经济数学第八章二重积分

第八章二重积分

§8.1二重积分的基本概念§8.2二重积分的计算

一元函数定积分是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型，作为推广，二元函数的二重积分是求与定义在某一平面区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同，都是和式的极限。§8.1二重积分的基本概念一、曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指它的底面是在平面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面，它的顶是连续曲面

o

平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式体积＝底面积高来计算。而对于曲顶柱体，当点在区域上变动时，高度是一个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算。3）作和4）取极限

则

曲顶柱体的体积求解过程1）将区域任意分割成个小区域：

也表示第块小区域的面积。2）任取点

o二、二重积分的定义及几何意义

设二元函数在有界闭区域上有定义，用任意分法将分成个小闭区域

其中表示第个小区域（也表示它的面积），表示的直径中的最大者。在上任取一点，作乘积，并作和当时，如果这个和的极限存在，则称此极限为函数在区域上的二重积分，记为，即定义积分区域积分和被积函数被积表达式面积元素注：1在二重积分定义中，对区域D的划分是任意的，故如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域的边长为和则0xyD直角坐标系下面积元素2存在性：当在闭区域D上连续时，函数在D上的二重积分必定存在。以后总假定在D上的二重积分是存在的。3由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数在D上的二重积分几何意义1)、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积。2)、若，表示以区域为底的曲顶柱体的体积的相反数。3)、若在区域上的值有正有负，则曲顶柱体的体积取其二重积分的代数和。（其中xoy面上方柱体的体积取正，xoy面下方柱体的体积取负）。三、二重积分的性质性质1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：性质2有限个函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。性质3(区域可加性)如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和.性质4若在D上，则：特别地，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。性质５如果在上恒有，是的面积，则性质６设和分别是函数在闭区域上的最大值和最小值，是的面积，则性质７中值定理如果在闭区域上连续，是的面积，则在内至少存在一点，使得

中值定理的几何意义：在区域上以曲顶为顶的曲顶柱体的体积，等于区域上以某一点的函数值为高的平顶柱体的体积。0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在区域D内，显然有故在D内例1比较下列积分的大小：1）与其中D:,其中区域D为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。2）解：BC的方程

x+y=2D内所以A(1,0)C(2,0)B(1,1)例２估计积分值解：在D内的最大值为4，最小值为1区域D的面积为2所以

二重积分的计算，可以归结为求两次一元定积分，然后利用一元定积分的计算方法来计算二重积分。按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的.§8.2二重积分的计算那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍:一、直角坐标系下二重积分的计算

二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此,先介绍：

1、积分域D:如果积分区域为：（1）X-型域［X－型］

X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；b、

2、X-型域下二重积分的计算:由几何意义，若ƒ(x,y)≥0，则平行截面面积为已知的立体的体积.yZ截面为曲边梯形，面积为：注:若ƒ(x,y)≤0仍然适用。注意:2）积分次序:X-型域先Y后X;3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;（2）Y-型域：［Y－型］Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个；b、3、Y-型域下二重积分的计算：1）积分次序:Y-型域,先x后Y;2）积分限确定法:

“域中一线插”,须用平行于X轴的直线穿插区域。注意:

注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。4、利用直角坐标系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型,确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.解：［X－型］［Y－型］例2解：X-型例3解：（如图）将D作Y型-12例4交换积分次序。解：即解：积分区域如图xyo231原式xyoxyo例6解：先去掉绝对值符号，如图则例7计算，

解：画图若把区域看成－型区域则求不出来例8计算

例9计算

选择积分次序的原则：

第一次积分易积；积分区域要尽量避免分块。解：画图例10用二重积分计算由所围成的图形的面积。例11解表示为X-型域改变积分次序二利用极坐标系计算二重积分

当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。直角坐标系与极坐标系o1直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系（1）面积元素变换为极坐标系下：极坐标系下的面积元素为：（2）二重积分转换公式：（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：o2极坐标系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。（1）区域如图1具体地（如图）图1（2）区域如图2图2（3）区域如图3图3（4）区域如图4图4

当积分区域为圆形、扇形或环形时，利