汇交力系、力偶系平衡

课程回顾等效力系（作用效果）物体受力分析力系等效替换建立平衡条件平衡力系合力/分力公理1、3公理1 力的平行四边形法则。公理3

加减平衡力系原理。公理2二力平衡条件(二力杆)。公理4

作用和反作用定律。公理5

刚化原理。约束和约束力：自由体和非自由体方向：必与该约束所能阻碍的位移方向相反大小+方向正交力系物体的受力分析和受力图

qAB

q取分离体

；分析约束与相应的约束力

；画出荷载与可能的约束力.受力分析——分析物体受到的全部力（载荷和约束力）。载荷：主动力；约束力：被动力分析方法——取分离体，画受力图。力的作用效应移动转动如何度量？力矢力矩力偶第二章平面力系平面汇交力系平面力对点之矩/平面力偶平面任意力系的简化平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系的平衡/静定和超静定问题平面简单桁架的内力计算第三章空间力系空间汇交力系力对点的矩和力对轴的矩空间力偶空间任意力系向一点的简化/主矢和主矩空间任意力系的平衡条件重心力系汇交力系任意力系平行力系力偶系滑轮DWABC60°yzEOxFCDFBDFADF

工程实例

起重装置由三根脚杆AD,BD,CD和绞盘及绳索ED组成各力汇交于D点-------空间汇交力系简化方法：几何法解析法合成原理：力的平行四边形法则合力F123F121.汇交力系合成的几何法

力多边形法则（力三角形）合成方法：力多边形法则注意：各分力矢首尾相接，合力矢与第一分力矢同起点并与最后分力同终点。合力§2-1汇交力系——几何方法A2.汇交力系平衡的几何条件

汇交力系平衡条件：合力平面汇交力系平衡的几何条件——力多边形自行封闭。例题已知：梁重P=10kN,α=45°

求：钢索AC和BC所受的拉力。

力多边形自行封闭，构成直角三角形CABα=45°αCABαα45°45°

FA=FB=Wcos45°=10cos45°=7.07kN解：取梁AB为研究对像，画受力图从已知力开始用几何法，画封闭力三角形。例2-1

已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计

求：DC杆及铰链A的受力。解：DC为二力杆，取AB杆，画受力图。用几何法，画封闭力三角形。按比例量得45°ABCFD45°ABCFFCEFAFAFCF45°从已知力开始注意：力的投影是标量x'F

xBAbaxFFx<0力在轴上的投影Fx=FcosFx>0投影的正负号规则从起点到终点与轴的正向相同时，投影为正；相反时为负。3.汇交力系合成的解析法1）力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式力在直角坐标轴上的投影Fx=FcosαFy=FcosβFz=Fcos

FFxFyFzxyzabx'y'FFxFyabOxyxFx=FcosαFy=Fcosβxyz(1.3-5)Fx=Fsinγcos

Fy=Fsinγsin

Fz=Fcosγ

FFxFyFzγFxyFxy=Fsinγ二次投影法力的投影与分力间的关系F1xyFFxFy分力xyF投影FxFyxyFFxFy投影分力在直角坐标轴上力的投影与分力大小相同力的投影FxFy(1.3-5)力的投影与分力间的关系力在空间直角坐标轴上的投影与分力的大小相等。力的投影力的分解xyzFFxFyFzγFxyxyzFFxFyFzγFxy空间汇交力系的合力空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和F=F1+F2+……+Fn=∑Fi合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。Fx=Fx1+Fx2+……+Fxn=∑FxiFy=Fy1+Fy2+……+Fyn=∑FyiFz=Fz1+Fz2+……+Fzn=∑Fzi2）合矢量投影定理汇交力系的平衡条件：合力等于零。Fx=Fx1+Fx2+……+Fxn=∑Fxi=0

Fy=Fy1+Fy2+……+Fyn=∑Fyi=0Fz=Fz1+Fz2+……+Fzn=∑Fzi=0空间汇交力系的平衡方程：∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=04.汇交力系的平衡方程例2-3

已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮

大小，P=20kN求：系统平衡时，杆AB、BC受力。解：AB、BC为二力杆，取滑轮B，画受力图。F1=F2=PBFBAF1F2FBC60°xy30°用解析法，建图示坐标系解得（压力）（压力）例3-1

图示圆轴斜齿轮，已知：啮合力Fn

，

螺旋角β，压力角α求：力Fn在三个坐标轴上的投影。解：Fxy=Fncosα

Fx=–Fncosαcosβ

Fy=–Fncosαsinβ

Fz=–Fnsinα

Fz=–Fnsinα

β例3-3

图示起重装置，BCED平面与水平面夹角30°已知：物重P=10kN，CE=EB=DE，=30°求：杆受力及绳拉力解：画受力图如图∑Fx=0F1=F2F1sin45°–F2sin45°=0∑Fy=0∑Fz=0解得：

在空间力系中，力使物体绕某点转动的效应，与相应的力矩平面在空间的方位有关。在xOy平面内的力F对O点之矩（力矩平面P）使物体绕z轴转动；不在xOy平面内的力F1对O点之矩（力矩平面P1）使物体绕z1轴转动，z1轴垂直于力矩平面P1

。1.力对点的矩以矢量表示——力矩矢FABxyzOPF1P1z1§3-2力对点的矩和力对轴的矩力对点之矩的矢量表示法：力矩矢FABxyzOhMO(F)MO(F)=r×F（3–8）(3)作用面：力矩作用面。(2)方向:转动方向(1)大小:力F与力臂h的乘积rr—力作用点的矢径力矩矢的三要素按右手螺旋法则表示力矩矢的指向力矩矢MO(F)垂直于平面OAB定位矢量

—力矩矢始端必须在矩心力对点O的矩在三个坐标轴上的投影为(3-10)Mz(F)>02.力对轴的矩Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxy·

d(3-11)力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）力对该轴的矩为零。

力对轴的矩是力使物体绕轴转动的度量正负号按右手螺旋法则确定拇指指向与z轴正向一致为正FFxFyFzxyzxyzMx(F)=Mx

(Fx)+Mx(Fy)+Mx

(Fz)

=0－Fy

z

+Fz

y

当力臂h不容易求时，将力F分解为Fx

，

Fy

和Fz

，应用合力矩定理计算力对轴之矩。Mx(F)=yFz－z

FyMy(F)=zFx－x

FzMz(F)=x

Fy－yFx力对轴之矩的解析式(3-12)

力对点的矩矢在通过该点的轴上的投影等于力对该轴之矩xyzO3.力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系MO(F)MxMyMz[MO(F)]x=Mx(F)

[MO(F)]y=My(F)

[MO(F)]z=Mz(F)

由式（3-10）与式（3-12）可知例3-4

图示手柄，已知F，l，a，求：解：把力F

分解如图4.合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。MO(FR

)=∑MO(Fi)F合力矩定理的应用例2-4求齿轮啮合力F对轮心O点之矩。

F=1400N,

=20o合力矩定理的应用例2-4求齿轮啮合力F对轮心O点之矩。

F=1400N,

=20o合力矩定理MO

(F)

=MO(Ft)+MO

(Fr)

Ft=FcosFr=Fsin120FO=Fcos

×0.06+0

=1400cos20o×0.06

=78.93N.m

3.力偶和力偶矩力偶实例丝锥水龙头驾驶盘电机转子(3)作用面：力偶作用面。(2)方向:转动方向(1)大小:力F与力臂d的乘积空间力偶的三要素1.力偶矩以矢量表示——力偶矩矢力偶的定义：

大小相等，方向相反,不共线的两个平行力称为力偶，记为（F

,F′)。力偶矩：度量力偶使物体产生的转动效应。空间力偶矩的矢量表示法：M=rBA×F

力偶矩矢M垂直于力偶作用面按右手螺旋法则表示力偶矩矢的指向。力偶矩矢M的大小（模）

M=Fd=2AΔABCAΔABC单位N.m2.空间力偶等效定理定位矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）滑移矢量

作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效。

保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变力偶的可改装性10kN10kN2mM=20kN.mM=20kN.m20kN20kN1m力偶的性质

(1)合力为零,力偶不能与一个力平衡。(2)力偶在任意轴上的投影为零。(3)力偶对任一点之矩等于力偶矩自己的值。=3.空间力偶系的合成与平衡力偶系的合成M=ΣMi合力偶矩矢M，等于各分力偶矩矢的矢量和。合力偶矩矢M的大小为合力偶矩矢的方向余弦空间力偶系的平衡条件M=ΣMi=0合力偶矩矢M等于零：空间力偶系的平衡方程ΣMx=0ΣMy=0ΣMz=0ΣMz=0平面l解得解：由