Ch1-5事件的独立性和伯努力概型

概率论与数理统计事件的独立性北京工业大学应用数理学院

显然，有P(A|B)=P(A).

这就是说：事件B发生，并不影响事件A发生的概率。这时，称事件A与B相互独立，简称独立。1.5.1两事件的独立A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，

先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设§1.5事件的独立性

由乘法公式知，当事件A与B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B).用P(AB)=P(A)P(B)

刻画独立性，比用

P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)

更好。◎

不受P(B)>0或P(A)>0

的制约；◎反映了事件A与

B的对等性。

定义1：若两事件A,B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，或称A,B独立。两事件独立的定义例1：

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。故,P(AB)=P(A)P(B).解：由于P(A)=4/52=1/13,这说明事件A,B独立。问事件A,B是否独立？P(AB)=2/52=1/26。P(B)=26/52=1/2，

前面是根据两事件独立的定义得出A,B独立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办法得到

A,B独立的结论。续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记

A={抽到K

},B={抽到黑色的牌}。

在实际应用中,往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立。

由于P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13，故，P(A)=P(A|B)。这也说明A,B独立。如：一批产品共n件，从中抽取2件，设

Ai={第i件是合格品}，i=1,2。若抽取是有放回的,

则A1与A2独立。其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结果的影响。其原因是:第二次抽取的结果不受第一次抽取结果的影响。若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。请问：如图的两个事件是否独立？

即:

若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B不独立。其逆否命题是：若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A与B一定不互斥。而P(A)≠0,P(B)≠0。故A与B不独立。我们来计算：因

P(AB)=0,P(AB)≠P(A)P(B)。即请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件，它们既相互独立又互斥?所以，Φ与Ω独立且互斥。不难发现:Φ(或Ω)与任何事件都独立。答：能。

设A,B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：

前面我们看到独立与互斥的区别和联系，请看下列两个练习。1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。

设A,B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)>0，2.P(A|B)=P(A)，3.P(A|B)=0，4.P(AB)=P(A)P(B)。=P(A)－

P(AB)P(A)=P(A－

A

B)A与B独立概率的性质=P(A)－

P(A)P(B)证明:

仅证A与独立。定理1：若事件A,B独立，则

也相互独立。=P(A)[1－

P(B)]=P(A)P(),1.5.2多个事件的独立先将两事件独立的定义推广到三个事件上：

对于三个事件A,B,C，若

P(AB)=P(A)P(B)，

P(AC)=P(A)P(C),

P(BC)=P(B)P(C),

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立，则称事件A,B,C相互独立。

推广到n个事件的独立性定义,可类似地给出:

设A1,A2,…,An是n个事件，如果对任意k(),任意，等式等式总数为：成立，则称n个事件A1,A2,…，An相互独立。请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n>2)个事件?参见汪仁官《概率论引论》P24或ppt29多个相互独立事件具有如下性质：◎若事件A1,A2,…,An相互独立，则其中任意

k个事件也相互独立；◎若事件A1,A2,…,An相互独立，则B1,B2,…,

Bn也相互独立，其中

Bi或为Ai，或为Āi，

i=1,2,…,n

。对独立事件，许多概率的计算可得到简化。例2:

三人独立地去破译一份密码,已知每个人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？

解：将三人分别编号为1,2,3，1.5.3独立性概念在计算概率中的应用故，所求为P(A1∪A2∪A3)。记Ai={第i个人破译出密码}，i=1,2,3。已知P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4，且P(A1∪A2∪A3)A1，A2，A3相互独立，

计算

n个独立事件并的概率公式:

设事件相互独立,则

P(A1∪…∪An)也就是说:n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。例3：若干人独立地向一移动目标射击,每人击中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人,才能以0.99以上的概率击中目标?解：设至少需要

n

个人才能以0.99以上的概率击中目标。

令A={目标被击中},Ai={第i人击中目标},i=1,2,…,n。则A1,A2,…,An相互独立。故，

也相互独立。因

A=A1∪A2∪…∪An，得

P(A)=

P(A1∪A2∪…∪An)问题化成了求最小的n,使1-0.4n>0.99。解不等式，得例5癌症复查的作用续第Ch1-4中例6，已知两次检查都呈阳性下，该人患癌症的概率。=0.005*0.95^2/(0.005*0.95^2+0.995*0.04^2)=0.7392088例6：验收100件产品方案如下，从中任取3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试后被断定为正品的概率为0.99，并知这100件产品恰有4件次品。求该批产品能被接收的概率。解:

设A={该批产品被接收}，

Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3。则因三次测试相互独立，故

P(A|B0)=0.993，

P(A|B1)=0.992(1-0.95),P(A|B2)=0.99(1-0.95)2,P(A|B3)=(1-0.95)3。

由全概率公式,得更进一步，在上题的假定下，我们可以举出抽样检验比全面检验更优的例子。

n重伯努利试验概型：

n重伯努利试验中事件

A

出现

k

次的概率记为且

伯努利(Bernoulli)试验概型

每次试验的结果与其他次试验无关——

即这n次试验是相互独立的试验可重复

n

次每次试验只有两个可能的结果：

解每取一个球看作是做了一次试验记取得白球为事件A有放回地取4个球看作做了4重Bernoulli试验,记第

i次取得白球为事件Ai感兴趣的问题为:4次试验中A

发生2次的概率例4

袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球

4次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.设E为伯努利试验，且P(A)=p(0<p<1)，对于n重伯努利概型En，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为

k=0,1,2,…,n

证明与前面的例3类似——若P(A)0.01则称A为小概率事件小概率事件——一次试验中小概率事件一般是不会发生的.若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该事件并非小概率事件.小概率原理女士品茶的故事那是20世纪20年代后期，在英国剑桥一个夏日的午后，一群大学的绅士和他们的夫人们，还有来访者，正围坐在户外的桌旁，享用着下午茶。在品茶过程中，一位女士坚称：把茶加进奶里，或把奶加进茶里，不同的做法，会使茶的味道品起来不同。在场的一帮科学精英们，对这位女士的“胡言乱语”嗤之以鼻。这怎么可能呢？他们不能想象，仅仅因为加茶加奶的先后顺序不同，茶就会发生不同的化学反应。然而，在座的一个身材矮小、戴着厚眼镜、下巴上蓄着的短尖髯开始变灰的先生，却不这么看，他对这个问题很感兴趣。他兴奋地说道：“让我们来检验这个命题吧！”并开始策划一个实验。在实验中，坚持茶有不同味道的那位女士被奉上一连串的已经调制好的茶，其中，有的是先加茶后加奶制成的，有的则是先加奶后加茶制成的。(1/2)^10=0.0009765625小结

本讲首先给出事件独立的概念、性质定理及利用独立性概念计算事件概率的实例；最后介绍了伯努力概型。作业1.23、1.24反例随机投掷编号为1与2的两个骰子事件A

表示1号骰子出现奇数

B

表示2号骰子出现奇数

C

表示两骰子出现的点数之和为奇数则但本例说明

不能由A,B,C