可靠性试验及数据处理

可靠性试验及数据处理方法东北大学孙志礼可靠性试验及数据处理方法

可靠性试验及分类

分布类型的假设检验

指数分布的分析法

正态及对数正态分布的分析法

威布尔分布的分析法一、可靠性试验及分类可靠性试验就是为了提高和证实产品的可靠性水平而进行的各种试验的总称

可靠性试验是为了获得统计数据，所用时间较长、所花的费用较大。但从提高和保证产品的质量角度来讲是值得的，费效比是较高的。寿命试验是可靠性试验的重要组成部分，是评价、分析产品寿命可靠性特征量所进行的试验。下面列出几种寿命试验的分类

按试验场所分：现场试验和实验室试验两种。现场试验是产品在使用条件下观测到的寿命数据。最能说明产品的可靠性水平，是最终的客观标准。，收集现场数据重要。但会遇到很多困难，需要的时间较长、工作情况难以一致，要有详细的产品使用记录，很难获得比较准确的数据实验室试验是模拟现场情况的试验。它将现场重要的应力条件搬到实验室，并加以人工控制。还可设法缩短试验时间以加速取得试验结果

一、可靠性试验及分类按试验截止情况分：分为全数试验和截尾试验两种全数试验是当试样全部失效才停止的试验这种试验方式可获得较完整的试验数据，统计分析结果也较好。但这种试验所需时间较长，有时甚至难以实现一、可靠性试验及分类截尾试验又可分为定数和定时截尾试验两种定数截尾试验就是试验到规定的失效数即停止的试验定时截尾试验就是试验到规定的时间，此时不管试样失效多少都停止的试验根据试验中试样失效后是否用新试样替换继续试验，还可分为有替换和无替换两种一、可靠性试验及分类一般可归纳为如下四种试验：⑴有替换定时截尾寿命试验；⑵有替换定数截尾寿命试验；⑶无替换定时截尾寿命试验；⑷无替换定数截尾寿命试验。全数寿命试验也可看成是截尾数是n的无替换定数截尾寿命试验。此外，尚有分组最小寿命试验、序贯寿命试验、有中止的寿命试验等一、可靠性试验及分类二、分布类型的假设检验分布类型的判断有理论法和统计法两种理论法是根据失效机理制定的数学模型或根据某种分布的性质推导出来的例如，失效率为常数的寿命分布为指数分布；失效由“最弱”环节决定的寿命分布为极值分布；受很多独立随机因素和的影响，且没有一个因素起主导作用，这种分布为正态分布等。统计法是根据大量试验数据经统计求得的。很多同类性能在以往大量试验的基础上已经验证了其分布例如，几何尺寸、材料性能、硬度等多服从正态分布；金属的疲劳寿命则服从对数正态分布或威布尔分布等下面仅介绍统计法在使用统计法时：对分布不明的情况应做大样本的试验以判定其分布类型；对已有经验参考的情况则可做较小样本的试验，假设其分布类型再进行相应的拟合性检验

下面给出通用的检验法和K-S检验法。二、分布类型的假设检验检验法一般只用于大样本

计算理论频数与实际频数间的差异，将检验统计量的观测值与临界值满足下列条件，接受原假设；否则，拒绝原假设

比较二、分布类型的假设检验式中n——样本大小k——分组数，按样本大小宜取ｋ＝７～１４

νｉ——第ｉ组的实际频数，νｉ≥５

ｐｉ——第ｉ组的理论频数（概率）

ｍ——未知参数的数目

α——显著性水平——临界值，查表二、分布类型的假设检验例1：220个某产品的失效时间记录列于表中。试检验该产品的寿命是否服从指数分布。

某产品失效时间的数据记录时间t/h0~100~200~300~400~500~600~700~800~900失效数ri3950353228181242二、分布类型的假设检验解假设该产品的寿命服从指数分布，参数λ未知。取组中值作为该组时间的代表值ti,则λ的点估计

h

1/h二、分布类型的假设检验假设H0：为了使用首先按规定分组。由于每组中实际频数不宜少于5，故将前7段时间各作为一组，最后两段时间合为一组。总计组数k=8，正好在7~14范围内

检验法二、分布类型的假设检验表2-2例2-1的列表计算组号inpi=220piνi

-npi123456783950353228181260.28270.20550.14610.10390.07380.05250.03730.091762.19445.21032.14022.85816.23611.5508.20620.174-23.1944.7902.8609.14211.7646.4503.794-14.174537.96222.9448.18083.576138.39241.60314.394200.908.6500.5070.2543.6568.5243.6021.7549.958∑36.905二、分布类型的假设检验二、分布类型的假设检验取显著性水平，由查表由于故拒绝原假设，既不能认为该产品的寿命服从指数分布。K-S检验法（亦称d检验法）适用于小样本的情况

K-S检验法要求所检验的分布中不含未知参数。当指定分布中含有未知参数时，对某些分布应该用专门的临界值表二、分布类型的假设检验K-S检验法是将n个试验数据由小到大的次序排列。根据假设的分布，计算每个数据对应的F0(xi)，将其与经验分布函数Fn(xi）相比较。其中，差的最大绝对值就是检验统计量Dn的观测值。将Dn与临界值Dn,α比较。满足下列条件，接受原假设；否则，拒绝原假设F0（x）——原假设的分布函数；Fn（x）——经验分布函数二、分布类型的假设检验——临界值，查表

二、分布类型的假设检验例2某合金9个试件测得的强度极限为453，436，429，419，405，416，432，423，440N/mm2。检验该合金的强度极限是否服从均值μ=28N/mm2，标准差σ=15N/mm2的正态分布。二、分布类型的假设检验解令该合金的强度极限σb=X，将数据按由小到大次序排列。假设X服从正态分布，分布函数式中的查表。计算结果见表

由上述中计算结果知，Dn的观测值按前式求二、分布类型的假设检验取显著性水平α=0.10，由表2-3查得由于故接受原假设，即认为该合金的强度极限服从μ=28N/mm2，σ=15N/mm2的正态分布二、分布类型的假设检验序号ixi14050.06300.0000.1110.030124160.21190.1110.2220.100934190.27430.2220.3330.058744230.37070.3330.4440.073354290.52790.4440.5560.083964320.60640.5560.6670.060674360.70910.6670.7780.076184400.78810.7780.8890.100994530.95250.8891.0000.0635二、分布类型的假设检验K-S检验临界值表0.200.100.050.020.0110.900000.950000.975000.990000.9950020.683770.776390.841890.900000.9292930.564810.636040.707600.784560.8290040.492650.565220.623940.688870.7342450.446980.509450.563280.627180.6685360.410370.467990.519260.577410.6166170.381480.436070.483420.538440.5758180.358310.409620.454270.506540.5417990.339100.387460.430010.479600.51332100.322600.368660.409250.456620.48893αn

回归分析法：回归分析法就是图解分析法的解析。在直角坐标纸上描得几个试验点（x1，y1），（x2，y2），．．．，（ｘn，yn），如图2-1所示。按最小二乘原理确定直线二、分布类型的假设检验它反映出试验点散布状态的一条最佳直线，称为回归直线。斜率称为回归系数，截距

为常数项。二、分布类型的假设检验各试验点是否在一直线上，即是否具有线性相关的关系，可用相关系数检验法进行检验。相关系数二、分布类型的假设检验当，则认为具有线性相关的关系。是显著性水平为时的相关系数起码值，查表。查表时取自由度

对于可靠性分析中常用的概率分布，其分布函数与自变量之间一般在直角坐标上并不成线性关系，因此应先进行适当的变换。几种常用概率分布的变换关系列于下表中

二、分布类型的假设检验相关系数起码值0.100.050.020.010.00150.66940.75450.83290.87450.950760.62150.70670.78870.83430.924970.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.872190.52140.60210.68510.73480.8471100.49730.57600.65810.70790.8233αν名称yxBA指数分布tλ0威布尔分布k正态分布t对数正态分布lnt分布函数二、分布类型的假设检验在使用回归分析法时，首先将试验获得的n个数据按由小到达的次序排列，即t1<t2<…<tn，取中位秩作为各试验点相应的分布函数，即假设一种分布，按上表进行变换后即可用前式进行计算。若相关系数检验通过则接受原假设。估计得B、A后再按上表关系估计原分布函数的参数

二、分布类型的假设检验例3某合金材料在某应力水平做疲劳寿命试验，10个试件的疲劳寿命分别为211，229，272，276，295，303，332，354，382，409千次。试进行分布类型的判断并进行参数估计。解一般金属疲劳寿命多较好地服从对数正态分布，故先假设该材料疲劳寿命服从对数正态分布。按表二、分布类型的假设检验序号Ni12115.3520.067-1.50028.6422.250-8.02822295.4340.162-0.98529.5250.970-5.35232725.6060.295-0.64531.4250.416-3.61642765.6200.356-0.37031.5890.137-2.08052955.6870.452-0.12032.3420.014-0.68263035.7140.5480.12032.6470.0140.68673325.8050.6440.37033.7000.1372.14883545.8690.7410.64534.4450.4163.78693825.9450.8380.98535.3480.9705.856104096.0140.9331.50036.1652.2509.02157.0460325.8287.5741.739二、分布类型的假设检验计算结果见表

相关系数检验：

二、分布类型的假设检验由表，当查得，故接受疲劳寿命服从对数正态分布的假设

二、分布类型的假设检验估计分布参数μ和σ，由表2-6知：二、分布类型的假设检验三、指数分布的分析法拟合性检验

这种检验法适用于截尾试验、全数试验和有中止的试验

计算检验统计量满足下列条件则接受指数分布的假设，否则拒绝指数分布的假设三、指数分布的分析法

——总累积试验时间；——第ｋ（ｋ=1，2，．．．，ｒ）次失效时的累积试验时间t0——指定的定时截尾时间tr——指定的定数截尾时间

——显著性水平；——自由度为２d的分布的分位数，查表

三、指数分布的分析法总累积的试验时间是所有投入试验的试样（包括失效的、中止的、截尾未失效的）试验到规定时间的试验时间总和。当开始投入n个试样同时试验，试验中有b个中止，中止时间为（j=1，2，．．．，ｂ）；有r个失效，失效时间为ｔi（i=1，2，．．．，r）。规定试验到t0停止试验，则试验总累积时间

三、指数分布的分析法无替换：有替换：第k次失效时的累积试验时间无替换：有替换：第k（k=1，2，．．．，r）个失效的时间三、指数分布的分析法例4抽取某产品10个进行寿命试验，失效5个即停止试验。试验结果为：76，143，152，275，326h。检验该产品寿命是否服从指数分布。解假设该产品的寿命服从指数分布。这是无替换定数截尾、无中止的寿命试验。总累积试验时间三、指数分布的分析法第k次失效时的累积试验时间

三、指数分布的分析法本例

取显著性水平α=0.10，由表查得满足故接受原假设，即认为该产品的寿命服从指数分布。三、指数分布的分析法参数估计和可靠度估计全数试验

截尾试验式中

——总累积试验时间r­——观测失效数，当r=0进行λ的点估计时，建议取。三、指数分布的分析法区间估计

区间估计种类定时截尾定数截尾

单侧置信下限

双侧置信下限双侧置信上限三、指数分布的分析法参数λ的区间估计先由上表计算平均寿命的置信限

λ的置信下限

λ的置信上限可靠度的点估计可靠度的置信下限

三、指数分布的分析法例5

某产品寿命服从指数分布，抽取11个进行寿命试验。在试验到500h式中止1个，900h时失效1个，其它试样达到1000h均未失效即停止试验。求平均寿命、失效率及工作到100h时可靠度的点估计。若要求置信水平求平均寿命的单侧置信下限、失效率的单侧置信上限及工作到100h时可靠度的单测置信下限。三、指数分布的分析法解这是n=11，失效数r=1，中止数b=2，截尾时间t0=1000h的无替换定时截尾寿命试验

总累积试验时间平均寿命的点估计失效率的点估计

三、指数分布的分析法t=100h时可靠度的点估计

由表查得

故平均寿命的单侧置信下限失效率的单侧置信上限

t=100h时可靠度的单侧置信下限四、正态及对数正态分布的分析法拟合性检验

假设

与K-S检验法类似，满足下列条件则接受原假设，否则拒绝原假设

经验分布函数四、正态及对数正态分布的分析法——临界值，查表

0.200.150.100.050.0150.2850.2990.3150.3370.40580.2330.2440.2610.2850.331100.2150.2240.2390.2580.294150.1770.1870.2010.2200.257200.1600.1660.1740.1900.231300.1310.1360.1440.1610.187αn四、正态及对数正态分布的分析法例6

对某钢材进行静强度试验，9个试件的强度极限按由小到大次序分别为625，650，656，659，661，662，663，668，672N/mm2。检验该钢材强度极限是否服从正态分布。

四、正态及对数正态分布的分析法解假设该钢材的强度极限服从正态分布。由于分布参数未知，故先进行估计

=13.69四、正态及对数正态分布的分析法假设：列表计算

由计算结果知

取显著性水平α=0.10

因为故接受原假设，即认为该钢材的强度极限服从正态分布

四、正态及对数正态分布的分析法完全样本的参数估计

点估计

区间估计α——显著性水平，1—α为置信水平；n——样本大小；ν——自由度。当标准差σ已知，sx用σ代替，则ν=∞；当标准差为点估计sx，则ν=n—1；

四、正态及对数正态分布的分析法ν——自由度。当均值μ已知时，ν=n；当μ未知时，ν=n—1。若随机变量y服从对数正态分布，即Y~Ln（μ，σ2），则lnY~N（μ，σ2），故取四、正态及对数正态分布的分析法截尾寿命试验的参数估计

极大似然估计

失效时间

四、正态及对数正态分布的分析法式中

查表。四、正态及对数正态分布的分析法最佳线性无偏估计

式中n——样本大小；r——失效数；j——寿命由小到大排列的次序；xj——第j个寿命值；——μ的最佳线性无偏估计系数——σ的最佳线性无偏估计系数四、正态及对数正态分布的分析法简单线性无偏估计

式中nkr,n——系数查表

E（Yr,n）——系数，查表

其余同前四、正态及对数正态分布的分析法可靠寿命和可靠度的估计

指定可靠度R，可靠寿命的点估计

指定寿命x的可靠度R的点估计四、正态及对数正态分布的分析法指定可靠度RL的可靠寿命置信下限

zRγ——单侧置信限系数，按指定的可靠度和置信水平由下式求取

zγ——按指定的置信水平查表

四、正态及对数正态分布的分析法指定寿命xL的可靠度置信下限式中应该指出，这里的x并不限于寿命，也可以是服从正态分布的其它特性值，例如材料的机械强度等

四、正态及对数正态分布的分析法

极大似然估计用表（正态及对数正态分布）0.010.100.300.500.700.900.990.020.1198030.1282830.1340060.1373230.1398330.1419190.1427660.040.1584280.1745150.1858090.1925420.1977370.2021280.2039290.060.1844410.2075840.2243590.2345880.2426120.2494890.252337r/nD

最佳线性无偏估计用表（正态及对数正态分布）nrjC’(n,r,j)D’(n,r,j)nrjC’(n,r,j)D’(n,r,j)521-1.4971-0.7411751-0.43700.04655221.49711.7411752-0.19430.1072四、正态及对数正态分布的分析法

简单线性无偏估计用表（正态及对数正态分布）nrE(yr,n)nkr,nnrE(yr,n)nkr,n204-0.92101.6431355-1.112302.02138-0.31494.906510-0.60435.5602120.18709.669415-0.215110.2049160.745417.2531200.142816.2884250.520824.6235225-0.81532.2796300.997937.573110-0.16996.7158四、正态及对数正态分布的分析法

zR与可靠度R的关系（正态分布）R0.9100.9200.9300.9400.9500.9600.9700.9800.9900.9100zR1.2822.3263.0903.7194.6254.7535.1995.6125.9976.36R0.91100.91200.91300.91400.91500.91600.91700.91800.91900.9200zR6.707.037.347.657.948.228.498.759.019.26不同置信水平γ时的zγγ0.500.600.700.800.900.950.990.9950.999zγ0.000.25340.52440.84161.2821.6452.3262.5763.090四、正态及对数正态分布的分析法例

某钢材的强度极限服从正态分布，11个试件测得的强度极限为608，622，630，638，642，648，652，660，673，688N/mm2。求均值和标准差的点估计和置信水平γ=80﹪的双侧置信限，失效概率为0.10时强度极限的点估计和置信水平为90﹪的单侧置信下限。四、正态及对数正态分布的分析法解本例为完全样本试验。均值μ的点估计，按式标准差的点估计，按式四、正态及对数正态分布的分析法均值的双侧置信限，按式并由表查得故得

四、正态及对数正态分布的分析法标准差的双侧置信限，按式并由表查得故得

四、正态及对数正态分布的分析法失效概率F=0.10的强度极限，可借用可靠寿命与可靠度的关系式。这时相当于R=1-F=0.90时的强度极限。点估计可用式来求，并由R=0.90查表2-15得zR=1.28，故

四、正态及对数正态分布的分析法失效概率F=0.10，置信水平γ=90﹪强度极限的单侧置信下限可用式来求，并由R=1-F=0.90查表得zRγ=2.01129，故五、威布尔分布的分析法拟合性检验样本大小为n，截尾寿命试验得t1≤t2≤···≤tr。检验统计量观测值式中即取括号内整数部分E(zi)——查表中的E(zi，n)

五、威布尔分布的分析法满足下式条件则接受两参数威布尔分布的假设，否则拒绝两参数威布尔分布的假设

式中α——显著性水平

——自由度为ν1=2(r-r0-1)，ν2­=2r0的F分布的分位数，查表

五、威布尔分布的分析法参数估计

矩法估计

样本均值样本标准差

样本偏态系数五、威布尔分布的分析法根据kk值由表查得形状参数k的点估计同时可查得系数ka、kb，故

尺度参数b的点估计位置参数a的点估计五、威布尔分布的分析法若位置参数a已知（例如两参数威布尔分布a=0），则求根据kc值由表查得形状参数k的点估计

同时查得kb，再由式求尺度参数b的点估计

五、威布尔分布的分析法极大似然估计五、威布尔分布的分析法最佳线性无偏估计和简单线性无偏估计先做如下变换：

原分布函数令：即

即

即

五、威布尔分布的分析法则原分布函数变为式中，参数μ和σ的最佳线性无偏估计五、威布尔分布的分析法当样本容量较大时，μ和σ用简单线性无偏估计。μ和σ的简单线性无偏估计s，nkr,n，E(zr,n)——查表

五、威布尔分布的分析法形状参数k的点估计按式求得后，为得到k的无偏估计再加以修正得式中gr,n——修偏系数，查表

尺度参数的点估计五、威布尔分布的分析法可靠度和可靠寿命的估计

指定寿命t时可靠度R的点估计指定可靠度R时可靠寿命t(R)的点估计

五、威布尔分布的分析法指定置信水平、可靠度的置信下限对于全数试验的两参数威布尔分布，可按可靠度的极大似然点估计查表

对于截尾寿命试验，其可靠度的置信下限可查表。五、威布尔分布的分析法可靠寿命的单侧置信下限式中gr,n，Br,n，VRγ——查表五、威布尔分布的分析法

威布尔分布形状参数和各参数点估计系数0.604.5932.6451.5051.7583.100.1360.4130.8950.3530.703.4981.8510.2661.4623.200.1060.3070.8960.3430.802.8151.4281.1331.2603.300.0780.2980.8970.333五、威布尔分布的分析法

最佳线性无偏估计系数（威布尔分布）nrjC(n,r,j)D(n,r,j)nrjC(n,r,j)D(n,r,j)521-0.8963-0.95995330.79861.29615220.89631.9599541-0.2730-0.0154531-0.4343-0.2101542-0.24990.0520532-0.3642-0.0860543-0.14910.15215440.67210.81137660.57190.5791五、威布尔分布的分析法简单线性无偏估计系数（威布尔分布）nrsE(zr,n)nkr,ngr,nnrsE(zr,n)nkr,ngr,n2655-1.66874.21180.7592402525-0.062129.99360.96561010-0.798910.09210.900030300.280539.24950.97301515-0.216417.02920.939835350.671251.79230.977620200.310325.99020.959340360.766156.49230.9798五、威布尔分布的分析法最佳线性无偏估计和置信下限系数（威布尔分布）nrE(zr,n