弹塑性力学第04章

§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系第四章应力应变关系（本构方程）

§4-2线弹性体的本构关系

§4-3各向同性材料弹性常数

2/5/20231本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。

ji,j+fi=

0ij=(ui,j+uj,i)/2第四章应力应变关系（本构方程）2/5/20232共9个方程，但需确定的未知函数共15个：ui，ij=ji，ij=ji，ij=ji=fij(kl)

第四章应力应变关系（本构方程）

还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：

2/5/20233§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系1.1应变能U和应变能密度W（比能）

如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变形，产生变形能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变能贮存在弹性体中。

2/5/20234§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系

外力做实功

A：

A=U

物体的应变能U

W：应变能密度——单位体积的应变能。

2/5/20235§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系1.2应变能密度W与材料的本构关系

当外载

，缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时外力功增量变化。

x2x1x3oFf2/5/20236§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系在某一时刻t：

产生

应变能密度W的表达式？2/5/20237§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系时刻达到t+t：位移有增量

应变增量

外力功增量

：

2/5/20238§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系：函数增量

应变能增量A中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。

2/5/20239§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系代入外力功增量

2/5/202310——W为ij的函数。

§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系2/5/202311

因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，所以W为它的全微分

§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系2/5/202312比较上面二式，得：

——本构关系（方程）

适用于各种弹性情况（线性、非线性）

§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系2/5/202313由

积分得

——应变能密度定义式。

§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系2/5/202314§4-1应变能、应变能密度与弹性材料的本构关系应变能密度定义式一些书上写为ijijijdijdWWij2/5/202315§4-2线弹性体的本构关系

2.1各向异性材料

在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况,以及当ij=0

时

ij=0。用指标符号表示：ij=Eijkl

kl

Eijkl共有81个元素（四阶张量常数）。

由于

ij

=ji

，kl

=

lk

2/5/202316§4-2线弹性体的本构关系{}=[c]{}

Eijkl减少为66=36个独立系数，用矩阵表示本构关系

2.1各向异性材料

2/5/202317§4-2线弹性体的本构关系{}=[c]{}

2.1各向异性材料

2/5/202318§4-2线弹性体的本构关系

根据

，

得

则

[C]为对称矩阵

[C]=[C]T。

2.1各向异性材料2/5/202319§4-2线弹性体的本构关系2.1各向异性材料

*对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。

弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化

[C]中系数。

Eijkl

的独立系数为21个——材料为各向异性线弹性材料。

2/5/202320§4-2线弹性体的本构关系2.2具有一个弹性对称面的材料

x2x1x3弹性主轴若物体内各点都有这样一个平面，对此平面对称方向其弹性性质相同，则称此平面为弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为弹性主轴。

2/5/202321§4-2线弹性体的本构关系如取弹性对称面为x1—x2面，

x3为弹性主轴或材料主轴，并取另一坐标系x’i

，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。在两个坐标下，弹性关系保持不变，则[C]中元素减少为13个独立系数。

x2x1x3弹性主轴x3’2/5/202322§4-2线弹性体的本构关系Qi’j

x1

x2 x3

x’1=x1

100

x’2=x2

010

x’3=-x3

00-1

代入

得

2/5/202323§4-2线弹性体的本构关系应变张量具有相同关系。2/5/202324§4-2线弹性体的本构关系代入两组坐标系下的弹性方程

{}=[c]{},比较得

2/5/202325§4-2线弹性体的本构关系2.3具有三个正交弹性对称面的材料——正交各向异性材料

木材、增强纤维复合材料属此种材料。取x1，x2，

x3为弹性主轴。

[C]中独立系数减少为9个：

2/5/202326§4-2线弹性体的本构关系2.3具有三个正交弹性对称面的材料——正交各向异性材料

特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。

2/5/202327§4-2线弹性体的本构关系2.4横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称

若通过物体每一点可作这样的轴（如x3轴），在此轴成垂直的平面内，所有射线方向的弹性性质都是相同的，称这个平面为各向同性面，如地层属于此类。[C]中独立系数为5个：

x1x2x3x1’x2’各向同性面2/5/202328§4-2线弹性体的本构关系2.4横观各向同性材料——弹性体对一个轴对称2/5/202329§4-2线弹性体的本构关系2.5各向同性材料

各个方向弹性性质一样，[C]中仅有2个独立系数：

2/5/202330§4-2线弹性体的本构关系2.5各向同性材料

2/5/202331§4-3各向同性材料弹性常数3.1本构关系用、G表示

采用指标符号表示：

其中——应变第一不变量（体积应变）

2/5/202332§4-3各向同性材料弹性常数3.1本构关系用、G表示

或

——应力第一不变量；

2/5/202333§4-3各向同性材料弹性常数3.1本构关系用、G表示

两个第一不变量关系

2/5/202334§4-3各向同性材料弹性常数3.2本构关系用弹性模量E和泊松系数

表示

令

或

2/5/202335§4-3各向同性材料弹性常数3.2本构关系用弹性模量E和泊松系数

表示

则本构关系变为材料力学中最初见到的广义虎克定理的形式：

2/5/202336§4-3各向同性材料弹性常数

采用指标符号表示：

2/5/202337§4-3各向同性材料弹性常数——体积压缩模量。

两个第一不变量关系

或

2/5/202338§4-3各向同性材料弹性常数E——拉压实验测定，G——扭转测定，——压缩实验测定，

K——静水压力实验测定

2/5/202339作业：

1.

证明，对各向同性弹性体，若主应力123，则相应的主应变123。2．将一小物体放在高压容器内，在静水压力为q=0.5N/mm2作用下，测得体积应变为-0.41