讲义说明讲稿

第三节随量的函数及其分布一、问题的提(单个随量的函数的分布πd求截面面积A 的分布4一、问二、离散型随量的函数的分三、连续型随量的函数的分 t设随量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），XY的分二、离散型随量的函数的分设g(x)是定义在随量X的一切可能值x 量X的分布求得例1X 101111444YX2的分布律解Y的可能值为(1)2,02,12,即0,1,量Yg(X)的分布

P{Y0}P{X20}P{X0}14f(Xgf(Xg())Lg()LLLP{Y1}P{X21}P{(X1)U(XP{X1}P{X1}1114 P{Y4}P{X24}P{X2}14 01 11 42 量，其函数Y 则YgX)的分布律为Ygxk中有值相同的应将相应的g(X合并例解三、连续型随量的函数的分设X是连续型随量,Yg(X1.先求:F( 再求 fY(y)FY(例3设随量X的概率密度解1º先求Y=2X+8FYy).FYyP{YyP{2X8y}P{Xy y} 2fX(x)d 2º由分布函数求概率密度f(y)F(y)[y8f(x)d2X f(y8)(y8) y8 )f(x)x/8,0x X 其它 变限的定如果F(x)(x)f求随量Y2X8的概率密

导公

(xF(x)f[(x)](x)f[(x)](,y8 ,

0x 2.fY(y)fX

2)

fX(x),

定 设随量X的具有概率密度f

(1

y8

其中x又设函gx处处可导,且恒有0y8 g(x)0(或恒有g(x)0),则称Y 是连续 量,其概率密度

8y16,

f(y)fX[h(y)]h(y)Y Y

αy其他 其它 其中αmin(g(),g()),βmax(g(),hygx的反函数 若g'(x) FY(y)P{Y则yg(x)单调增加，且其反函 P{Y}P{Yxh(y)在(,)上单调增加 0P{Yy时，FYyP{Yyy时，FYyP{Yyf(y)dFY(y)

于是

(y)P{YP{Xh(h(y

(y d

fX(x)d当y时，FYyP{Y例4设随量X具有概率密度fX( x

h(y

f(x)d (y (1)求随量YX2的概率密度f(当y时 (2)设X的概率密度x1,1xf(y)dFY( d fX(x) f f1(ydy fX(x)dfX[h(y)][h(gx0YX2的概率密度(1)分别记X和YFXx)FYy Y例 设X~U(0,1),求YeX的密度函数 f(y)Y

fX[h(y)][h(第1求第1求Y的分布函数FYy)FYyP{Yy}PX2y}yP{yXy},y f yy y y第2Ｙ的概率密度fY(yf(y)(y)f(y)(y yfY(y)FY(y) y(2)代入Ｘ的概率密度的具体表达y y f(y)2,0y1,f(y) ,1y 其他 其他 1y yf(y) ,0y 2y 1[f(y)f(y y2 y例5设 量X~N(,2),试证明X的线性函YaXb(a0)也服从正态分布.X2y,0y 其他由公 fY(y)fX[h(y)][h( YaXb的概率密度 y yf(y) f(a a (xf(x) e2σ,x ygxax得xh(y)yb 知[h(y)]1 a(yb a YaX a ~N(aμb,(aσ)2[ 2(aσ ,yaσ

0y其他解QX~U X 密度函数1[h(

0h(y)其他 f(x)1,x

x 1y

0lny方法1公式法

其他Qyex在(,)上可导，单调增 y

1yxh(y)ln [h(y)]y

其他方法2分布函数法F(y)P{Yy}P{eXY yP{Xln y yln y lnyy0lnyfXx)dxlnyf(x)dx,0lny lnyln fX(x)dx,0lny10fX(x)dx lny lnylny1dx,0lny101dx lny ylny,1yfX(x)dx,lny y 0yFY(y)lny,1y yedF( ye例7设随量X分布函数F(x)是严格单调的连续函数，试证明：YFX)在[0,1]上服从均匀分布证QFx)0Fx1且Fx)单调不从而f(y) d1,1y0,其他FY(y)P{Yy}P{F(X) yP{F(X) 0y y依题意，又知F(x)严格单调增加故yFY(y)P{Yy}P{F(X) fY(y)[FY(y1,0y 其他 P{XF1( y0yy

即YFX)服从0，1 y y F[F1(y)],0y1,y,0y y y内容小1.离散型随量的函数的分如果X是离散型随量,其函数Yg(X也是离散型随量.若X的分布律 则YgX)的分布律Yf(X g(x1)g(x2) g(xk) 方法1FYyP{YyPgXf(x)yfX( (x再对FY(y)求导得到Y的密度函数方法 f[h(y)][h(y)],yfY(y) 其它gxk中有值应将相应的pk合并思考设g(x) ，若X是离散型随量则Yg(X)也是离散型随量吗？若X是连续 列无限多个，因此Y是离散型随量，若X连续型随量，那么Y不一定是连续型随量由于Y的取值为[0,1],所y0时FYyP{Yy注意条件例如设X在(0,2) 0x2, 0,其x,0xygx1,1x则YgXFYy yY的分布函数为FY(Y2,0y1,yy1时FYyP{Yy0y1时,FYyP{YyPgX

因为FYy)在y1YgX)

y 量，又因为FY(y)不是阶梯函数，故YgXf(x)dx dx X 也不是离散型随量练习例2- 测量一类练习例2- 测量一类圆形物体的半径X为 量其 101112 0.10.40.3Y12πX和Y2πX2都是X的函数，Y1和Y2各自 20π22π24π Y2 100π121π144π 解X~N(100,52Y是X的函数,可取值10,3,5.P{Y5}P{115X}15Φ(115100)55Φ(3)Φ(0)P{Y10}P{X100}5(0)Y3Pk0.0013 1Φ(3)例4‐1(讲X~N(0,1求下列函数的密度函数(1)YX2 (2)YX分析yx2在(,)P{Y3}P{100Xf(x)2 1 x πe试求随量Yg(X)的概率密度，其 当x 当x

yx在x0处不可导， 因为f(x)为偶函数,所 故不能直接用定理P(X0)P(X0) 解(1)FY(y)P{Yy}P{X2P(Y1)P(X0)P(X0)P(Y1)所以Y的分布列为

P{X

yy y yX y y(y)(y),y y2(y)1,y yFYy2(y1,yf(y)dFY( y d [2(y) y y2(y) y 2 y1(y y y (y11 2 y 2 y e2 y(2)FY(y)P{Y yP{Xy}P{yX y y ydF(2π y 即f(y) e2 y2π 例4‐2设随量X的概率密度f(y) y d 2( y y y0, 2(y),y0. 22 y yf(x)dxyf(x)d x fX(x) x x3ex,xfXxx3ex2 x 求 量YX2和Y2X3的概率密度 fY(y)FY(y)fX(y)(y)f(y)(yX解先求 量YX2分布函数 1(y)3e(y)20YF(y)P{Yy}P{X2y}(当y0时 2 2YP{yXFX(y)FX(

y))y2x3x 2yfY(