八下勾股定理典型例题归类总结

勾股定理典型例题归类总结题型一：直接考查勾股定理例1.在ABC中，C90.⑵已知AB17,AC15,求BC的长⑴已知⑵已知AB17,AC15,求BC的长跟踪练习：1.在ABC中，C90.(1)若a=5,b=12,则c二;(2)若a:b=3:4,c=15,贝Ua=,b=(3)若/A=30°,BC=2,则AB=,AC=.TOC\o"1-5"\h\z. 在Rt^ABC中，/C=90 ,/ A, / B, / C分别对的边为 a,b,c,则下列结论正确的是 ( )AB、C、D、.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为( )A2、4、6B、4、6、8C、6、8、10D、3、4、5.等腰直角三角形的直角边为 2,则斜边的长为( )AB、C、1D、2.已知等边三角形的边长为 2cm,则等边三角形的面积为( )AB、C、1D、.已知直角三角形的两边为 2和3,则第三边的长为..如图，/ACB=/ABD=90,AC=2BC=1,,贝UBD=..已知△ABC中，AB=AC=10BD是AC边上的高线，CD=2那么BD等于( )A4B、6C、8D、.已知Rt^ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广 .(1)如图，以Rt^ABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积 S1、S2、S3之间有何关系？并说明理由。(2)如图，以Rt^ABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积 S1、S2、S3之间有何关系？(3)如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折 180。，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。 (此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙” )题型二：利用勾股定理测量长度例1.例1.如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?跟踪练习:BC的长是米，把芦苇拉到岸边,.如图（8）,水池中离岸边D点米的CBC的长是米，把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC..一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端 5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ）A12米B、13米C、14米D、15米.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）A8米B、10米C、12米D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用一一1一例3.如图3,正万形ABCD43,E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB—AB那么△DEF是直角三4角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：1.如图，正方形ABCD43,E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF求证：/AEF=90题型四：利用勾股定理求线段长度一一例1.如图4,已知长方形ABCD43AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点E,将△ADEW叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长.跟踪练习：.如图，将一个有45度角的三角板顶点 C放在一弓^宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点 B在纸带的另边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30°角，求三角板的最大边 AB的长..如图，在^ABC中，AB=BC/ABC=90,D为AC的中点，D已DF,交AB于E,交BC于F,(1)求证:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的长..如图，CA=CB,CD=CEZACB=ZECD=90,D为AB边上的一点.若AD=1,BD=3,求CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高米的墙上，任何东西只要移至 5米以内，灯就自动打开，一个身高米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：.如图，每个小正方形的边长都是 1,△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断^ ABC的形状，并说明理由.（1）求证：/ABD=90;（2）求的值.下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）A、9，12，15B、7,24,25C、D、，，.在△ABC中，下列说法①/B=ZC-/A;②；③/A:/B:/C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤：：=1:2:3,其中能判断△ABC为直角三角形的条件有（ ）A、2个B、3个C、4个D、5个.在△ABC中，乙A/B、/C的对边分别是a、b、c.判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26,b=10,c=24;（2）a=5,b=7,c=9;（3）a=2,,A2个B、3个C、4个D、5个TOC\o"1-5"\h\z.已知△ABC的三边长为a、b、c,且满足，则此时三角形一定是（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、锐角三角形.在4ABC中，若a=n21,b=2n,c=n21,则△ABC是（ ）A、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、直角三角形.如图，正方形网格中的^ABC是（ ）A、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形或钝角三角形.已知在△ABC中，/A、/日/C的对边分别是a、b、c,下列说法中，错误的是（ ）A、如果/C-/B=/A,那么/C=90 B、如果/C=90,那么C如果（a+b）（a-b）=,那么/A=90° D、如果/A=30°,那么AC=2BC.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a+b=3,ab=1,,求的值，试判断^ABC的形状，并说明理由.观察下列各式：，………，根据其中规律，写出下一个式子为.已知，mon,mrn为正整数，以，2mn,为边的三角形是三角形..一个直角三角形的三边分别为 n+1,n-1,8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2J3,PC=4,求△ABC的边长.跟踪练习1.如图，△ABC为等腰直角三角形，/BAC=90 ,E、F是BC上的点，且/EAF=45° ,试探究BE2、CF2、EF间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7.如图，矩形纸片ABCM边AB=10cm]BC=6cmE为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习.如图，AD是4ABC的中线，/ADC=45,把△ADC&直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.（一）折叠直角三角形.如图，在^ABC中，/A=90°,点D为AB上一点，沿CD折叠△ABC点A恰好落在BC边上的A处,AB=4,AC=3求BD的长。.如图，Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,AC=5.将△ABC折叠使C与A重合，折痕为DE,求BE的长.（二）折叠长方形.如图，长方形ABCD43,AB=4,BC=5,F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC上的点E处，求CF的长。.如图，长方形ABC邛，AD=8cmAB=4cmr]7gEF折叠，使点D与点B重合，点C与C'重合.（1）求DE的长；（2）求折痕EF的长.. (2013懦德)如图，将长方形纸片 ABC所叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE且D点落在对角线D'处.若AB=3,AD=4,贝UED的长为( ).如图，长方形ABC邛,AB=6,AD=&沿BD折叠使A至UA'处DA交BC于F点.(1)求证：FB=FE(2)求证：CA//BD(3)求^DBF的面积7.如图，正方形ABCDK点E在边CD上，将^ADE沿AE对折至/\AFE,延长EF交边BC于点G,G为BC的中点，连结AGCF.(1)求证：AG//CF；(2)求的值.题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路M明口公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是 18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？例2.一辆装满货物高为米，宽米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：.某市气象台测得一热带风暴中心从 A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东600方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问 A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。.一辆装满货物的卡车 ,其外形高米 ,宽米,要开进厂门形状如下图的某工厂 ,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?.有一个边长为 50dm的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整.如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DALAB于A,CB±AB于B,已知DA=15km,CB=10km现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？题型九：关于最短性问题例1、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（兀取，结果保留1位小数，可以用计算器计算）

例2.跟踪练习：.如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟？.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？.一个长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm,6cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？4.如图将一根厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4.如图将一根厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗?题型十：勾股定理与特殊角2.2.在△ABC中，AB=15,AC=13AD为△ABC的高，且AD=12,求△ABC的面积。3.3.如图，在^ABC中，/B=45°,ZBAC=75,AB=<6,求BC的长。(一)直接运用30°或45°的直角三角形.如图，在^ABC中，ZC=90°,/B=30°,AD是△ABC的角平分线，若AC=2J3,求AD的长。.如图，在^ABC中，/ACB=90°,AD是△ABC的角平分线，CDLAB于D,/A=30°,CD=2求AB的长。.如图，在^ABC中，AD±BC于D,/B=60°,/,C=45°,AC=2,求BD的长。(二)作垂线构造30°或45。的直角三角形(1)将105°转化为45°和60°.如图，在^ABC中，/B=45°,/A=105°,AC=2求BC的长。.如图，在四边形ABCD43,/A=/C=45°,/ADB4ABC=105，⑴若AD=2,求AB的长；⑵若AB+CD=2V3+2,求AB的长。B(2)将75°转化为30°和45题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程.如图，在^ABC中，/C=90°,AD平分/CAB交CB于D,CD=3,BD=5求AD的长。.如图，在^ABC中，AD±BC于D,且/CAD=2/BAD,若BD=3,CD=6求AB的长。（二）巧用“连环勾”列方程.如图，在^ABC中，AB=5,BC=7,AC=4J2,求SABC..如图，在^ABC中，/ACB=90°,CD!AB于D,AC=3BC=4,求AD的长。.如图，△ABC中，/ACB=90,CD!AB于D,AD=1,BD=4,求AC的长.如图，△ABC中，/ACB=90°,CD!AB于D,CD=3BD=4求AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论1.在△ABC中，AB=AC=5,求BC的长(二)腰和底不明时需分类讨论3.如图1,4ABC中，/ACB=90,AC=6,BC=&点D为射线AC上一点，且^ABD是等腰三角形，求^ABD的周长.(三)直角边和斜边不明时需分类讨论1.已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为 .在△ABC中，ZACB=90,AC=4,BC=2以AB为边向外作等腰直角三角形 ABR求CD的长.如图，D(2,1),以O西一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在 x轴上，这样的等腰三角形能画多少个写出落在x轴上的顶点坐标 .题型十三：或问题的证明.如图1,4ABC中，CA=CBZACB=90,D为AB的中点，MN分别为AGBC上一点，且DMLDN.(1)求证：CM+CN=BD(2)如图2,若MN分别在AGCB的延长线上，探究CMCNBD之间的数量关系式。.已知/BCD=c,/BAD书,CB=CD.(1)如图1,若a=3=90°,求证：AB+AD=AC2)如图2,若“=3=90°,求证：AB-AD=AC (3)如图3,若a=120° ,3=60° ,求证： AB=AD=AC (4)如图 3,若“=3=120° ,求证： AB-AD=AC；题型十四：问题的证明.如图，OA=OBOC=OD/AOBhCOD=90,MN分别为AGBD的中点，连MNON求证：MN=ON..已知△ABC中，AB=ACZBAC=90,D为BC的中点，AE=CF连DEEF.(1)如图1,若E、F分别在ARAC上，求证：EF=DE(2)如图2,若E、F分别在BAAC的延长线上，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由．.如图，△ABD中，。为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ACO=135,/ODB=45探究ODOCAC之间相等的数量关系．.如图，△ABD是等腰直角△,/BAD=90, BC// AD, BC=2AB CE平分/ BCD交 AB于E,交BD于 H.求证：（1）DC=DA；（2）BE=DH题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图如图，每个小正方形的边长为 1,A、BC是小正方形的顶点，则/ ABC的度数为.如图，每个小正方形的边长都是 1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是 3,2，，且三角形的三个顶点都在格点上．如图，每个小正方形的边长都是 1，在图中画一个边长为的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有 3个．如图，在4个均匀由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这 4个三角形中，与众不同的是 中的三角形，图4中最长边上的高为 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为 1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)画一条线段MN使MN=(2)画^ABC三边长分别为 3,,2。如图，在5X5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1,线段AB的端点在格点上.1)图1中以AB为腰的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边长．2)图 2中，以AB为底边的等腰三角形有 个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高．题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直.如图，在^ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10,BD=6,AD=&AC=7,其求CD的长..如图，在四边形ABCD43,/B=