二重积分的变量代换

兰亭序之高数版定理21.11

若函数在闭区域

D

上

有连续的一阶偏导数,则有(1)这里

L为区域

D的边界曲线,并取正方向.公式(1)称为格林公式.复习注意定理使用的条件.有向性；连续性；封闭性.利用格林公式计算L闭合L非闭3.平面上曲线积分与路径无关的条件yxo（一）曲线积分与路径无关的定义即只与起点和终点有关.则称曲线积分与路径无关.否则与路径有关.G显然任意的闭曲线如果在区域G内对任意的有在G内定理21.12

设

D

是单连通闭区域.若函数

在

D

内连续,且具有一阶连续偏导数,则以

下四个条件等价:(i)

沿

D

内任一按段光滑封闭曲线

L,

有(ii)

对

D中任一按段光滑曲线

L,

曲线积分与路线无关,只与

L的起点及终点有关;(iii)是

D内某一函数的全微分,即在

D内有(iv)

在

D内处处成立证

(i)(ii)

如图

21-19,设与为联结点

A,B的任意两条按段光滑曲线,由

(i)可推得所以(iii)(iv)

设存在函数使得因此于是由一点处都有以及

P,Q具有一阶连续偏导数,便可知道在

D内每解：例5.计算为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线其中L因为则在平面上成立.选择如图所示的路径选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径.（1）新路径的起点与终点不变,（2）解：例6.选择如图所示的路径设曲线积分与路径无关，具有连续的导数，由已知知即由知C=0,则故原式=多元函数的原函数：由此,可以求某个全微分的原函数，并且原函数不唯一例7

试应用曲线积分求的原函数.解这里在整个平面上成立由定理21.12,

曲线积分只与起点

A和终点

B有关,而与路线的选择无关.

为此,取取路线为图21-22中的折

线段

于是有作业：P232:5(2);6(1);P2783例如：积不出来,计算其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.先x后y同样积不出来.§4

二重积分的变量变换

一、二重积分的变量变换公式三、二重积分的广义极坐标变换

二、二重积分的极坐标变换

一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中,我们得到了如下结论:设在区间上连续,当从变到时严格

单调地从a变到b,且

连续可导,则当(即)时,记则

利用这些记号,公式(1)又可

写成当(即)时,(1)式可写成故当为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可

统一写成如下的形式:引理设变换将

uv

平面

上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域,一对一地

映成

xy

平面上的闭区域

D.函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则区域

D的面积(5)定理21.13

设在有界闭区域

D上可积,变换将

uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成

xy平面上的闭区域

D,函数在内分别具有

一阶连续偏导数且它们的函数行列式则有例1

求其中

D是由解为了简化被积函数,令所围的区域(图21-23).

即作变换它的函数行列式为在T的作用下,区域D的如图

21-24所示.

原象所以例如：积不出来,计算其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.先x后y同样积不出来.二、二重积分的极坐标变换当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为时,采用极坐标变换(8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时,变换

T的函数行列式为容易知道,极坐标变换

T

把平面上的矩形

此对应不是一对一的,变换成

xy

平面上的圆域但定理21.14

设满足定理21.13的条件,且在极坐标变换

(8)下,平面上的有界闭域

D

与平

面上区域对应,则成立记忆方法：2.二重积分化为二次积分的公式（１）(1)区域特征如图(极点在区域D的外部)特殊地,区域特征如图(极点在区域D的外部)2.二重积分化为二次积分的公式（２）(2)区域特征如图(极点在区域D的边界上)2.二重积分化为二次积分的公式（３）(3)区域特征如图(极点在区域D的内部)极坐标系下区域的面积说明：1.应掌握把直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分.2.极坐标系下的二重积分为二次积分.定限方法----射线穿越法：3.何时用极坐标？例2.计算其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解：在极坐标系下，例3

计算其中

D为圆域:解由于原点为

D的内点,故由

(12)式,有例4

计算其中

D

为圆域:解利用极坐标变换,由公式

(12),

容易求得例5.将表示为极坐标下的累次积分解:在极坐标系下,Ｄ可表示为：于是原式例6.

设f(x)连续,则等于2006Ｄ可表示为：解:例8.

计算二重积分其中积分区域为11解:

如图，记于是思考解一:利用极坐标计算思考解二:利用对称性三、二重积分的广义极坐标变换当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时,可考虑用如下的广义极坐标变换:并计算得例9

求椭球体的体积.解由对称性,椭球体的体积

V是第一卦限部分体积的

8

倍,而这部分是以为曲顶,为底的曲顶柱体,所以应用广义极坐标变换,因此特别当时,得到球的体积为令则D的原象为内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则(2)一般换元公式且则在变换下则极坐标系情形:若积分区域为(3)计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式例5

求球体被圆柱面所割下部分的体积

(

称为维维安尼

(Viviani)

体

).解