矿物晶体化学-第一章++晶体的几何结构-

第一章晶体的几何结构

1.1晶体及其基本性质

1.2晶体的宏观对称

1.3晶体的理想形态

1.4晶体定向和结晶符号

1.5晶体构造的几何理论

1.6晶体的堆积方式

1.1晶体及其基本性质

1.1.1晶体

●对晶体的认识始于外部形态的观察。

●晶体的传统定义：外形具有规则几何多面体

形状的固体。

●传统定义没有揭示晶体的本质特点。

●对晶体本质的揭示始于1912年应用X射线对晶

体构造进行研究。

●严格的晶体定义：晶体是内部质点在三维空间

呈周期性重复排列的固体，或说是具有格子构

造的固体。晶体（早期定义：自发形成规则形态的物体；科学定义：内部结构具有周期重复性，即具有的物体。）

格子构造（晶体结构的周期重复规律，这种规律是可以用格子状的图形－表示的。）

空间格子（表示晶体结构周期重复规律的简单几何图形。要画出空间格子，就一定要找出相当点。）相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）1.1.2相当点及空间格子

●相当点：结构中种类、化学性质及周围的环境、方位完全相同的空间位置。

●对NaCl晶体结构，所有Na＋点属于一类等同点，所有Cl－点属于另一类等同点。等同点位置不限于质点中心，任何位置能引出一类等同点且构成上图的c图形。a5.628Ǻ2.8148Ǻbc

NaCl结构（a、b）及相当点分布（c）

●

空间格子：相当点在三维空间呈格子状排列称空间格子。

●

空间格子是表示晶体构造规律的几何图形，是无限图形。空间格子导出空间格子的方法：

首先在晶体结构中找出相当点，再将相当点按照一定的规律连接起来就形成了空间格子。

相当点（两个条件：1、性质相同，2、周围环境相同。）空间格子与具体的晶体结构的关系：

可以这样认为：晶体结构是多套空间格子组成的，见图。

具体的晶体结构是多种原子、离子组成的，使得其重复规律不容易看出来，而空间格子就是使其重复规律突出表现出来。空间格子仅仅是一个体现晶体结构中的周期重复规律的几何图形，比具体晶体结构要简单的多。空间格子（spacelattice)有下列几种要素存在：

●结点（node）：空间格子中的相当点。

●行列（row)：结点在直线上的排列。

行列中相邻结点间的距离称结点间距。同行列方向上结

点间距相等；不同方向的行列，结点间距一般不等。

●面网（net)：结点在平面上的分布。

单位面积内结点的数目称面网密度；相邻面网间的垂直

距离称面网间距。

相互平行的面网间面网密度和面网间距相等；否则一般

不等且面网密度大的其面网间距亦大。

●平行六面体（parallelepiped）：空间格子中的最小单位。

面网

平行六面体面网AA’间距d1面网BB’间距d2面网CC’间距d3面网DD’间距d4面网间距依次减小,面网密度也是依次减小的.所以:面网密度与面网间距成正比.面网间距与面网密度的关系：

平行六面体:结点在三维空间形成的最小重复单位(引出:a,b,c;α,β,γ,称为轴长与轴角,也称晶胞参数）

abc平行六面体对应的实际晶体中相应的范围叫晶胞。NaCl晶胞金红石晶胞1.1.3晶体的基本性质（所有晶体具有的共性）

●自限性：晶体在一定条件下能够自发地生长成规则的几何多面体形态。

●均一性：同一晶体的不同部分物理化学性质完全相同。晶体是绝对均一性，非晶体是统计的、平均近似均一性。

●各向异性：晶体性质随方位不同而有差异的特性同一晶体不同方向具有不同的物理性质。例如：蓝晶石的不同方向上硬度不同。

●对称性：同一晶体中，晶体形态相同的几个部分（或物理性质相同的几个部分）有规律地重复出现。

●最小内能性：在相同热力学条件下，与同种成分的非晶体、液体、气体相比，其内能最小。矿物自限性矿物自限性晶体、非晶体与准晶体的概念

1、晶体crystal：内部质点在三维空间呈周期性平移重复排列形成的具有格子构造的固体。短程有序＋长程有序（short+longrangeorder）2、非晶体noncrystal：仅短程有序3、准晶体quasicrystal：质点的排列符合短程有序但不体现周期平移重复，即不存在格子构造。

晶体非晶体SiO2具五次对称轴，无格子构造短程有序兴趣点！1.晶体、非晶质体、准晶体有何区别？2.结点间距、面网密度、面网间距之间有何联系？3.如何根据晶体的格子构造解释其基本性质？4.晶体不一定呈规则的几何多面体外形，这是否与晶体的自限性矛盾？5.某些固体生长时可以自发地形成规则的几何多面体外形，这些固体肯定是晶体吗？为什么？1.1.4布拉维法则和面角守恒定律

●布拉维法则：晶体通常被面网密度大的晶面所包围。

●晶面的生长速度与其面网密度一般呈反比关系。

●生长速度大的BC晶面逐渐变小，甚至消失；生长速度小的AB、CD晶面将逐渐扩展，最后保留下来。

面网密度与晶面生长过程的关系●面角守恒定律

丹麦矿物学家斯丹诺发现，同种晶体虽然它们的形状和大小各不相同，但各相对应的晶面夹角是相等的。由此提出了面角守恒定律：在相同的温度、压力条件下，成分和构造相同的所有晶体，其对应晶面间的夹角恒等。

石英晶体晶面夹角与面角（晶面法线的夹角）的区别！

它们之间的关系为互补的关系。通常都用面角（晶面法线的夹角）表示。接触测角反射测角：单圈反射测角仪

双圈反射测角仪1.1.5晶体的投影：

（一）极射赤平投影：

投影的原理及过程：投影球、投影面（赤平面）、投影轴,北极点与南极点（目测点）。具体投影过程：球面上任一点A与南极点S连线，此连线与投影面（赤道平面）的交点A’即为投影点。如果A点在下半球，就与北极点N连线。

晶面的球面投影将晶面转化为球面上的点，晶面的方位就可用点的球面坐标方位角与极距角来表征。（相当于纬度与经度）在赤平投影图上,方位角与极距角的关系方位角体现为投影点所在半径与起点半径的夹角，极距角则体现为投影点距圆心的距离（h=rtan

/2）

。=0

极射赤平投影的工具：吴氏网，吴氏网的组成：基圆、直径、大圆弧、小圆弧

吴氏网是一个平面网，但要把它看成是一个空间的球体，网格能够测量球面上任一点的方位角与极距角，所以，只要知道方位角与极距角，就可以用吴氏网进行投影。（二）心射极平投影:

与极射赤平投影相反,是将目测点置于投影球中心,在过北极点的切面上投影.对称的概念：对称就是物体相同部分有规律的重复。

对称性在日常生活中很常见，但对称的概念还有更深邃和更广泛的含义：变换中的不变性；建造大自然的密码；审美要素。对称的概念还在不断被科学赋予新意。1.2晶体的宏观对称

1.2.1晶体对称

●对称：物体相等部分有规律的重复。

观察对称性：①在物体上可以找到相同的部分；

②相同的部分重复出现有规律。

晶体的对称由格子构造所决定，有以下特点：

●符合格子构造规律的对称才能在晶体上出现，即晶体的对称遵循“晶体对称定律”。

●晶体的对称不仅表现在外形上，也表现在物理化学性质上。1.2.2晶体的对称操作和对称要素

●对称操作：使物体相等部分重复出现的操作，如反映、旋转、反伸及其联合动作等。

●对称要素：进行对称操作时借助的几何要素

（点、线、面）。

●晶体的宏观对称要素：对称面、对称轴、对称中心、

旋转反伸轴（倒转轴）、旋转反映轴

（映转轴）

对称面P

●概念：一个通过晶体中心的假想平面，能将晶体平分为互为镜象的两个相等部分，以符号P表示。

●对称面的对称操作是对此平面的反映。

●晶体上可没有对称面，也可有一个或几个P，最多有9个，写作9P。P1、P2为对称面，AD不是

立方体的九个对称面ab

对称轴Ln

●概念：通过晶体中心的一假想直线，晶体绕此直线旋转一定角度，可使相等部分重复出现，记为Ln。

●旋转一周重复的次数称为轴次n，重复所旋转的最小角度称为基转角α，有关系：n=360°／α。

●轴次高于2的L3、L4、L6称高次轴。

●晶体中可没有对称轴，也可有一种或几种对称轴同时存在。书写时，三个四次轴记为3L4。

对称轴及其垂直该轴切面的示意图关于晶体的对称规律：

实际晶体中可以存在的对称轴仅有L1、L2、L3、L4、L6。一次轴L1没有意义；五次轴L5和高于六次的对称轴（L7、L8……）均不允许存在。垂直对称轴的面网示意图

a、b、c、e：分别表示L2、L3、L4、L6的面网

d、f、g：分别表示L5、L7和L8的面网

从直观形象上可以认识到：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间,即不能成为晶体结构。数学证明：t’=mtt’=2tsin(-90)+t=-2tcos+t所以，mt=-2tcos+t2cos=1-m

cos=(1-m)/2-21-m2m=-1,0,1,2,3相应的＝0或2，/3,/2，2/3,（注意：在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）tt’tt对称中心C

●概念：晶体中心的一个假想定点，过此点任意直线的等距离两端，可找到晶体的相同部分，用C表示。对称操作是以此点为中心的反伸(倒反)。

晶体中可没有对称中心，或仅有一个对称中心。

晶体中如果有C

，晶体上的晶面必然是两两平行且相等。对称中心C的图形旋转反伸轴Lin（倒转轴）

●概念：过晶体中心一假想直线，晶体绕此直线旋转一定

角度，再对对称中心反伸，可使相等部分重复出

现，以Lin表示。

●对称操作是旋转＋反伸的复合操作。

●轴次只有Li1、Li2、Li3、Li4、Li6。旋转反伸轴图解旋转反映轴Lsn（映转轴）

●概念：过晶体中心的一假想直线，晶体绕此直线旋转一定角度，再对过中心且垂直此直线的平面反映，可使晶体相等部分重复，以Lsn表示。

●对称操作为旋转＋反映的复合操作。

●轴次也只有Ls1、Ls2、Ls3、Ls4、Ls6。

●没有独立的对称要素，均可用其它要素表示：Ls1=P=Li2,Ls2=C=Li1,Ls3=L3+P=Li6,Ls4=Li4,Ls6=L3+C=Li3。（a）（b）（c）（d）（e）旋转反映轴图解1.2.5对称要素的组合

在晶体对称中，对称要素间的组合服从“对称要素组合定理”

●定理一：如有一偶次对称轴Ln与对称中心共存，则过C且垂直于此Ln的平面，必为一对称面。

简式：Ln（偶）×C=Ln（偶）PC（Ln（偶）⊥P）

[逆定理1]：若有一偶次对称轴Ln垂直于对称面P，二者的交点必为对称中心C。

简式：Ln（偶）×P=Ln（偶）PC（Ln（偶）⊥P）

[逆定理2]：若有一对称面P和对称中心组合，必存在一个垂直于对称面的偶次对称轴。

简式：P×C=Ln（偶）PC（Ln（偶）⊥P）

Ln与C共存导出P的图解

Ln与L2的组合●

定理二：如有一个二次对称轴L2垂直Ln，则必有n个L2垂直

Ln，且任意两相邻L2间的夹角δ=360°／2n。

简式：Ln×L2

=LnnL2（Ln⊥L2）

[逆定理]：如有两个L2以δ角相交，则过两者交点之公共垂线必为一n次对称轴且n=360°／2δ。定理三：若有一对称面P包含Ln，则必有n个P包含Ln，

且任意两相邻对称面间的夹角δ=360°／2n。

简式：Ln×P→LnnP（Ln∥P）

[逆定理]：如有两个P以δ角相交，则两者交线必为一个n

次对称轴且轴次n=360°／2δ。定理四：如有一对称面P包含Lin

(或一L2垂直Lin)，当n为偶数，则有n／2个P∥Lin和n／2个L2⊥

Lin；n为奇数，则有n个P∥Lin和n个L2⊥Lin；且P的法线与L2间的夹角δ均为360°／2n。

简式：Lin×P//

=Lin×L⊥2=Linn／2L⊥2n／2P//（n为偶数）

Lin×P//

=Lin×L⊥2=LinnL⊥2nP//（n为奇数）

[逆定理]:如有一L2与一P斜交，P的法线与L2的交角为

δ，则⊥L2且∥P的直线为Lin

，n=360°／2δ。●定理五:若Ln与Lm以δ角斜交，则围绕Ln必有共点且对称

分布的n个Lm，围绕Lm必有共点且对称分布的m个Ln，且任意两相邻的Ln与Lm间交角均为δ。

简式：Ln×Lm=nLmmLn（Ln与Lm斜交）1.2.6对称型（点群）

●进行对称要素组合分析，得到晶体的全部组合形式，称为对称型，共32种。由于在结晶多面体中对称要素组合相交于一点，对称型又称点群。

●对称型中使用的对称要素：

L1、L2、L3、L4、L6；

P（P=Li2）；

C（C=Li1）；

Li1=C、Li2=P、Li3=L3十C、Li4、Li6

●对称型推导将组合形式分成两类：A类(27种)为高次轴不多于一个的组合；B类(5种)为高次轴多于一个的组合。晶族和晶系

在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32个对称型划分出三个晶族；又根据对称特点划分为7个晶系。晶体高级晶族（高次轴多于一个）中级晶族（高次轴只有一个）六方晶系(有一个L6或Li6)四方晶系（有一个L4或Li4）三方晶系(有唯一的高次轴L3)低级晶族（无高次轴）斜方晶系(L2或P多于一个)单斜晶系(L2或P不多于一个)三斜晶系(无L2，无P)立方晶系32个对称型五次对称轴、二十面体与准晶当球体（原子、离子）堆积时，形成二十面体最稳定，但二十面体上有五次轴，不能在晶体结构中出现，所以当晶体进一步长大后，晶体结构就不得不放弃二十面体结构。但在准晶体中有二十面体结构，在生物界也有二十面体结构，所以，准晶为生物界与非生物界架起一座桥梁。原子紧密堆积形成的各种配位多面体1.3晶体的理想形态（单形和聚形）

●同一对称型的晶体，可以有不同的形态，如下图所示

的立方体和八面体，对称型均为3L44L36L29PC。

●因此需要进一步研究晶体的形态。

●借助于晶体的面角守恒原理，引出晶体的理想形态：

单形和聚形（a）立方体和（b）八面体ab这四个单形形状完全不同，但对称型是一样的。即对称型一样的晶体，形态可以完全不同。这是因为晶面与对称要素的关系不同。1.3.1单形

概念：由对称要素联系起来的一组晶面的构形。

单形的得出：是由一初始晶面经对称型中对称要素的操作而重复出的一组晶面。因此同一单形的晶面同形等大。

如上图中的立方体和八面体，它们的一组晶面分别是同形等大的6个正方形和8个等边三角形。

说明：在同一对称型中，初始晶面与对称要素的相对位置不同，可以导出不同的单形。对32种对称型逐一进行推导可以得到晶体应有的全部单形。ZYXYX单形的推导

可以在对称型中假设一个原始晶面，通过对称操作的作用而得到其它晶面，这些晶面共同组成一个单形，这就是单形的推导。现以斜方晶系中的对称型

(L22P)为例说明单形的推导。

位置1：单面{001}位置2：平行双面{100}位置3：平行双面{010}位置4：双面{h0l}位置5：双面{0kl}位置6：斜方柱{hk0}位置7：斜方单锥{hkl}

在上述7个单形中，第2、3号单形完全一样，第4、5号单形也完全一样（形状一样、对称性也一样），这样就可将之视为一个单形。因此，斜方晶系中的对称型

(L22P)对称型一共有5个单形。以L22P对称型为例单形推导

L22P的空间分布

对称型L22P的单形推导几点说明

●同一对称型，最多能导出七种单形（初始晶面与对称要素相对位置最多有7种）。

●

47种几何单形：对32种对称型逐个进行推导，去掉形态重复的单形而得。

●146种结晶单形：几何形态与对称性同时考虑而得。即在146种结晶单形中，有些单形同属于一种几何单形，但其对称性不同。

●一般形和特殊形：单形晶面处于特殊位置（如垂直或平行），称特殊形；晶面处于一般位置称一般形。

●开形和闭形：单形的晶面不能构成封闭状的称开形；构成封闭状的称闭形。

●左形和右形：组成晶面具有手性特征的两类图形。如偏方面体、五角三四面体和五角三八面体。左形和右形：形态完全类同，在空间的取向上正好彼此相反的两个形体，可用对称面使彼此重合。例如：三方偏方面体。正形和负形：取向不同的两个相同单形，相互之间能够借助于旋转操作彼此重合。例如：五角十二面体、四面体。定形和变形：一种单形其晶面间的角度为恒定者，称定形；反之，称变形。凡单形符号为数字的，一定是定形，凡单形符号是字母的，一定是变形。3.2聚形

●概念：两个或两个以上单形的聚合称聚形。

（如图：四方柱和四方双锥合成的聚形）

●说明：

--单形的聚合必须是属于同一对称型的单形才能进行。

--有几个单形相聚，就有几种不同形状的晶面。

四方柱和四方双锥的聚形1.4晶体定向和结晶符号

●在晶体的对称型、单形和聚形确

定后，仍不能获得晶体形态的完整

描述，如图所示的两个晶体同属于

L44L25PC对称型和四方柱和四方

双锥组成的聚形。

●对此需要确切地表示晶面在空间的相对位置来进一步描述晶体。

●在晶体学中，确定晶面在空间的位置是按晶体的对称特征选择坐标系，将晶体按对称特征放置于该坐标系中(晶体定向)，以一定的符号表示法表示出晶面在空间的位置。

具有相同对称型和单形的两种聚形

1.4.1晶体定向(坐标系统)

晶体定向：选择坐标轴(晶轴)和确定轴单位。

晶轴选择

●反映晶体的对称性，优先顺序依次为：对称轴→倒转轴→对称面法线→晶棱。

●三轴定向：五个晶系（立方、四方、斜方、单斜、三斜）

●四轴定向：三方、六方晶系。

三轴定向四轴定向的3个水平轴晶体定向的方法

以晶体中心为原点建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六方晶系).

ZYX三个晶轴不一定垂直YZXU120º晶轴选择的原则:1）与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度.每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法也不同,见下表

在晶体的宏观形态上根据对称特点选出的三根晶轴,与晶体内部结构的空间格子的三个不共面的行列方向一致.

因为空间格子中三个不共面的行列是根据晶体的对称性,人为画出来.而晶轴是根据晶体的对称性,人为选出来.晶体的内部对称与晶体的宏观对称相一致,所以晶轴与三个行列就是一致的.

轴单位（晶轴上的单位长）

●晶轴的轴单位就是该晶轴行列的结点间距。按a、b、c轴分别记为ao、bo、co，也可直接用a、b、c表示。

●对晶体外形研究，不能定出轴单位的实长（结点间距），但通过晶体测量能标出其比率a：b：c，此比率称为轴率(或轴单位比)。

●轴率a：b：c和轴角α、β、γ合称为晶体几何常数。

●各晶系的晶体定向及晶体常数见参考书。

在三个行列上有晶胞参数(a,b,c;α,β,γ),这些参数就构成了三个晶轴上的轴单位和晶轴之间的夹角.xyz宏观形态微观结构对称型的国际符号

对称型的国际符号特点：1）不将所有的对称要素都写出来；2）可以表示出对称要素的方向性；3）但不容易看懂.注意:凡可派生出来的对称要素都被省略.对称轴以1，2，3，4，6表示;对称面以m表示,旋转反伸轴以1、2、3、4、6表示,若对称面与对称轴垂直，则两者之间以斜线或横线隔开，如L2PC以2/m表示，L4PC以4/m表示。对称型书写方法;

设置三个序号位(最多只有三个),每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素；

对称意义完全相同的方向上的对称要素,不管有多少,只写一个。.

注意：不同晶系中,这三个序号位所代表的方向完全不同,所以,不同晶系的国际符号的写法也就完全不同,一定不要弄混淆.

每个晶系的国际符号写法见下表。

2.4.2晶体的整数定律（有理指数定律）

整数定律：晶体中任一晶面在晶轴上的截距系数之比为一简单整数比。

●晶面是外层面网，晶面与晶轴

（轴单位为结点间距）必相交于

结点上，故截距系数比为整数。

●根据布拉维法则，晶体由面

网密度大的晶面所包围。如

图所示，a1b1面的面网密度

大，相应截距系数之比最简

单（1：1）。网面密度与截距系数比的关系

b1b2b3b4bn

Y

Xa1a2Z2.4.3结晶符号及面间距

结晶符号：晶面符号、晶棱符号、单形符号，晶带符号。

晶面符号:

表示晶面在空间位置的符号。晶面符号有几种，最常采用米氏符号，又称米勒指数(英国W．H．Miller1839)。

确定步骤：

●按晶体定向原则进行晶体定向；

●求待标晶面在X、Y、Z轴上的截距pa、qb、rc，得截距

系数p、q、r；

●取截距系数的倒数比1/p：1/q：1/r=h：k：l（为最小整数比）；

●去掉比号、以小括号括起来，写为(hkl)。举例：

如图晶面HKL，在X、Y、Z轴上的截距分别为2a、3b、6c，截距系数为2、3、6，其倒数比1/2：1/3：1/6，化整得3：2：1，去掉比号并以小括号括起来，(321)即为所求米勒指数晶面符号图解注意：

●若晶面平行于某晶轴，则该晶轴上的截距系数为∞，其

倒数1/∞为0，即晶面在该晶轴上的指数为0。

●如果晶面与晶轴相交于负端，则在指数上部标一“-”号，如（00）。

●互相平行的晶面可用同一晶面指数表示，即(hk

l)可代

表相互平行的一组晶面。

●对四轴定向的三方、六方晶系，晶面指数按XYUZ轴顺序

排列，晶面指数的一般式写作(hkil)，其中i

对应U轴

，其它h、k、l

和三轴定向相同。数学上可以证明晶面指

数间有h+k+i=0的关系，即h、k、i

中只有两个是独

立的，故一般式又可写作(hk·l)。晶棱符号

表示晶棱在空间位置的符号。晶向符号只规定晶向而不涉及它具体的位置，因而任何晶向（棱）

都可平移到坐标0点，其确定的步骤为：

●选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；

●平移晶向（棱）直线过原点；

●在该直线上任取一结点M，将其投影至

X、Y、Z轴得截距OX0、OY0、OZ0；

●作OX0/a：OY0/b：OZ0/c=u：v：w

（最小整数比）；

●去掉比号，加中括号，[uvw]即为晶向符号。

晶向指数的图示

注意：

●没有求倒数的步骤。

●有正负，负值表示方法和晶面符号相同，如[00]。但

对晶棱符号，对应指数的绝对值相等而符号相反的两个

晶向是同一晶向方向，如[001]和[00]是同一晶向方向。

●对于三方、六方晶系的四轴定向，相应晶向符号的一般

式写作[uvtw]或[uv·w]，其中u＋v＋t=0。

●对于晶向指数，三轴定向与四轴定向间可用变换公式变

换，若三轴定向的晶向指数为[UVW]，四轴定向的晶向

指数为[uvtw]，变换关系为：

u=1/3(2U－V)v=1/3(2V－U)

t=－1/3(U＋V)w=W

单形符号

单形符号：代表单形一组晶面在空间位置的符号。

表示法：在单形中选择一个代表晶面，把该晶面符号改用大括号表示。

单形的特点：同一单形各晶面的指数绝对值不变，只有顺序和正负号的变化。如立方体的六个晶面，其晶面符号分别为(100)、(00)、(010)、(00)、(001)，(00)。

代表晶面选择原则：

①选择正指数最多的晶面

（三方、六方晶系不考虑i）；

②有负号时优先为正的顺序：

l→h→k；

③指数绝对值递减的顺序：

|h|→|k|→|l|。

根据这一原则，上述立方体的单形符号应为{100}。

立方体的晶面符号晶带符号和晶带定律

晶带：晶体上两个或两个以上相互平行的一组晶面的集合。

晶带轴：每个晶带的交棱方向称晶带轴。

晶带符号：用晶带轴方向的晶棱指数表示晶带在空间的位置，一般式仍用[uvw]或[uv·w]表示。

晶带定律：任何两个晶带相交处的平面，必定是晶体上的一个可能晶面。

晶带轴与晶面的关系：晶带轴的指数为[uvw]，晶带中任一晶面指数为（hkl），有数学关系式：hu＋kv＋lw=0，这是判断一个晶面和一个晶向平行的条件。晶带定律的应用：

①由晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求晶带符号

根据晶带定律建立方程组：

h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

解出：

②由晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]求晶面符号

建立方程组：hu1＋kv1＋lw1

=0

hu2＋kv2＋lw2

=0

得：

③由同一晶带的两个晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求此晶带上另一晶面指数，由：h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

有：（h1＋h2）u＋（k1＋k2）v＋（l1＋l2）w=0

即：（h1＋h2）、（k1＋k2）、（l1＋l2）为此晶带上一晶面的晶面指数。

晶面间距

一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下列关系：

斜方晶系

四方晶系

立方晶系

六方晶系

上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原子面的影响。

2.5晶体构造的几何理论

实际上，晶体外形上的几何规律是由晶体内部的格子构造规律所决定。

主要内容包括：

空间格子的划分；

晶胞的概念；

微观对称及其组合导出的空间群概念；

对称型和空间群的国际符号；

等效点系的基本概念。2.5.1十四种空间格子

单位平行六面体的划分

晶体构造是单位平行六面体在三维空间作无间隙地堆叠或穿插组合。如何从格子构造中划分出基本的单位平行六面体？其中所遵循的原则：

●能反映整个结点分布所具有的对称性；

●棱与棱之间的直角尽可能最多；

●体积最小。

说明：

如图L44P格子中6种选择方式：

3、4、5、6与L44P的对称不符，

1、2方式中1的体积最小，故1

是应选单位平行六面体。

●单位平行六面体的棱长a、b、

c及夹角α、β、γ称晶格常数。

单位平行六面体的选择七个晶系的单位平行六面体及格子类型

按照单位平行六面体的划分原则，对7个晶系的晶体进行划分，得到的晶格常数特征：

立方格子：a=b=c,α=β=γ=90°；

四方格子：

a=b≠c,α=β=γ=90°；

六方格子：a=b≠c,α=β=90°,γ=120°；

三方格子：

a=b=c,α=β=γ≠90°；

斜方格子：a≠b≠c,α=β=γ=90°；

单斜格子：

a≠b≠c,α=γ=90°,β≠90°；

三斜格子：a≠b≠c,α≠β≠γ≠90°；

显然，单位平行六面体晶格常数与晶体外形研究中给出的晶体常数是一致的。

对单位平行六面体进行附加结点的分析，按分布方式又划分出格子基本类型：

原始格子P：结点分布于角顶，三方菱面体格子用R表示；

底心格子C：结点分布于角顶和一对面的面心。对(100)或

(010)面中心的结点，用A和B表示，称侧面

心格子，或称A格子，B格子；

体心格子I：结点分布于角顶和体中心；

面心格子F：结点分布于角顶和各面的中心。单位平行六面体中结点的分布a-原始格子b-底心格子c-体心格子d-面心格子

ab

cd

十四种空间格子（布拉维格子）

综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格子的基本类型共有十四种。由布拉维导出，称为十四种布拉维格子。

三斜晶系：三斜原始格子；

单斜晶系：单斜原始格子，单斜底心格子；

斜方晶系：斜方原始格子，斜方底心格子，

斜方体心格子，斜方面心格子；

四方晶系：四方原始格子，四方体心格子；

三方晶系：三方原始格子(三方菱面体格子)；

六方晶系：六方原始格子；

等轴晶系：立方原始、立方体心、立方面心格子。补充说明：

按单位平行六面体的7种划分和四种结点分布类型，空间格子应有7×4=28种，实际给出14种。这是因为：

●某些类型的格子彼此重复，

●一些格子不符合该晶系的对称。

[例如]四方底心格子(虚线)可转化为体积更小的四方原始格

子（实线）。

三方菱面体面心格子(虚线)可以转化为体积更小的

三方菱面体原始格子。2.5.2晶胞的概念

●晶胞：能够反映整个晶体结构特征的最小结构单元。

●晶胞与单位平行六面体的关联：

--几何形状、大小与对应的单位平行六面体一致，可由

同一组晶格常数来表示。

--但单位平行六面体是由几何点构成，而晶胞是具体的

有一定物理化学属性的质点组成。

●晶胞是描述晶体结构的基本组成单位。2.5.3晶体的微观对称要素

●宏观对称的主要特征：

--有限图形的对称。

--对称要素的组合在空间相交于一点（没有平移操作）。

●微观对称的主要特征：

--格子构造为无限图形的对称。

--对称要素的组合在空间呈分布（有平移操作）。

●晶体内部构造中除其外形上可能出现的对称要素外，还出现特有的、与平移有关的微观对称要素：

平移轴

滑移面(象移面)

螺旋轴平移轴：为一直线方向，图形沿此直线移动一定距离，可

使相同部分重复。使图形复原的最小平移距离，

称平移轴的移距。

●说明：

--晶体构造中，任一行列方向都是一个平移轴，行列的结

点间距即为平移轴的移距，因此任何一个空间格子均有

无穷多的平移轴。

--平移轴的集合组成了平移群，空间格子共有十四种，晶

体的平移群也有十四种，称为十四种移动格子。滑移面(象移面)：一假想的平面，当图形对此平面反映后，在平行此平面的某一方向上移动一定距离，可使图形的相同部分重复（先平移后反映，效果相同）。

●说明：

--如图为NaCl构造在（001）面上的投影。a-a面、b-b面即为

滑移面。

--若滑移面的移距t=0，就蜕变为对称面。晶体宏观的对

称面在晶体内部可能为对称面，也可能为滑移面。

NaCl在（001）面上的投影aaaabbbb滑移面按滑移方向和移距分出的a、b、c、n和d五种类型

螺旋轴：为一假想直线，质点绕此直线旋转一定角度，再沿此直线方向平移一定距离，可使图形相同部分重复（先平移后旋转等效）。

--螺旋轴按旋转方向分为左旋、右旋，中性三种（如图）。

--螺旋轴按基转角α也分为二次、三次、四次和六次。每一种轴次又按其移距与结点间距T的变化分为一种或几种。

--按国际符号表示法：

11种螺旋轴：21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65

--如同滑移面，对称轴可视

为移距t=0的螺旋轴。（a）左旋（b）右旋二次螺旋轴21：旋转180°后平移1/2移距。

三次螺旋轴31和32

：31

表示右向旋转，移距t=1／3T；

32

表示左向旋转，移距1／3T。（a）对称轴，（b）螺旋轴（a）对称轴3，（b）右旋31（c）左旋32四次螺旋轴：41

(右旋)、42

(中性)和43（左旋）

41、42和43按右旋方向的移距分别为1／4T、2／4T和3／4T。42为双轨旋转，在两个晶胞(2T)的周期内复原。43按左旋方向的移距为1／4T。（a）对称轴（b）右旋41（c）中性42（d）左旋43六次螺旋轴：61、62、63、64、65

按右旋方向的移距分别为1／6T、2／6T，3／6T，4／6T和5／6T，其中62和64为双轨螺旋。63为三轨螺旋，需平移三个晶胞才能完成复原。

（a）对称轴（b，c）右旋61、62

（d）中性63

（e，f）左旋64、652.5.4空间群

●概念：晶体构造中一切对称要素的组合形式称为空间群，晶体共有230种组合形式，称230种空间群。

●空间群与点群的关系：

230种空间群分属于32种点群中。

如果把空间群中的平移因素去掉，

230种空间群就蜕变成32种点群。

●空间群的基本几何形象：

（NaCl结构垂直（001）

面上的对称要素）

2.5.5点群和空间群的符号（见附录）

点群的国际符号

●使用的符号（三类对称要素）：

对称面：以

m表示；

对称轴：以轴次数表示，1、2、3、4、6；

倒转轴：在轴次数上加“-”，如（C）、m（）、

、、。

●表示方式：由规定方向（不超过三个）上存在的对称要

素构成，按规定方向的顺序依次排列表达。各晶系点群国际符号中的三个窥视方向

各晶系点群国际符号窥视方向的空间方位

实例

--由点群L44L25PC导出国际符号：

①L44L25PC

属四方晶系，国际符号规定的窥视方向：

co、ao、(ao+bo)。

②co方向(Z轴)上存在的对称要素有一个L4和垂直此L4

的对

称面P，第一位写做4/m；

③ao方向(X轴)上存在的对称要素有一个L2和垂直此L2的对

称面P，第二位写做2/m；

④(ao+bo)方向(X与Y轴平分线)上的对称要素有一个L2和垂

直此L2

的对称面P，第三位写作2/m；

⑤排列起来应写为：，最后简化为mm。

--L2PC

的国际符号：

①L2PC

属单斜晶系，窥视方向是b0。

②b0方向上的对称要素有一个L2和垂直L2的对称面P，相应

国际符号写做2/m

。--由国际符号mm导出点群：

①首位6表示六方晶系，其国际符号的三个窥视方向为c0、a0、(2a0+b0)。

②

c0方向有一个L6和垂直L6的P，有L6×P⊥→L6P⊥C；

③

a0方向有一个平行L6的P，有L6×P//→L66P//；

④包含L6的P与垂直L6的P的交线必为垂直于L6的L2（如图），于是有L6×L⊥2→L66L⊥2

；

⑤最后将所有对称要素组合得到

点群L66L27PC

。

空间群的国际符号

空间群的国际符号由两部分组成：

●符号首位字母(P、C、I、F或R)表示布拉维格子类型。

●后继以对称型的国际符号，但将其中的对称要素符号换上相应内部构造的对称要素符号。

实例说明：

I41／amd

空间群

①从首位符号知，属于体心格子；

②从后面的符号知，属于四方晶系4／mmm

对称型；

③由对称要素知，平行Z轴方向为螺旋轴41，垂直Z轴有滑移面a，垂直X轴为对称面m，垂直X轴与Y轴的角平分线为滑移面d。

2.5.6等效点系

概念：由一原始点出发，通过空间群对称要素的操作而相互

联系起来的一系列点的总和形式，称为等效点系。

说明：

●属于同一等效点系的所有点彼此等效。等效点系中的点称

为等效点。

●一个等效点系，通常只考虑在一个单位晶胞范围内的点。

●等效点系与空间群的关系相当于单形与点群的关系：

--在等效点系中，原始点与空间群对称要素的相对位置不同，

同一空间群也可以导出不同的等效点系。

--等效点系也有一般等效点系和特殊等效点系。

--等效点系在单位晶胞内所占有的等效点数是一定的。

--如同聚形中的单形，在晶体结构中，可以同时存在几个等

效点系。且同时属于同一空间群的对称特点。

2.6晶体的堆积方式

●原子和离子都占有一定的空间，在某种程度上近似可将其视为具有一定大小的球体。

●原子或离子之间的相互结合，从几何的角度，在形式上可视为球体间的堆积。

●晶体具有最小的内能性，原子和离子相互结合时，相互间的引力和斥力处于平衡状态，这就相当于球体间作紧密堆积。2.6.1原子半径和离子半径

●原子半径或离子半径的概念

根据波动力学的观点，原子或离子围绕核运动的电子在空间形成一个电磁场，其作用范围可视为球形。这个球形的大小可视为原子或离子的体积，球的半径即为原子半径或离子半径。

●