激光原理第二章

学习目的

掌握激光器的基本原理及应用光谐振腔理论速率方程理论改善与控制激光器特性的若干技术典型激光器激光应用技术吸收辐射小结光学谐振腔的提出介质中传播的光能密度公式

z越大，光能密度也越大，

也就是可以增加增益介质的长度L来增加光能密度。要使受激辐射几率自发辐射几率，即得到激光只有靠增大增益介质中传播的光能密度来实现。

增加增益介质的长度L的方法：多次反射——光学谐振腔光学谐振腔的作用光学谐振腔的结构：在增益介质的两端各加

一块平面反射镜M1、M2。

其中一块为全反射镜；另

一块为部分反射镜（反射

率接近于1）。两者严格平行并与增益介质的轴线垂直，这就是一个简单的光学谐振腔——平行平面腔。光学谐振腔的三个作用再重述如下：倍增工作介质作用长度，提高单色光能密度，控制光束传播方向，对激光进行选频M1M2图1-21受激光在谐振腔中的放大激光器的基本结构激光工作物质：能够实现粒子数反转，产生受激光放大。激励能源：能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激辐射减少的高能级上粒子数。光学谐振腔：提高光能密度，保证受激辐射大于受激吸收。第二章激光器谐振腔与高斯光束2.1光学谐振腔结构与稳定性2.2光学谐振腔的衍射理论2.3对称共焦腔内外的光场分2.4高斯光束的传播特性2.5稳定球面腔的光束传播特2.1

光学谐振腔结构与稳定性2.1.1谐振腔的分类突出两块反射镜的形状时，将光学谐振腔分为：ABM1M2平行平面腔：平凹腔：平凸腔：

凹凸腔：双凹腔：

双凸腔：

ABM1M2OBOAM1M2

光学谐振腔的稳定性角度分类：稳定腔：在腔中任意一束傍轴光线能够经过任意次往返传播不逸出腔外的谐振腔。不稳定腔：在腔中任意一束傍轴光线不能够经过任意次往返传播不逸出腔外的谐振腔。2.1.2稳定腔及其几何光学分析距离大于两倍焦距的不稳定平凹腔：A1—A2—B1—B2—C1—逸出（分析计算省略）h0

不稳定腔A1O1h0B1C1h1A2B'0FO2B2h2M1M2B0Lfh3稳定腔条件光学谐振腔的稳定与否是由谐振腔的几何形状决定的共轴球面腔结构：两个球面反射镜的曲率半径R1、R2，腔长L。规定凹面镜的曲率半径为正，凸面镜的曲率半径为负。稳定腔条件为？BOAM1M2共轴球面腔的稳定性条件推导过程OM1M2稳定条件稳定腔几种典型的稳定腔：平行平面腔----是一种临界稳定腔，能够保证截面平行于反射镜面的光束在反射镜间传播不逸出。（临界腔）ABM1M2平行平面腔稳定腔平凹腔：是由一块平面镜和一块曲率半径为R的凹面镜组成的光学谐振腔，按照两镜之间距离可分为几种：(a)

半共焦腔：凹面镜的焦点正好落在平面镜上，(b)

半共心腔：凹面镜的球心正好落在平面镜上，距离再远，平凹腔会变得不稳定。（临界腔）ABM1M2(a)半共焦腔F(b)半共心腔ABM1M2O要求两镜面的曲率半径为正时必须同时大于腔长或同时小于腔长。对称凹面镜腔：两块曲率半径相同的凹面镜组成的谐振腔，按照两镜之间距离可分为几种：(a)共焦腔：两凹面镜的焦点重合，(b)

共心腔：两凹面镜的球心重合，距离再远，对称凹面镜腔也会变得不稳定。（临界腔）B(a)共焦腔AM1M2F(b)共心腔BOAM1M2稳定腔不稳定腔对称凸面镜腔---都是不稳定的不稳定凸面腔镜面的曲率半径同时为负，尽管上式左边成立，右边的不等式却不成立。稳定图及其说明稳定性条件为：以g1为横坐标，g2为纵坐标，上式表现为双曲线，它们是稳定腔和非稳定腔的分界线。把稳定腔大致分为四类，在图上可以用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标出。ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

稳定腔图O稳定图及其说明

第一类腔(Ⅰ)---对称腔（直线线段

BOA代表）特点是：R1=R2=R。线段OA：L≤R<∞；线段OB：L/2≤R≤L；坐标原点O：R1=R2=L，即共焦腔；A点：R1=R2→∞，即平行平面腔；B点：R1=R2=L/2，即共心腔。（一）对称腔（共焦腔、共心腔）ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

稳定腔图O稳定图及其说明

第二类腔，（即图中的第Ⅱ部分，

和的区域，代表曲率半径大于腔长的非对称腔）。其特点：R1≠R2；R1＞L，R2＞L（二）长焦距非对称腔（双凹稳定腔）ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

稳定腔图O（三）短焦距非对称腔（双凹稳定腔）除去OB的整个和的区域，这是第三类腔，即图中的第Ⅲ部分，代表曲率半径小于腔长的非对称腔。其特点：R1≠R2；0＜R1＜L，0＜R2＜L，但必须满足R1+R2＞L稳定图及其说明ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

稳定腔图O（四）凹凸腔坐标系上、和、的区域代表第四类腔，即图中的第Ⅳ部分，它是由一块R＜0的凸面镜和一块R＞L的凹面镜构成。其特点：｜R1｜＞R2－L；其中R1＜0，R2＞L稳定图及其说明ⅡⅠⅠⅡⅢⅢⅣⅣAB11

稳定腔图O稳定图的使用例一：一个腔长为L的对称稳定腔，其反射镜曲率半径如何确定?例二：稳定腔的一块反射镜已有如R1=2L，另一块反射镜的曲率半径的取值范围如何确定？例三：如果两块反射镜的曲率半径分别为R1、R2，欲用它们组成稳定腔，腔长的取值范围如何确定？稳定图的应用腔的分类突出焦距与腔长的关系时，稳定腔分为：对称共焦腔：半共焦腔：非共焦腔：除去图中原点和点（1，0.5）外的整个稳定区ABM1M2(a)半共焦腔FB(a)共焦腔AM1M2F腔的用途一般中小功率的气体激光器常用稳定腔它的优点是容易产生激光；但对于增益系数大的固体激光器常用非稳定腔产生激光，它的优点是可以连续改变输出光的功率非稳定腔不宜用于中小功率的激光器，但有时光的准直性均匀性较好，能够连续地改变输出光功率对称共焦腔是建立模式理论的基础，是一种最重要的稳定腔33引言前两章：激光产生的工作原理：在激光谐振腔中受激辐射大于自发辐射而导致光的受激辐射放大的过程和条件；谐振腔作用：倍增激光增益介质的受激放大作用长度以形成光的高亮度；提高了光源发光的方向性；由于激光器谐振腔中分立的振荡模式的存在，大大提高了输出激光的单色性，实现了高度的相干性，改变了输出激光的光束结构及其传输特性。本章研究激光的输出特性----从激光谐振腔中传播到腔外的光束的强度与相位的大小与分布激光光束(高斯光束)。从谐振腔的衍射理论开始研究激光输出的高斯光束传播特性，激光器的输出功率以及激光器输出的线宽极限。34

2.2光学谐振腔的衍射理论2.2.1惠更斯-基尔霍夫衍射公式

惠更斯－菲涅耳原理:波面上每一点可看作次球面子波的波源。下一时刻新的波前形状由次级子波的包络面所决定。空间光场是各子波干涉叠加的结果。

设波阵面上任一源点则空间任一观察点P的光场复振幅为的光场复振幅源点观察点由下列积分式计算：惠更斯-菲涅耳原理362.2.2光学谐振腔的自再现模积分方程

谐振腔衍射效应光场分布特点：反射镜的有限大小，它在对光束起反射作用的同时，还会引起光波的衍射效应，引起反射回来的光束的强度减弱.特点1：当反射次数足够多时（大约三百多次反射）光束的横向场分布便趋于稳定，分布不再受衍射的影响。特点2：场分布在腔内往返传播一次后能够“再现”出来，反射只改变光的强度大小，而不改变光的强度分布。这个稳定的横向场分布------激光谐振腔的自再现模。这种稳态场经一次往返后，镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点的相位发生同样大小的滞后。37

图所示为一个圆形镜的平行平面腔，镜面和上分别建立了坐标轴两两相互平行的坐标和。利用上式由镜面上的光场分布可以计算出镜面M上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。自再现模积分方程

镜面上场分布的计算示意图

假设为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则

与之间应满足如下的迭代关系：

考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外，应能够将再现出来，两者之间应有关系：

38

其中，称为积分方程的核。综合上两式可得

简化：对于一般的激光谐振腔来说，腔长L与反射镜曲率半径R通常都远大于反射镜的线度a，而a又远大于光波长。对上式做两点近似可得到自再现模所满足的积分方程：

和的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的分立的自再现模。

=1=L源点观察点坐标函数2.3共焦腔中的行波场与

腔内外的光场分布40场分布特点

腔内的光场:

可以通过基尔霍夫衍射公式计算由镜面M1上的场分布在腔内造成的行波求得，行波被反射镜M2反射产生传播方向相反的另一列行波，两列行波在腔内迭加成驻波。

腔外的光场:

则就是腔内沿一个方向传播的行波透过镜面的部分。即行波函数乘以镜面的透射率t。求空间场分布的关键是：求出镜面场分布生成的行波在任意空间点的表达式。412.3.1共焦腔镜面上的场分布如图所示，将镜面场分布代入基尔霍夫衍射公式可得：

计算腔内外光场分布的示意图422.3.1共焦腔镜面上的场分布方形镜面共焦腔自再现模积分方程的解析解

近轴情况下，积分方程有本征函数近似解析解（厄米特-高斯函数）：

本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均为厄密多项式：设方镜每边长为2a，共焦腔的腔长为L，光波波长为λ，

(x，y)

镜面上的任意点。431.镜面上自再现模场的特征

振幅分布:

令

,

则有的变化曲线及相应的光强分布基横模TEM00m、n的数值越大，光场也越向外扩展。

44本征函数和激光横模：本征函数:模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3横模光斑示意图

用TEMmnq表示激光模式，TEM代表横电磁波(transverseelectro-magneticwave)

m、n:代表在截面的x、y轴方向出现的节线数，为横模序数。45镜面上自再现模场的特征(续)振幅分布:基横模TEM00场分布为：镜面上基模的“光斑有效截面半径”

相位分布:

共焦腔反射镜面本身构成光场的一个等相位面。

单程衍射损耗：一般忽略不计，但是在讨论激光器单横模的选取时必须考虑单程衍射损耗

46

损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用表示。定义为2.本征值和单程衍射损耗、单程相移本征值的模

反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为

自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移，它们的关系为482.3.2光学谐振腔谐振频率和激光纵模谐振条件、驻波和激光纵模光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件每个q值对应一个驻波，称之为----纵模，q为纵模序数。49纵模频率间隔举例1：10cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（一种，单纵模）举例2：30cm腔长的He-Ne激光器可能出现的纵模数（三种，多纵模）腔中允许的纵模数腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔同一个模式

方形共焦腔的频率间隔：共焦腔谐振频率简并性：保证（2q+m+n+1）

不变,对应的谐振频率是

可以相同的.圆形镜共焦腔：50方形镜共焦腔的振荡频谱方形镜共焦腔的振荡频率2.4高斯光束522.4.1高斯光束的振幅和强度分布

基模光斑半径随z按双曲线规律的变化

基模光斑半径随z按双曲线规律变化：在共焦腔中心(z＝0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径

53

当场振幅为轴上()的值的e-1倍，即强度为轴上的值的e-2倍时，所对应的横向距离即z处截面内基模的有效截面半径为；

2.4.1高斯光束的振幅和强度分布基横模TEM00的场振幅U00和强度I00分布分别为：

在共焦腔中心(z＝0)的截面内的光斑有极小值，称为高斯光束的束腰半径

542.4.1高斯光束的振幅和强度分布(续)

图(3-8)基模光斑半径随z按双曲线规律的变化用束腰半径表示的形式:

基模光斑半径随z按双曲线规律变化：552.4.2高斯光束的远场发散角

远场发散角

(全角)定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角[参见图(3-8)]

共焦腔基模光束的理论发散角具有毫弧度的数量级，它的方向性相当好.

由于高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比单基模振荡差。图(3-8)基模光斑半径随z按双曲线规律的变化共焦腔中等位相面的分布(0,0,z0)(x,y,z)2.4.3高斯光束的相位分布

随坐标而变化，与腔的轴线相交于Z0

点的等相位面的方程为

忽略由于z

变化引起的的微小变化，用代替，则在腔轴附近有583.3.2高斯光束的相位分布(续)令则有：表明：等位相面在近轴区域

可看成半径为R0的球面。(0,0,z0)(x,y,z)R0Z-Z0+R0X2+y2R02.4.3高斯光束的相位分布(续)由式子可知：当z0＞0时，z-z0＜0；而当z0＜0时,z-z0＞0

当当共焦腔中等位相面的分布≈共焦腔反射镜面是共焦场中曲率最大的等相位面602.4.4高斯光束的高亮度

亮度B:单位面积的发光面在其法线方向上单位立体角范围内输出去的辐射功率。一般的激光器是向着数量级约为10－6

sr的立体角范围内输出激光光束的。而普通光源发光(如电灯光)是朝向空间各个可能的方向的，它的发光立体角为4πsr。相比之下，普通光源的发光立体角是激光的约百万倍。61小结一下高斯光束的主要特征参量：图(3-8)基模光斑半径随z按双曲线规律的变化622.5稳定球面腔的光束传播特性632.5.1稳定球面腔的等价共焦腔

对称共焦腔特点:

R