带摩擦的平衡问题

3.5

考虑有摩擦时

物体的平衡问题

ProblemsInvolvingFriction考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题考虑摩擦时的平衡问题工程中的摩擦问题联轴器考虑摩擦时的平衡问题摩擦的微观机理考虑摩擦时的平衡问题摩擦的微观机理考虑摩擦时的平衡问题FPWFFNFFPO45°FmaxFd运动状态静止状态临界状态库仑定律Coulomb’sTheory静止状态Staticcase临界状态Caseofimpendingsliding—F＝Fmax=fsFN运动状态Dynamiccase—F＝Fd；—F＝FP≤Fmax；§3-4考虑摩擦的平衡问题一、摩擦及其分类摩擦力当两个物体沿接触面公切线方向有相对运动或相对运动趋势时，在接触面间产生阻碍运动的力（阻力）。产生摩擦的原因①接触面间的凹凸不平；②接触面间的分子吸引力。摩擦产生的机理属固体物理研究内容，理力中仅研究摩擦的力学效应。研究摩擦的目的①克服（或减少）摩擦；②利用摩擦。方法：提高零件表面光洁度、加润滑油等。如：皮带传动、摩擦制动装置等。摩擦的分类①按两物体的相对运动形式分，有②按两物体间有无相对运动分，有①滑动摩擦；②滚动摩擦。①静摩擦；②动摩擦。本书主要讨论静滑动摩擦，重点为：具有摩擦的平衡问题。粗糙面二、静摩擦力及其性质滑动摩擦现象PFNPFNFTF(1)当FT=0，则F=0。（平衡）(2)当0<FT<FT1（FT1为某临界值）时，物体处于静止状态。FTF由平衡条件得：(3)当FT>FT1时，物体处于运动状态（不平衡）。静摩擦力：物体仅有相对滑动趋势时，在接触面间产生的摩擦力。静摩擦力的性质F存在一个最大值Fmax。（1）静摩擦力的大小具有一定范围，即：——此时F由平衡条件决定（同约束反力）。（2）静摩擦力的方向：与相对运动趋势方向相反（沿接触处的公切线）。（3）Fmax由库仑静摩擦定律确定：（3—17）Fmax——称为最大静摩擦力；fs——静摩擦因素（无量纲系数）；FN——为法向压力。

fs的物理意义：表示单位正压力所能产生的摩擦力。fs

仅与接触面的材料性质、表面状况、湿度、温度等有关。fs值需由实验测定。静摩擦因素现场测量方法之一思考题：两面具有摩擦，F=12.5N问：当

F=30N时，物块与夹板间的摩擦力多大？答案：10NMFF?NFF?答案：Fmin=25N三、摩擦角与自锁现象摩擦角(AngleofFriction)全反力FR：摩擦力与法向压力的合力。——表示全反力FR与法向反力FN的夹角。随摩擦力F的增加而增加。当F=Fmax时，全反力FR与接触面法线方向的最大夹角——称为摩擦角，用符号表示。即：摩擦角的正切等于静摩擦因素。主动合力的作用线自锁现象由于全反力FR只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内，不管主动力大小如何，都能平衡，这种现象叫自锁(Self-lock)

。fAFRAFR自锁条件：≤f如：（1）斜面自锁条件自锁现象由于全反力FR只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内，不管主动力大小如何，都能平衡，这种现象叫自锁。又如：（2）斜面自锁条件的应用自锁现象由于全反力FR只能在摩擦角范围内变化，所以只要主动力合力的作用线在摩擦角范内，不管主动大小如何，都能平衡，这种现象叫自锁。四、动滑动摩擦力当两接触面有相对滑动时，接触面间摩擦力——称为动滑动摩擦力。（3—18）f——动摩擦因素，由实验测定。——库仑动摩擦定律一般有：fs<f。滑动摩擦力变化曲线注：动滑动摩擦力是一个值，而不是一个变化范围。五、具有摩擦的平衡问题特点及其求解特点：（1）受力分析时，需分析摩擦力F（方向）。F方向与相对运动趋势方向相反

（2）临界平衡时，除满足平衡条件外，还需满足摩擦的物理条件：（3）解答是以不等式表示的平衡范围，而不是一个值。（通常先求临界状态时的两个极限值，所求范围即为两个极限值之间。）1例：解：重量为P的物块放在固定斜面上，斜面的倾角为α。已知：物块与斜面间的摩擦因素为

fs(摩擦角为)，且。为使物体在斜面上保持静止，在其上作用一水平力F，如图所示。试求力F

的大小。分析：当F较小时，物块将有向下的滑动趋势。当F较大时，物块将有向上的滑动趋势。（1）当具有向下滑动趋势时，并处于临界平衡状态。FNF1minxymax(1)(2)摩擦的物理条件：(3)由(1)、(2)、(3)求得：(4)或利用(5)（2）当具有向上滑动趋势时，并处于临界平衡状态。11FNFmaxmaxxy(6)(7)摩擦的物理条件：(8)由(6)、(7)、(8)求得：(9)或利用(10)综合式（5）、（10）得，F1的值在下列范围时，物块可静止在斜面上。(11)说明与讨论：（1）当，F1max为负值，说明无需F1物块也能平衡，即产生自锁现象。（2）两种情况下的FN与Fmax是不同的。（3）利用摩擦角的概念，结合几何作图法求解。解法二、——几何法11FNminFmax（1）当具有向下滑动趋势，并处于临界平衡状态时P、F1min、FR构成一汇交力系。作力多边形（力三角形），得PFRF1minα（2）当具有向上滑动趋势，并处于临界平衡状态时1FNmaxFmaxFRP、F1max、FR构成一汇交力系。作力多边形（力三角形），得PFRF1maxα综合上述结果，得例：解：梯子AB靠在墙上，与水平面成θ角。梯子长AB=l，重量可略去，如图所示。已知梯子与地面、墙面间的静擦因素为fsA，fsB。重量为P的人沿梯上登，他在梯上的位置C不能过高，即距离AC=s，如超过一定限度，则梯子即将滑倒。试求s的范围。梯子AB——研究对象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(1)(2)(3)临界平衡时有：(4)(5)解上述5个方程，得(6)所求s值为(7)设θ=60°，fsA=0.4，fsB=0.2则：smax=0.7156l。讨论：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax(6)repeat（1）当时，即：，此时有（2）当fsB=0，即墙面为光滑时，由式（6）得但当fsA=0，即地面为光滑时，由式（6）得此时人无法登上梯子。例：解：已知：F1=20kN，F2=20kN，fsA=fsB=0.3，如图所示。试问圆柱是否运动？问题：A，B处摩擦力是否达到最大值Fmax？（1）杆OA——研究对象F1FOxFOyFANFA（2）圆轮C——研究对象xy（3）与极限摩擦力比较显然有：所以圆柱C静止。（其中，r为轮的半径）思路：先假定平衡，求出FA、FB，再与Fmax比较。例：解：已知：F1=20kN，F2=25kN，fsA=fsB=0.3，且圆柱重P=10kN，如图所示。试问此时圆柱是否运动？先假定圆柱平衡（1）杆OA——研究对象F1FOxFOyFANFA（2）圆轮C——研究对象xyP（3）与极限摩擦力比较比较有：所以圆柱在A点可动

，而在B点不可运动。（其中，r为轮的半径）轮子的这种运动称为纯滚动，纯滚动时接触点的摩擦力为静摩擦力。例：解：已知摇臂重P，与立柱间的摩擦因素fs=012，L=450mm，试求摇臂不致卡住时的高度h。（1）摇臂和立柱之间有间隙，在P的作用下只能有两点接触（A、B）。（2）摇臂不致卡住的力学意义。摇臂

——研究对象（先假定摇臂平衡）FNAFNBFAFBxy（1）（2）——（3）将（2）代入（3）得摩擦平衡的物理条件：（4）（5）将（5）和（1）代入（4）得要使摇臂不被卡住的

h值为：例：解：已知摇臂重P，与立柱间的摩擦因素fs=012，L=450mm，试求摇臂不致卡住时的高度h。摇臂

——研究对象（先假定摇臂平衡）FNAFNBFAFBxy所以，要使摇臂不被卡住的

h值为：静力学

解：①作法线AH和BH

②作A,B点的摩擦角j

交E,G两点 ③E,G两点间的水平距离l为人的活动范围 [练习4]水平梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面间的摩擦系数（摩擦角均为j），如人在梯子上走动，试分析不使梯子滑动，人的活动应限制在什么范围内？l30静力学所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理，只有在CD段活动时，才能满足三力平衡必汇交，能交上（有交点）证明：由几何关系31ACBFBPFoACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′解:(1)取AB杆为研究对象设C处达到临界状态，则有：解得：FNC=100N，FC=40N(2)取轮为研究对象已知：P=100N，FB=50N，fc=0.4，

求：(1)若fD=0.3，

轮心O的水平推力Fmin=60°，AC=CB=l/2，

r。

(2)若fD=0.15，

轮心O的水平推力Fmin例题7ACBFBFAxFAyFNCFC设C处达到临界状态，则有：解得：FNC=100N，FC=40N(2)取轮为研究对象oDFPFDFNDFC′FNC′解得：FD=40N，F=26.6N，FND=184.6N由于FD﹤FDmax，D处无滑动，上述假定正确(3)当fD=0.15时因FD﹥Fdmax

故应设D处达到临界状态补充方程：解得：FD=FC=25.86N，F=47.81N故上述假定正确?如何求得系统平衡时FmaxACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFC′FNC′思考题：重量均为P

的小球A、B用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为

fs

，一水平力F作用于A球，系统平衡时Fmax。30°ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：（1）取小球A为研究对象（2）取小球B为研究对象思考题：均质杆质量为m，长l，置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为fs。现在杆的一端施加与杆垂直的力F，试求使杆处于平衡时的Fmax。设杆的高度忽略不计。xOFABl解：取杆AB为研究对象SampleProblem8 ThemaninFig(a)istryingtomoveapackingcrateacrossthefloorbyapplyingahorizontalforceP.

Thecenterofgravityofthe250-Ncrateislocatedatitsgeometriccenter.DoesthecratemoveifP=60N?Thecoefficientofstaticfictionbetweenthecrateandtheflooris0.3.Solution

Theproblemstatementdoesnotspecifyimpendingmotion.Todetermineifthecratemovesfortheconditionsstated,wefirstassumeequilibriumandthenchecktheassumption.However,thecheckmustanswertwoquestions----doesthecrateslideand(2)doesthecratetip?

Thefree-bodydiagramofthecrateisshowninFig.(b).Iftheblockisassumedtoremaininequilibrium,thethreeequilibriumequationscanbeusedtocalculatethethreeunknowns:thenormalforceN1,thefrictionforceF1,andthedistancexlocatingthelineofactionofN1,asshowninthefollowing.AssumeEquilibrium

WhichgivesCheck

Thelargestpossiblevalueforxis0.3m(halfthewidthofthecrate)Becausex=0.216m,asobtainedfromequilibriumanalysis,issmallerthanthat,weconcludethattheblockwillnottip.ThelimitingstaticfrictionforceisCratewillnotmovewhenP=60N.whichislargerthantheforceF1=60Nthatisrequiredforequilibrium.Wethereforeconcludethatthecratewillnotslide.-----------Answer

SampleProblem7.9 CalculatetheforcePrequiredto