哈工大理论力学第5章角动量

1第五章角动量角动量守恒定律5.1

质点的角动量角动量定理5.2

质点系的角动量定理5.3

刚体的定轴转动5.5

定轴转动刚体转动定律转动中的功和能5.6

刚体的进动5.4

定轴转动刚体的角动量定理角动量守恒25.1

质点的角动量角动量定理一、质点的角动量称为一个质点对参考点O的质点角动量或质点动量矩。3确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。45例：自由下落质点的角动量任意时刻t（1）对A点的角动量（2）对O点的角动量6二、质点的角动量定理角动量的时间变化率力矩定义：对O点力矩质点的角动量定理大小对同一参考点O，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。或冲量矩7三、质点角动量守恒定律则或对某一固定点，质点所受合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。若质点的角动量定理质点做匀速直线运动中，对O点角动量是否守恒？例1.8例2.试利用角动量守恒定律：证明行星运动的开普勒定律，行星对太阳O的角动量的大小：S：t

行星所走过的弧长r：从O到v的垂直距离证明：开普勒定律：任一行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的面积相等，即掠面速度不变。间夹角9是t时间内，行星与太阳间联线所扫过的面积，如图。其中d

/dt

称为掠面速度。万有引力是有心力，它对力心O的力矩总是等于零，所以角动量守恒，即L=常量，行星作平面运动，而且证明了掠面速度不变，即开普勒定律。105.2质点系的角动量定理一、质点系角动量miCO轨道角动量自旋角动量11mimjO二、质点系角动量定理和角动量守恒第i个质点角动量的时间变化率质点系的角动量定理质点系的角动量守恒质点系角动量的时间变化率旋转盘状星系结构---角动量守恒的结果121314猫尾巴的功能北南北南角动量守恒使地球自转轴的方向在空间保持不变,因而产生了季节变化。15165.3

刚体的定轴转动1.平动运动过程中，刚体上的任一条直线在各个时刻的位置都相互平行。ABABBA刚体的平动任意质元运动都代表整体运动2.定轴转动刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动。一、刚体的平动和定轴转动用质心运动代表刚体的平动（质心运动定理）3.一般运动随某点（基点）的平动和绕该点的定轴转动。17二、用角量描述转动1.角位移θ:

在t

时间内刚体转动角度2.角速度:3.角加速度:θz刚体定轴转动角速度方向按右手螺旋法则确定18zO三、线量与角量关系匀变速直线运动匀变速定轴转动195.4定轴转动刚体的角动量定理角动量守恒一、刚体对转轴的力矩几个外力同时作用在刚体上（代数和?）20Od一对内力作用在刚体上所有内力对刚体的力矩之和21质元mi对O点角动量二、刚体定轴转动角动量刚体对Z轴的角动量刚体定轴（Z轴）转动的角动量质元mi对Z轴的角动量J:刚体到转轴的转动惯量221.转动惯量的计算刚体对转轴的转动惯量对质量连续分布刚体线分布面分布体分布是质量的线密度是质量的面密度是质量的体密度三、转动惯量23

oz2例1.一均匀细棒长l

质量为m1)轴z1

过棒的中心且垂直于棒；2)轴z2

过棒一端且垂直于棒；求:上述两种情况下的转动惯量。

oz1解:棒质量的线密度只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义l24例2.均匀圆环绕垂直于环面通过中心轴的转动惯量。解:设圆盘半径为R，Rrdsz总质量为m，则质量面密度例3.均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量。Rz解:252.有关转动惯量计算的几个定理①平行轴定理zh式中:是通过质心轴的转动惯量，m是刚体质量，h是c

到z的距离，是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量。②垂直轴定理O对于薄板刚体C薄板刚体对z

轴的转动惯量等于对x轴的转动惯量与对y轴的转动惯量之和。26

③转动惯量叠加（如图）ACz式中:是A球对z

轴的转动惯量；是B棒对z

轴的转动惯量；是C球对z

轴的转动惯量。④回转半径任意刚体的回转半径式中:J

是刚体关于某一轴的转动惯量，m

是刚体的质量。Bo例:G

不是质心CG273.转动惯量的物理意义1.刚体转动惯性大小的量度2.转动惯量与刚体的质量有关3.在质量一定的情况下与质量的分布有关4.与转轴的位置有关

28四、刚体定轴转动角动量定理质点的角动量定理对定轴转动刚体对定轴转动刚体合外力矩刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率。刚体定轴转动角动量定理非刚体定轴转动角动量定理29四、刚体定轴转动角动量守恒定律刚体定轴转动角动量定理讨论：（1）守恒条件（2）内力矩不改变系统的角动量。（3）在冲击等问题中L=常量（4）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。30角动量守恒定律在技术中的应用航海、航空、导弹和火箭等系统的定向标准，可用作导航和自动驾驶等。转子速度：万转/每分。若转子稍不对称，就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏，因此设计转子精度要高。惯性导航仪（陀螺）

被中香炉31刚体对Z轴的角动量5.5定轴转动刚体转动定律转动中的功和能一、转动定律

刚体定轴转动角动量定理对固定轴转动定律牛顿第二定律与对应32二、转动中的功和能力矩作功：刚体的转动动能定轴转动动能定理力矩的功率Oθrp33刚体的角动量定理:同方向。与对O点刚体所受重力矩为陀螺质心的位置矢量，与自转轴同向，与平行，时间内，的变化zrcsinrczLsin角动量把自转轴绕一竖直轴的这种转动，称为旋进或进动。OOO重力矩不改变角动量的大小，只改变角动量的方向。5.6刚体的进动顶端做一水平圆周运动，34Rm1m2例1：已知：滑轮M（看成匀质圆盘）半径R，物体m1m2。求：a=?am1gm2gT解：对否？T否则滑轮匀速转动，而物体加速运动T1T2转动定律线量与角量关系M1235θmO例2：已知：匀质杆m，长l，下落到θ时求：解：C转动定律36质心运动定理θmOC37例3：绳剪断的瞬间Tmg质心运动定理：转动定律：例4：匀质圆盘，拉绳的a=?

时圆盘相对地面静止。mgfm38例5.均匀圆柱体，在水平恒力作用下做纯滚动，下列说法正确的是(A)摩擦力一定不为零，解：设静摩擦力的方向如图示(B)摩擦力一定与同向，(C)摩擦力一定与反向，(D)摩擦力的方向无法确定，(E)摩擦力的大小一定等于。静摩擦力的方向向后（与设定的方向一致）静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）39*

刚体的平面平行运动1.刚体的平面平行运动刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，叫刚体的平面平行运动。2.纯滚动刚体的平面平行运动：质心的平动与通过质心的并垂直平面的轴的转动的叠加。圆盘的纯滚动：（没有滑动的滚动）各点绕质心的速度大小R，方向不同。40方向不一样。3.动能选质心为基点41例6.匀质圆柱体m半径r，从质心距地面高为h的滑道上静止纯滚动而下，进入半径R的圆形滑道，问：此圆柱体能在圆形滑道内完成圆周运动，h至少多大？解：圆柱体在p点的质心运动方程圆柱体只作滚动，故摩擦力不作功。则圆柱体，弯形、圆形滑道及地球系统机械能守恒。纯滚动圆柱体能完成圆周运动的条件是42例7.光滑水平面上质量M的木块静止于A点，木块一端与原长L0，劲度系数k

的轻弹簧相连，另一端固定于O点。求：木块在B点速度vB

的大小和方向。质量m的子弹以初速v0

水平射向M并嵌在其中。当木块运动到B点(OBOA)时，弹簧的长度为L。解:(1)m

和M相撞，动量守恒(2)AB弹力作功，机械能守恒(3)AB，弹力对O点的力矩为零，对O点角动量守恒43解得44例8.已知：静止匀质杆M，l，水平光滑轴竖直悬挂，子弹m，以水平速度

射入杆的下端，求：杆和子弹开始运动瞬时杆的质心速度。解：若子弹击在距O点处，质心速度？动量守恒利用动量守恒子弹击在杆的不同位置，O点的受力情况不同。OmMl角动量守恒动量是否守恒？45OM例9.小球m，v0在水平冰面上滑动，撞在细木棒M，l的一端，并粘附在木棒上。试求：解：（1）系统质心位置c动量守恒，质心平动速度

vcmv0c（1）忽略摩擦，定量地描述小球附在木棒后，系统运动情况。（2）刚发生碰撞之后，木棒上有一点p

是瞬时静止的，问该点在何处？棒和球系统：碰后系统质心匀速直线运动，同时系统绕质心匀速转动。由角动量守恒，系统绕质心转动的角速度ω46（2）瞬时静止点p应在质心的左侧，p点绕质心转动瞬时向下线速度应等于质心平动速度vcOMcp47解：能否用角动量守恒？角动量定理解得合外力矩不为0角动量不守恒！10.已知：两匀质圆盘M1，R1，

0，两轮无相对滑动时求：两轮无相对滑动时M2，R2静止。f-f系统外力系统外力必须知道摩擦系数μ解:角动量定理碰撞瞬间，内力矩>>外力矩，角动量守恒4811.均匀细杆长l，静止于水平位置，有一只小虫以速率v0垂直落在距O点l/4

处,并背离O点向细杆的端点A

爬行，设小虫与细杆的质量均为m。问:欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?49力学总结力学研究：三个守恒定律：运动学（质点、质点系）刚体定轴转动（一维）（特殊质点系）状态及其变化匀变速直线运动（一维）匀变速定轴转动（一维）*线角关系瞬时性，力在时间积累，力在空间积累。动量守恒，角动量守恒，能量守恒。50动力学（质点、质点系）刚体定轴转动（一维）（特殊质点系）*运动定律（瞬时关系式）**转动定律（定轴）力在时间的积累质量转动惯量动量角动量力力矩（质点质量不变）（质点系平动，质心运动定理）动量定理（质点）（质点系）角动量定理*动量守恒力矩在时间的积累空间平移不变性内力外力**角动量守恒空间旋转不变性内力矩外力矩51动力学（质点、质点系）刚体定轴转动（一维）（特殊质点系）共同点（做功与路径无关）质点系功能定理势能保守力作功当只有保守力作功*机械能守恒时间平移不变性孤立体系能量守恒力在空间的积累动能定理功动能力矩在空间的积累力矩功转动动能定理（一维）转动动能（重力，引力，弹性）机械能（包括转动动能）52例11.均匀圆柱体m，R，沿倾角θ的粗糙斜面，在距地面h0

处静止开始无滑下滚（纯滚动）。试求：（1）圆柱体下降到高h时，它的质心速度vc和转动角速度

；（2）摩擦力应满足的条件。解:机械能守恒解得h0θvcRfA摩擦力不做功（1）纯滚动，A点瞬时速度53（2）由质心运动定理以质心为参考点，由转动定律由纯滚动有解得要保证无滑滚动，摩擦力f

不能大于静摩擦力，即h0θvcRfA54例12：半径为R的圆木以角速度ω0

在水平地面上作纯滚动，在前进的路上撞在一高度为h的台阶并发生完全非弹性碰撞，即碰撞后圆木不弹回。圆木与台阶前缘之间的摩擦系数足够大，要原木能够翻上台阶而又不跳离台阶，对台阶的高度有什么要求？解：碰撞前纯滚动，质心速度：圆木对A点的角动量：轨道角动量的大小：两角动量方向相同。碰撞后角动量（相对A点）：JAω转动惯量：ωoROVoArcθh固有角动量：轨道角动量：55碰撞前后角动量守恒，有：解得碰撞后的角速度为分析：1）圆木能够爬上台阶的条件：碰撞后的动能足够大，即2）圆木不跳离台阶的条件：台阶的支撑力N始终大于零。AoNmgθ圆木沿OA方向的向心加速度是重力的分量和支撑力之差造成的，由牛顿定律：56解得综合（2），（3）式，有：使两不等式均成立，必须9(R-h)>12h,即57例13：两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，那一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩和滑轮看成系统。规定角动量和力矩的正方向。系统的总角动量为v1：左边小孩向上的速度；v2：