动量守恒定律的案例分析教案

1.3动量守恒定律的案例分析内容：动量守恒定律的应用要点：（一）动量守恒定律的“三适用” “三表达”动量守恒定律的内容：一个系统不受外力或所受外力之和为零， 这个系统的总动量保持不变。因动量是状态量，只要系统满足动量守恒条件，整个过程系统的总动量都应是守恒、 不变的。我们应用此定律只需考虑初、 末两状态即可，即夕犷二产黄。因此，应用动量守恒定律解题，可将复杂的物理过程隐含在内，从而将问题简化，使动量守恒定律成为解决力学问题的有力工具。“三适用”以下三种情况可应用动量守恒定律解题。.若系统不受外力或外力之和为零，则系统的总动量守恒［例1］如图1所示，一车厢长度为上、质量为M,静止于光滑的水平面上，车厢内有�；质量为m的物体以初速度％向右运动，与车厢来回碰撞n次后静止于车厢中，这时车厢的速度为（）A.V速度为（）A.V。,水平向右解析：当物体在车厢内运动及与车厢壁碰撞过程中， 物体及车厢组成的系统所受外力有重力（即+溶）g和支持力/,合力为零，故系统总动量守恒。系统的初动量为 0,当物体静止于车厢中时，二者具有相同的速度，设为定律得*。=3+如,解得"一T短，C对。.若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量守恒。［例2］一门旧式大炮，炮身的质量为M,射出炮弹的质量为m,对地的速度为旧，方向与水平方向成I4角，若不计炮身与水平地面的摩擦，则炮身后退速度的大小为（ ）mvmv wavcoscKM十和 COSCKM十和A.乂B.时C.陋-阴tDA.解析：大炮在射出炮弹的过程中，系统所受外力有重力（阳+M解析：大炮在射出炮弹的过程中，系统所受外力有重力（阳+M足和支持力/,如图2所示，因炮弹在炮筒内做加速运动，加速度的方向与水平方向成 口角斜向上，竖直分加速度叼=”(向上)，这也是系统在竖直方向上的加速度，因此 ,系统的外力之和不为零，总动量不守恒。但系统在水平方向不受外力，因此水平方向动量守恒。设炮身后退的速度大小为球，规定炮身运动的反方向为正方向，在水平方向应用动量守恒f^VCOSGKV= 定律得口=-MV+同期cosa,解得M(网4(网4制收图2.若系统所受外力之和不为零，但外力远小于内力，可以忽略不计，则物体相互作用过程动量近似守恒。如碰撞、爆炸等问题。［例3］质量为M的木块放在水平地面上，处于静止状态，木块与地面间动摩擦因数为 尸一颗质量为m的子弹水平射入木块后，木块沿水平地面滑行了距离 $后停止，试求子弹射入木块前速度解析：子弹射入木块过程中，木块受地面的摩擦力为与解析：子弹射入木块过程中，木块受地面的摩擦力为与，此力即为子弹与木块组成的系统RF的合外力，不为零。但子弹与木块间的相互作用力 力>>］，摩擦力可忽略不计，系统的动量近似守恒。设子弹射入木块后，子弹与木块的共同速度为 由动量守恒定律得叩0=函+办①此后子弹与木块一起做匀减速直线运动此后子弹与木块一起做匀减速直线运动由运动学公式得：I''"勿占③由①②③解得由①②③解得此题②③式亦可用动能定理求解。“三表达"�；�；动量守恒定律有三种常用的数学表达式(1)系统的初动量等于末动量，即("�；”表(2)若A、B("�；”表示AHi与八5方向相反）［例4］质量相等的三个小球a、b、c在光滑的水平面上以相同的速率运动，它们分别与原来静止的三个球A、B、C相碰（a与A碰，b与B碰，c与C碰）。碰后，a球继续沿原来的方向运动，b球静止不动，c球被弹回而向反方向运动。这时， A、B、C三球中动量最大的是（）A.A球B.B球C.C球D.由于A、BC三球的质量未知，无法判定解析：由题意可知，三球在碰撞过程中动量均守恒， a、b、c三球在碰撞过程中，动量变化的大小关系为：%＞g＞则。由动量守恒定律知杂口二一功工，/%=一即另，库"二一4c。所以A、B、C三球在碰撞过程中动量变化的大小关系为： “尸。＞除上＞功用又A、B、C的初动量均为零，所以碰后 A、BC的动量大小关系为Pe＞入①期，选项C正确。3.若A、B两物体相互作用过程中动量守恒，则倒/%（北、工3分别为此过程中A、B位移的大小）［例5］一平板小车静止在光滑水平面上，车的右端安有一竖直的板壁，车的左端站有一持枪的人，此人水平持枪向板壁连续射击，子弹全部嵌在板壁内未穿出，过一段时间后停止射击。则（）A.停止射击后小车的速度为零B.射击过程中小车未移动C.停止射击后，小车在射击之前位置的左方D.停止射击后，小车在射击之前位置的右方解析：在发射子弹的过程中，小车、人、枪及子弹组成的系统动量守恒， 尸第二尸率二°因此，停止射击后小车的速度为零，选项A正确。又射击过程子弹向右移动了一段位移 ,则车、人、枪必向左移动一段位移 工至，设子弹的质量为m,车、人、枪的质量为M,由动量守恒定律得”二以外，选项C正确，此题答案A、C（二）平均动量守恒若系统在全过程中动量守恒（包括某一方向上动量守恒） ，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒。如果物体系是由两个物体组成的， 且相互作用前两物体均静止，相互作用后均发生运动，则使用时应明确：必须是相对同一参照物位移的大小， 当符合动量守恒定律的条件，而又仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解。［例6］载人气球原来静止于高H的高空，气球的质量为M,人的质量为m,若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？解析：气球和人原来静止在空中， 说明系统所受合外力为零，故系统在人下滑过程中动量守

恒，人着地时绳梯至少应接触地面，设绳梯长为 EI,人沿绳梯滑至地面的位移是用，气球，- 的位移是6,由平均动量守恒，则有：二/百，所以有： M,所以绳梯至少为L=S+狂= H谑长。（三）把握临界条件巧用动量守恒定律动量守恒定律是力学中的一个重要规律。在运用动量守恒定律解题时，常会遇到相互作用的几个物体间的临界问题，求解这类问题要注意分析和把握相关的临界条件， 现把与应用动量守恒定律解题相关的临界问题作初步的分析和讨论。1.涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用过程中， 当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。［例7］如图3所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物体以6mis的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4而g的物体C静止在前方。A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧能达到的最大弹性势能为多少？图图分析：AB以6成『3的速度向右运动，并与C发生碰撞。由于碰撞时间很短，可认为碰撞仅发生在A与C之间，碰后A与C具有共同速度峰，由动量守恒定律有：A和C碰后合并为一个物体，由于物体 B的速度大于A和C的速度，弹簧将被压缩。接着,物体B做减速运动，A和C做加速运动。当三个物体速度相同时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到最大。由动量守恒定律有：得:用$用+（陋内+喀c）T1—（海/+阳E+阳C）?得:柳不，n十（府1十幽尸〉诺 2x6十6x2, .,V= ~~— 匕= 组/S=3^2/S弹簧具有的最大弹性势能 ,为：%=：海3a+（（%+朋匕）彳（掰用+烟台+胸仃）/二121.涉及斜面的临界问题在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将

［例8］［例8］如图4所示，质量为材的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一质量为用的小球以速度女向滑块滚来，设小球不能越过滑块，求小球滑到最高点时的速度大小和此时滑块速度大小。由动分析：由临界条件知，小球到达最高点时，小球和滑块在水平方向应具有相同的速度。量守恒定律得：由动mVi.涉及摆的临界问题装在车内的摆（由一段绳子和小球组成）随车运动时，小球上升到最高点的临界条件是小球和小车的速度相等。［例9］如图5所示，甲、乙两完全一样的小车，质量均为［例9］如图5所示，甲、乙两完全一样的小车，质量均为舷,乙车内用细绳吊一质量为-M2的小球，当乙车静止时，甲车以速度与乙车相碰，碰后连为一体，当小球摆到最高点时,甲车和小球的速度各为多大?图3分析：甲车与乙车发生碰撞，由于碰撞时间很短，当甲、乙两车碰后速度相等时，乙车发生的位移可略去不计，这样，小球并未参与碰撞作用，取甲、乙两车为研究对象，运用动量守恒定律得:岫产2屿①接着，甲、乙两车合为一体并通过绳子与小球发生作用，车将恒定律得:小球到达最高向右做减速运动，小球将向右做加速运动并上摆。 当小球和车的速度相同时,小球到达最高点。对两车和小球应用动量守恒定律得:解以上①②两式得:.涉及追碰的临界问题两个在光滑水平面上做匀速运动的物体,甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度叫两个在光滑水平面上做匀速运动的物体,甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度叫>'乙。而甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是［例10］甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为M=3侬,乙和他的冰车的总质量也是30尬,甲推着一个质量为耀=”值的箱子，和他一起以大小为飞=2配儿的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相碰，甲突然将箱子沿冰面推给乙， 箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。 若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于冰面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。分析：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能： ①继续向前，方向不变；②停止运动；③反向运动。以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获得的速度最小，若这种推法能实现目标，则箱子获得的速度最小，设箱子的速度为 v,取甲运动方向为正方向，则对甲和箱子在推出过程运用动量守恒定律：影+㈤/二.用+的①箱子推出后，被乙抓住，为避免甲、乙相撞，则乙必须后退，对乙和箱子运用动量守恒定律得:*-峋=（防+河血②要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度最小的临界条件为： “甲必③解以上三式得： - ，■一.涉及子弹打木块的临界问题：子弹打木块是一种常见的习题模型。 子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同。［例11］如图6所示，静止在光滑水平面上的木块，质量为脑、长度为上。�颗质量为优的子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为 分的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度也应等于多大？O 制*"产，〃产畜产事产事产〃图6分析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量守恒定律得：噂二昭『叫①要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件： 修=%②-L=-刖£--wiVj--砺；根据功能关系得： 2 2 2 ③户（冽+M）.匚解以上三式得：°'mM【典型例题分析】［例1］如图所示，质量为M的足够长的木板A以速度v沿斜面匀速下滑，在其下滑过程中将一质量也为M的木块B轻轻放在A的上表面上，A、B之间无摩擦，求：(1)当B的速度为U/4时A的速度；(2)当B的速度为2y时A的速度。解析：木板A能在斜面上匀速下滑，说明斜面与 A之间摩擦因数为(1)当B放到A上后A与斜面之间的摩擦力增大了， A将做减速运动，但对于A、B组成的系统仍有R雄杷6=2"会日。系统的合外力为零，动量守恒，有加V/4+W得，当B的速度为田4时，a的速度为3=3W4。(2)对于A、B组成的系统，根据动量守恒定律，当B的速度为v时A的速度为零，但当A的速度等于零之后，系统与斜面之间的摩擦力将由滑动摩擦力 力三2似峋g变为静摩擦力工i三娓节出g系统的合外力不再为零，此后B在A上加速运动A的速度始终为零，所以当B的速度为2v时，A的速度为零。此题也可用牛顿第二定律求解，请同学们自己试试。［例2］如图所示，在光滑的水平面上有一质量为馒=2。曜的小车通过一根不可伸长的轻绳与质量为明「25轮的拖车相连接，质量为咋二15粒的物体放在拖车的水平车板上与车板之间的动摩擦因数为四=S2,开始时物体和拖车都静止，绳子松弛，某时刻小车以速度为=如,3向右运动，求：(1)三者以同一速度前进时的车速 v的大小。(2)若物体不能从拖车上滑落，到三者速度相等时物体 切3在拖车平板上滑行的距离Aso解析：叫,梆啊所组成的系统合外力为零，所以动量守恒，有

域］为=（W刑）十醒.卜=1股门。由于轻绳不可伸长，当绳子被拉直的瞬间 海1与阳a便有了相同的速度（此时叫由于惯性还处于静止状态），在绳子被拉直的瞬间帆3发生了一个明显的动量改变量， 说明阴1小之间的作用力很大，远大于康会与叫之间的摩擦力，因此柳1与阳a组成的系统在绳子被拉直的这极短的时间内动量守恒。%为二（%+啊）%，解得啊与刑?在绳子拉直的瞬间获得的共同速度13 。此后那1与第）组成的整体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动，其加速度为2值］=一内+加J=一§修/Ijr速度由峰减到V过程中发生的位移为内二①一%）/2%=7门2加。烟m在摩擦力的作用下做匀加速直线运动其加速度为 "a=即=2那,速度由0增至V过所以到三者速度相等时物体叫所以到三者速度相等时物体叫在拖车平板上滑行的距离为管用=—ra/s此题在计算时也可选拖车为参照物，则物体 次三相对拖车做初速度为 3 ,加速TOC\o"1-5"\h\zc r* ］打-K™/c2 iff=———=~—m口相一，网『8 2人3度为3 ,末速度为0的匀减速直线运动，其位移为 用 。此题还可以用能量的观点求解到三者速度相等时物体在拖车平板上滑行的距离， 同学们可以在复习过能量的观点后再用相应的方法求解此题。【模拟试题】.在质量为.1的小车中挂有一单摆，摆球的质量为 明。小车和单摆以恒定的速度 V沿光滑水平地面运动，与位于正对面的质量为 加2的静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列哪个或哪些情况是可能发生的（ ）A.小车、木块、摆球的速度都发生变化，分别变为（阳］-I"附Q）V■二咽V］4-^2V2+用0V3

B.摆球的速度不变，小车和木块的速度变为B.摆球的速度不变，小车和木块的速度变为和叱，满足C.摆球的速度不变，小车和木块的速度都变为 巧，满足加止三（物】十期之）巧D.小车和摆球的速度都变为唧，木块的速度变为巧，满足（阳］-I"附D）/=（用］+明口）为+v2.半径相等的两个小球甲和乙，在光滑水平面上沿同一直线相向运动，若甲球的质量大于乙球的质量，碰撞前两球的动能相等，碰撞后两球的运动状态可能是（ ）A.甲球的速度为零而乙球的速度不为零B.乙球的速度为零而甲球的速度不为零C.两球的速度均不为零D.两球的速度方向均与原方向相反，两球的动能仍相等.在光滑水平面上，动能为百口，动量的大小为用的小钢球a与静止小钢球b发生碰撞，碰撞前后球a的运动方向相反，将碰撞后球 a的动能和动量的大小分别记为且1、月球b的动能和动量的大小分别记为 生、B,则必有（）国《£匕与年C.马＞S°D.舄＞尸口.在光滑水平冰面上，甲、乙两人各乘一小车，两人质量相等，甲手中另持一小球，开始时甲、乙均静止，某一时刻，甲向正东方向将球沿着冰面推给乙， 乙接住球后又向正西方向将球回推给甲，如此推接数次后，甲又将球推出，球在冰面上向东运动，但已经无法追上乙，此时甲的速率,甲、乙的速率吃及球的速率V,三者之间的关系为（）A.f"b—Tc.小旷位dK%叫.放在光滑水平面上的M、N两物体，系于同一根绳的两端，开始时绳是松驰的， M、N反方向运动将绳拉断，那么在绳拉断后， M、N可能的运动情况是（）M、N同时都停下来，M、N仍按各自原来的运动方向运动C.其中一个停下来，另一个反方向运动D.其中一个停下来，另一个按原来方向运动.某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为 阳】，枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为朋？，枪口到靶的距离为L,子弹水平射出枪口相对于地的速度为右，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入靶中，在射完n颗子弹时，小船后退的距离为（）

A.0B.C.nm2h㈣A.0B.C.nm2h㈣+网冷t.D..质量分别为胃1和加