工力B第8章杆件的扭转

DEPARTMENTOFENGINEERINGMECHANICSKUST第八章

杆件的扭转本章介绍扭转的概念轴的扭力矩、扭矩和扭矩图切应力互等定理、剪切胡克定律圆轴扭转时的应力与变形圆轴扭转的强度条件和刚度条件实例对称扳手拧紧镙帽§8-1扭转的概念实例传动轴汽车传动轴实例MM受力特征:外力偶作用在垂直于轴线的平面内。变形特征:两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角；纵向线倾斜一个角度，称为剪切角(或称剪应变)。扭转的概念MM使杆件产生扭转变形的外力偶称为扭力偶，扭力偶的矩称为扭力矩。（Me，kN.m）承受扭矩并通过扭转传递力的杆件称为轴。扭转的概念1.扭力矩的计算§8-2轴的扭力矩、扭矩及扭矩图切线方向的力F产生力偶矩Me=FR皮带的拉力F1和F2产生力偶矩.若

F2>F1则

Me=(F2-F1)D/2皮带轮或链条作用在齿轮上的切向力产生力偶矩Me=FtR齿轮功率P(kW或HP)标示牌显示旋转速度n(r/min)由转速和功率计算扭力矩MeMeMenT轴受外力偶矩作用时，将在横截面上产生分布剪应力，分布剪应力对质心的合力矩也是一个力偶矩，通常称为扭矩，以

T(或

Mx)表示。单位kN.m。2.轴的扭矩T=Me扭矩T的正负约定:++3扭矩图

坐标(x,T)用来表示沿轴线方向的扭矩变化.

x

表示横截面的位置.T表示扭矩的大小.我们可以画出扭矩图。例8-1

传动轴如图所示，已知：转速n=300r/min;驱动功率P1=500kW,被驱动齿轮功率分别为P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW.请画出轴的扭矩图.

首先计算各齿轮所受的外力偶矩.解:M1

M2

M3

M4

BCADM1

M2

M3

M4

BCAD计算各段上的扭矩22113311M2BxT1BM2

CM3

22xT2x33DT3M4

画扭矩图Tmax=9.56kN·m

,位于CA段上.4.789.566.37T(kN·m)221133M1

M2

M3

M4

BCAD画扭矩图Tmax=15.9kN·m

,位于AD段上.221133BCADM1

M3

M2

M4

4.789.5615.9T(kN·m)1.薄壁圆管的扭转lRtR—平均半径t

(或δ)—筒壁厚度薄壁t<<2R通常t≤R/10薄壁圆管§8-3切应力互等定理、剪切胡克定律(1)圆周线绕轴线相对转动(2)圆周线的大小和间距不变(3)各纵线倾斜同一角度(4)矩形网格变为平行四边形变形现象：薄壁圆管的扭转近似认为管内变形与管表面变形相同C’D’ABDCgr0单元体–

微小六面体微体只产生剪切变形。沿圆周方向所有微体的剪切变形相同。横截面上只存在垂直于半径的剪应力，沿圆周大小不变，沿壁厚均匀分布。扭矩等于剪应力的合力矩

T=(2πRt)τRτ=T/(2πR2t)r0切应力的计算xyz自动满足ttt’t’dydxdz2.切应力互等定理根据平衡条件于是得到这就是切应力互等定理.切应力互等定理:ttt’t’

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且大小相等，并都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线.纯剪切状态–

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力的应力状态。思考已知单元体上、下两个面上的剪应力，以下各图中所画的其他面上的剪应力，哪个图是正确的？ABCD切应变扭转角切应变gC’D’ABDCg3.剪切胡克定律MM剪切胡克定律塑性材料的扭转试验表明，扭转时的应力-应变关系与拉伸时相同当τ≤τp(弹性范围内),

τ=G剪切胡克定律G—剪切弹性模量.它与τ(Pa,通常使用GPa)具有相同的量纲.G,E和m都是材料的弹性常量，但它们中只有两个是独立的，它们之间的关系是剪切胡克定律变形现象1任意两圆周线之间的距离保持不变.2纵线变为斜线.3圆周线的形状和大小没有任何改变4径向直线仍然保持为直线.TT§8-4圆轴扭转时的应力和变形1.实心圆轴横截面上的应力圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，大小和形状不变，半径仍保持为直线，且相邻横截面间的距离保持不变.平面假设推论1.横截面上不产生正应力.(杆件的长度不变.)2.横截面上产生剪应力.(纵向线变为斜线，横截面关于纵轴扭转.)3.剪应力的分布不是均匀分布.理论分析与拉压杆问题相比，圆轴扭转问题的载荷和变形都要复杂一些，因此理论分析必须包含三类条件。三类条件变形几何关系物理关系静力关系(1)变形几何关系变形几何关系单位长度的扭转角由我们注意到因此圆轴横截面上的切应变沿半径ρ方向线性变化，在圆心处为零，在外表面达到最大值。(2)物理关系O已知剪切胡克定律物理关系(3)静力关系极惯性矩GIP—抗扭刚度T扭转切应力的表达式Wt——

扭转截面模量TTD实心圆截面空心圆截面OdrrDdrrOd2.圆截面轴的扭转变形-扭转角j如前所述，已知因此，单元长度dx上的微分扭转角为

gMe

Me

jdjgD'MxMxO1O2ababdxDA对于仅在两端受外力偶矩作用的圆截面轴扭转刚度整个轴长l上的扭转角为(单位：rad)gMe

Me

j例8-2

如图所示，一直径为d的实心圆轴和另一外径为内径2倍的空心圆轴（外径为d1）受相同的扭矩T作用，为使两根轴的最大切应力相等，问空心圆轴截面的面积应为实心圆轴截面面积的百分之多少？Tdd1d1/2TTd1.实心圆轴的最大切应力.解:2.空心圆轴的最大切应力.d1d1/2T欲使即解得空心圆轴截面面积两圆轴截面面积之比在同等扭转强度的条件下，空心圆轴截面面积只有实心圆轴截面面积的78.18%，所以空心圆轴较为合理。例8-3

如图所示，由两种不同材料制成的套管组合圆轴受扭矩T作用。外套管的外半径为r1，切变模量为G1，内圆轴的半径为r2，切变模量为G2，设两层材料的界面紧密结合不会相对错动，求两种材料横截面上的最大切应力。lr1r2TTlr1r2TTT1T2由静力关系解:界面不发生错动由轴的变形公式（a）（b）（c）（d）将(c)式代入(b)可得联立求解(a)式和(d)式可得由最大切应力公式有其中对于等截面圆轴:强度分析的三类问题(1)校核强度(2)设计横截面直径(3)计算许用扭矩1.强度条件§8-5圆轴扭转的强度条件和刚度条件2.刚度条件对于等截面圆杆对于精密机械上的轴对于一般传动轴单位:/m12345Me1Me2Me3Me4Me5例8-4

如图所示传动轴，已知其转速n=200r/min，主动轮2传递的功率为N2=80马力，其余从动轮传递的功率分别为N1=25马力、N3=15马力、N4=30马力及N5=10马力。若材料的许用切应力[t]=20MPa，单位长度容许扭转角[q]=0.5o/m，切变模量G=8.2×104MPa，试确定此轴的直径.ⅠⅡⅢⅣ1.计算扭力矩.解:n=200r/min，N1=25马力、N2=80马力、N3=15马力、N4=30马力、N5=10马力Me2ⅠⅡMe1x12Me1Ⅰ1TⅠTⅡx5Me5ⅣxTⅣ2.计算各段任意截面上的扭矩.TⅢ5