几何对象的一个重要特征就是，它承认，空间维数的变化既可以是离散的，也可以是连续的。描述分形系统的粗糙、破碎、不规则、不光滑程度及复杂性的定量指标和手段就是分数维数，它度量了系统填充空间(致密)或缝隙(疏松)的能力，刻划了系统的无序性，表征了动力学系统最小的基本或独立变量的个数。如何来研究分形？因此关于各种分形维数的计算方法和实验方法的建立、改进和完善，是研究分形的科学家们普遍关注的问题。2023/2/5129拓扑维数拓扑维数

拓扑维数是空间几何体的一个基本量,以Dt表示，它取整数值。直观地讲，点、线、面、体分别是0、1、2、3维几何体.点---0维；线---1维；面---2维；体---3维。这里0、1、2、3就是该几何体的拓扑维数。拓扑维数

一般地，如果一个几何体，可以通过对它进行适当的缩放、位移、拉伸、旋转等拓扑变换，转换成由相互孤立的点组成的几何体，就称该几何体的拓扑维数为0；而经过上述变换可转换成直线的几何体的拓扑维数是1；余此类推。所以，拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d，它是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数。2023/2/5132相似维数相似维数将长度为1的线段分为n等分,每段长为r,则

n•r=1将面积为1的正方形n等分,每一个小正方形的边长为r,则

n•

r2=1将体积为1的正方体n等分,每一个小正方体的边长为r,则

n•r3=1相似维数从上面的等式中可以看到,r

的幂次D实际就是该几何体的空间维数.这个D与线段的长度r和段数n没有关系，可以统一表示为:

n•rD=1对上式两边取对数得:显然,D具有维数的含义.定义相似维数：设分形F是自相似的，即F由m

个子集构成，每个子集放大c倍（相似比）后同F一样，则定义F的相似维数为

相似维数相似维数对于一条直线段，将它n等分，共分为m=n段,每段都与原线段相似，相似比为c=n。将一个正方形每边等分成n段，将它等分成m=n2个小正方形，每个小正方形都与原正方形相似，相似比为c=n。将一个立方体每边等分成n段，将它等分成m=n3个小立方体，每个小正方体都与原正方体相似，相似比为c=n。一般地，设一图形可分解为m个与之相似的子图形，相似比为c，则图形的维数D满足：cD

=m.相似维数对Koch曲线而言相似维数在第n步时,其等长折线段总数为m=4n,每段的长度为r=(1/3)n

，相似比为c=1/r=3n.则Koch曲线的相似维数为:相似维数对康托三分集而言相似维数在第n步时,其等长线段总数为m=2n,每段的长度为r=(1/3)n

，相似比为c=1/r=3n.则康托三分集的相似维数为:2023/2/5141102103104101102103104105101loglogN()英国海岸线的分形维数D=1.25Mandelbrot算出：英国海岸线的维数为D=1.25相似维数正方形与正方体的相似维数分别等于其拓扑维数，这表明相似维数是拓扑维数概念的一种推广，是有意义的。分维D度量了系统填充空间(致密)或缝隙(疏松)的能力,刻划了系统的无序性,表征了动力学系统最低的基本或独立变量的个数.相似维数但是，相似维数只适用于整体与局部相似的图形，因而只对具有严格自相似性的分形才有效，使用范围有限。所以定义对所有分形图形都适用的维数是很有必要的。2023/2/5144豪斯道夫维数豪斯道夫维数取长度为l的线段，放大2倍后的长度2l。边长为l的正方形，每边长放大2倍的面积为4l2。边长为l的立方体，每边长放大2倍的体积为8l3。结果整理如下：一维图形（线段）21=2

二维图形（正方体）22=4

三维图形（立方体）23=8

归结：豪斯道夫维数

这说明，在一个D维空间中，当边长放大为L倍时，相应的规则几何体的体积放大为K=LD倍，而D=logK/logL。一般地，当测定某集的测度的单位半径为r，测定的结果N(r)会随着r的减小而增大，如果存在数DH使得测定的结果N(r)满足下式：其中C为非零常数，则该集的维数为DH，该维数称为Hausdorff维数。Hausdorff维数具有这样的性质：对于任何一个有确定Hausdorff维数的几何体,若用与它相同维数的“尺r”去度量,则可得到一确定的数值;若用低于它维数的“尺”去量它,结果为无穷大;若用高于它维数的“尺”去量它,结果为零.豪斯道夫维数豪斯道夫维数数学表达式为:N(r)～r-DH上式两边取自然对数,整理后可得

DH

~lnN(r)/ln(1/r)或

豪斯道夫维数结论：对于正规几何图形，分子被分母整除，DH

为整数，是欧几里德维数。对非规则图形，分母一般不可整除分子，DH

一般是分数。

豪斯道夫维数定量地描述了一个集合规则与不规则的几何尺度,其整数部分反映出图形的空间规模(整数维数).豪斯道夫维数对于自相似集来说，其豪斯道夫维数与相似维数的计算公式与结果都是一样的。对于非自相似集来说，其豪斯道夫维数的计算一般比较困难。2023/2/5151容量维容量维大自然中存在大量的在统计意义下的自相似体，一般并不知道自相似比。为了解决这类物体的分维计算，发展了计算容量维数方法.计算相似比比较复杂的图形时，采用小方块(或圆片、球体、方体等)去覆盖(或填充)被测对象，统计覆盖所需的方块数来计算其维数。如此方法计算的维数称为容量维。盒子维数：设FR是有界集合，其中R是正方形（圆形）。用边长（半径）为r的小正方形（小圆形）去覆盖F，记N(r)为覆盖F所需要的小正方形（小圆形）的最小个数。当r越来越小时，N(r)越来越大。定义F的盒子维数为

容量维康托三分集的容量维D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/32(1/3)222(1/3)323(1/3)n2n科赫雪花的容量维D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(4)/log(3)rN(r)131/33×4(1/3)23×42(1/3)33×43(1/3)n3×4n谢尔宾斯基地毯的容量维r=1D(r)=1r=1/3D(r)=8r=(1/3)2D(r)=82r=(1/3)3D(r)=83D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(8)/log(3)rN(r)111/38(1/3)282(1/3)383(1/3)n8n谢尔宾斯基垫片的容量维D=Lim(log(N(r))/log(1/r))=log(2)/log(3)rN(r)111/23(1/2)232(1/2)333(1/2)n3n2023/2/5185构造分形图形迭代生成分形给定初始图形

F0

，依照某一规则R对图形反复作用

Fk+1=RFk,k=1,2,3,…得到图形序列

F1,F2,…,其极限图形是分形，作用规则R称为生成元。例如，Cantor集的生成元是VanKoch雪花曲线的生成元是图形迭代生成分形Minkowski“香肠”图形迭代生成分形Sierpinski地毯图形迭代生成分形Hilbert曲线图形迭代生成分形生物学家Lindenmayer提出,一个L系统可表示为一个有序的三元素集合：

G=<V,w,P>其中：V是一些运动过程集合，w是初始形状，P是生成式。花草树木(L系统）花草树木(L系统）例如，F表示向前距离d,+表示左转弯,-表示右转弯，[表示压栈，]表示出栈。

花草树木(L系统）花草树木(L系统）花草树木(L系统）2012年7月197六、结束语1.分形几何学与欧几里得几何学的比较描述的对象特征长度表达方式维数欧几里得几何学自然界和人类社会中简单规则的构型和现象有数学公式0，1，2或3分形几何学自然界和人类社会中复杂奇异的构型和现象无迭代语言一般是分数（也可以是正整数）2012年7月1982.陈省身的观点

历史上几何学的发展可以分为以下七个时期：（1）公理化体系的奠基（欧几里德）；（2）坐标系的建立（笛卡儿，费马）；（3）微积分学的创立（牛顿，莱布尼兹）；（4）群论观点的引入（克莱因，李）；（5）流形理论的建立（黎曼）；（6）纤维丛理论的建立（嘉当，惠特尼）；（7）分形几何学的兴起、发展（曼德尔布罗特）。2012年7月1993.分形几何学发展的意义和作用

数千年来，无论是在思想领域的突破上，还是在科学方法论的建立上，几何学总是扮演着开路先锋的角色。当今被誉为开创了20世纪数学重要阶段的分形几何学，已发展成为科学的方法论——分形理论，并被应用到各具特色的自然科学领域、一些工程技术和社会科学领域之中，取得了巨大成就。分形几何学是

20世纪80年代科学思想和方法的一个突破口，是数学宝库中的一朵绚丽的奇葩。正如欧几里得几何学对初等数学、解析几何学对高等数学、拓扑学对于现代数学产生的深远影响一样，分形几何学对当今的数学乃至整个科学已经产生了较大的影响。2012年7月200

事实上，宇宙的本质是非线性的，这种非线性现象的共性主要体现在混沌、孤立子和分形三个方面。可以预料，属于非线性科学的分形几何学必将随着人们对自然界、人类社会的深入研究和不断探索而登上21世纪科学研究的舞台，对未来的科学发展产生很大的推动作用。2012年7月2014.多姿多彩的分形几何学火焰

分形几何学的兴起、发展，是人类认识世界、驾驭自然的历史必然。分形几何学在当代社会中显得如此重要，以至于美国杰出的物理学家（两弹元勋、现代广义相对论之父）、物理学思想家、物理学教育家惠勒（Wheeler，1911.07.09——2007.04.13）竟断言：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人。”2012年7月202

据说法国拓