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文档简介
2023年中考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.将抛物线向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的抛物线的函数表达式为()A. B.C. D.2.如图,矩形OABC有两边在坐标轴上,点D、E分别为AB、BC的中点,反比例函数y=(x<0)的图象经过点D、E.若△BDE的面积为1,则k的值是()A.﹣8 B.﹣4 C.4 D.83.如图,△ABC中,∠B=70°,则∠BAC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时,∠CAE的度数是()A.30° B.40° C.50° D.60°4.如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形,转动这个四边形,使它形状改变,当,时,等于()A. B. C. D.5.下列运算正确的是()A.x2•x3=x6 B.x2+x2=2x4C.(﹣2x)2=4x2 D.(a+b)2=a2+b26.上体育课时,小明5次投掷实心球的成绩如下表所示,则这组数据的众数与中位数分别是()12345成绩(m)8.28.08.27.57.8A.8.2,8.2 B.8.0,8.2 C.8.2,7.8 D.8.2,8.07.将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小为()A.10° B.15° C.20° D.25°8.如图,共有12个大不相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分.现从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,则能构成这个正方体的表面展开图的概率是()A. B. C. D.9.将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中,这些球除汉字外无其他差别,每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球.两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是()A. B. C. D.10.如图,把△ABC剪成三部分,边AB,BC,AC放在同一直线上,点O都落在直线MN上,直线MN∥AB,则点O是△ABC的()A.外心 B.内心 C.三条中线的交点 D.三条高的交点二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图△EDB由△ABC绕点B逆时针旋转而来,D点落在AC上,DE交AB于点F,若AB=AC,DB=BF,则AF与BF的比值为_____.12.如图,正△ABC的边长为2,点A、B在半径为2的圆上,点C在圆内,将正ΔABC绕点A逆时针针旋转,当点C第一次落在圆上时,旋转角的正切值为_______________13.已知⊙O的面积为9πcm2,若点O到直线L的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是_____.14.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,点OAC的中点,点D在A射线BO上,连接OE,EC,若AB=4,则OE的最小值为_____.15.为参加2018年“宜宾市初中毕业生升学体育考试”,小聪同学每天进行立定跳远练习,并记录下其中7天的最好成绩(单位:m)分别为:2.21,2.12,2.1,2.39,2.1,2.40,2.1.这组数据的中位数和众数分别是_____.16.如图,⊙O的半径为5cm,圆心O到AB的距离为3cm,则弦AB长为_____cm.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图所示,其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米,山顶B处的海拔高度约为1400米,由B处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°,若在A、C两地间打通一隧道,求隧道最短为多少米(结果取整数,参考数据≈1.732)18.(8分)某校计划购买篮球、排球共20个.购买2个篮球,3个排球,共需花费190元;购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同.篮球和排球的单价各是多少元?若购买篮球不少于8个,所需费用总额不超过800元.请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案.19.(8分)图1和图2中,优弧纸片所在⊙O的半径为2,AB=2,点P为优弧上一点(点P不与A,B重合),将图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.发现:(1)点O到弦AB的距离是,当BP经过点O时,∠ABA′=;(2)当BA′与⊙O相切时,如图2,求折痕的长.拓展:把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁,得到半圆形纸片,点P(不与点M,N重合)为半圆上一点,将圆形沿NP折叠,分别得到点M,O的对称点A′,O′,设∠MNP=α.(1)当α=15°时,过点A′作A′C∥MN,如图3,判断A′C与半圆O的位置关系,并说明理由;(2)如图4,当α=°时,NA′与半圆O相切,当α=°时,点O′落在上.(3)当线段NO′与半圆O只有一个公共点N时,直接写出β的取值范围.20.(8分)某超市开展早市促销活动,为早到的顾客准备一份简易早餐,餐品为四样A:菜包、B:面包、C:鸡蛋、D:油条.超市约定:随机发放,早餐一人一份,一份两样,一样一个.(1)按约定,“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是事件(填“随机”、“必然”或“不可能”);(2)请用列表或画树状图的方法,求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率.21.(8分)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年,该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完;2016年,这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒,该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完,礼盒的售价均为60元/盒.(1)2014年这种礼盒的进价是多少元/盒?(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同,问年增长率是多少?22.(10分)甲、乙两个人做游戏:在一个不透明的口袋中装有1张相同的纸牌,它们分别标有数字1,2,3,1.从中随机摸出一张纸牌然后放回,再随机摸出一张纸牌,若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数,则甲胜;否则乙胜.这个游戏对双方公平吗?请列表格或画树状图说明理由.23.(12分)如图,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好.此时,路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米.(结果保留根号)24.如图,在平行四边形ABCD中,AD>AB.(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E,AF⊥BE,垂足为点O,交BC于点F,连接EF.求证:四边形ABFE为菱形.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、A【解析】
根据二次函数的平移规律即可得出.【详解】解:向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得的抛物线的函数表达式为故答案为:A.【点睛】本题考查了二次函数的平移,解题的关键是熟知二次函数的平移规律.2、B【解析】
根据反比例函数的图象和性质结合矩形和三角形面积解答.【详解】解:作,连接.∵四边形AHEB,四边形ECOH都是矩形,BE=EC,∴故选B.【点睛】此题重点考查学生对反比例函数图象和性质的理解,熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键.3、C【解析】
由三角形内角和定理可得∠ACB=80°,由旋转的性质可得AC=CE,∠ACE=∠ACB=80°,由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°.【详解】∵∠B=70°,∠BAC=30°∴∠ACB=80°∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.∴AC=CE,∠ACE=∠ACB=80°∴∠CAE=∠AEC=50°故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰三角形的性质,熟练运用旋转的性质是本题的关键.4、B【解析】
首先连接AC,由将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD,AB=1,,易得△ABC是等边三角形,即可得到答案.【详解】连接AC,
∵将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形ABCD,
∴AB=BC,
∵,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=1.
故选:B.【点睛】本题考点:菱形的性质.5、C【解析】
根据同底数幂的法则、合并同类项的法则、积的乘方法则、完全平方公式逐一进行计算即可.【详解】A、x2•x3=x5,故A选项错误;B、x2+x2=2x2,故B选项错误;C、(﹣2x)2=4x2,故C选项正确;D、(a+b)2=a2+2ab+b2,故D选项错误,故选C.【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式,熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键6、D【解析】
解:按从小到大的顺序排列小明5次投球的成绩:7.5,7.8,8.2,8.1,8.1.其中8.1出现1次,出现次数最多,8.2排在第三,∴这组数据的众数与中位数分别是:8.1,8.2.故选D.【点睛】本题考查众数;中位数.7、A【解析】
先根据∠CDE=40°,得出∠CED=50°,再根据DE∥AF,即可得到∠CAF=50°,最后根据∠BAC=60°,即可得出∠BAF的大小.【详解】由图可得,∠CDE=40°,∠C=90°,∴∠CED=50°,又∵DE∥AF,∴∠CAF=50°,∵∠BAC=60°,∴∠BAF=60°−50°=10°,故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质,熟练掌握这一点是解题的关键.8、D【解析】
由正方体表面展开图的形状可知,此正方体还缺一个上盖,故应在图中四块相连的空白正方形中选一块,再根据概率公式解答即可.【详解】因为共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的表面展开图的一部分,所以剩下7个小正方形.在其余的7个小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的小正方形有4个,因此先从其余的小正方形中任取一个涂上阴影,能构成这个正方体的表面展开图的概率是.故选D.【点睛】本题考查了概率公式,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比,掌握概率公式是本题的关键.9、B【解析】
根据简单概率的计算公式即可得解.【详解】一共四个小球,随机摸出一球,不放回;再随机摸出一球一共有12中可能,其中能组成孔孟的有2种,所以两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是.故选B.考点:简单概率计算.10、B【解析】
利用平行线间的距离相等,可知点到、、的距离相等,然后可作出判断.【详解】解:如图,过点作于,于,于.图1,(夹在平行线间的距离相等).如图:过点作于,作于E,作于.由题意可知:,,,∴,∴图中的点是三角形三个内角的平分线的交点,点是的内心,故选B.【点睛】本题考查平行线间的距离,角平分线定理,三角形的内心,解题的关键是判断出.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、5【解析】
先利用旋转的性质得到BC=BD,∠C=∠EDB,∠A=∠E,∠CBD=∠ABE,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明∠ABD=∠A,则BD=AD,然后证明△BDC∽△ABC,则利用相似比得到BC:AB=CD:BC,即BF:(AF+BF)=AF:BF,最后利用解方程求出AF与BF的比值.【详解】∵如图△EDB由△ABC绕点B逆时针旋转而来,D点落在AC上,∴BC=BD,∠C=∠EDB,∠A=∠E,∠CBD=∠ABE,∵∠ABE=∠ADF,∴∠CBD=∠ADF,∵DB=BF,∴BF=BD=BC,而∠C=∠EDB,∴∠CBD=∠ABD,∴∠ABC=∠C=2∠ABD,∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠ABD=∠A,∴BD=AD,∴CD=AF,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=∠BDC,∴△BDC∽△ABC,∴BC:AB=CD:BC,即BF:(AF+BF)=AF:BF,整理得AF2+BF∙AF-BF2=0,∴AF=﹣1+52BF,即AF与BF的比值为【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质,熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键.12、3【解析】
作辅助线,首先求出∠DAC的大小,进而求出旋转的角度,即可得出答案.【详解】如图,分别连接OA、OB、OD;∵OA=OB=2,AB=2,∴△OAB是等腰直角三角形,∴∠OAB=45°;同理可证:∠OAD=45°,∴∠DAB=90°;∵∠CAB=60°,∴∠DAC=90°−60°=30°,∴旋转角的正切值是33故答案为:33【点睛】此题考查等边三角形的性质,旋转的性质,点与圆的位置关系,解直角三角形,解题关键在于作辅助线.13、相离【解析】
设圆O的半径是r,根据圆的面积公式求出半径,再和点0到直线l的距离π比较即可.【详解】设圆O的半径是r,则πr2=9π,∴r=3,∵点0到直线l的距离为π,∵3<π,即:r<d,∴直线l与⊙O的位置关系是相离,故答案为:相离.【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握,解此题的关键是知道当r<d时相离;当r=d时相切;当r>d时相交.14、1【解析】
根据等边三角形的性质可得OC=AC,∠ABD=30°,根据“SAS”可证△ABD≌△ACE,可得∠ACE=30°=∠ABD,当OE⊥EC时,OE的长度最小,根据直角三角形的性质可求OE的最小值.【详解】解:∵△ABC的等边三角形,点O是AC的中点,∴OC=AC,∠ABD=30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)∴∠ACE=30°=∠ABD当OE⊥EC时,OE的长度最小,∵∠OEC=90°,∠ACE=30°∴OE最小值=OC=AB=1,故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.15、2.40,2.1.【解析】∵把7天的成绩从小到大排列为:2.12,2.21,2.39,2.40,2.1,2.1,2.1.∴它们的中位数为2.40,众数为2.1.故答案为2.40,2.1.点睛:本题考查了中位数和众数的求法,如果一组数据有奇数个,那么把这组数据从小到大排列后,排在中间位置的数是这组数据的中位数;如果一组数据有偶数个,那么把这组数据从小到大排列后,排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数.16、1cm【解析】
首先根据题意画出图形,然后连接OA,根据垂径定理得到OC平分AB,即AC=BC,而在Rt△OAC中,根据勾股数得到AC=4,这样即可得到AB的长.【详解】解:如图,连接OA,则OA=5,OC=3,OC⊥AB,∴AC=BC,∴在Rt△OAC中,AC==4,∴AB=2AC=1.故答案为1.【点睛】本题考查垂径定理;勾股定理.三、解答题(共8题,共72分)17、隧道最短为1093米.【解析】【分析】作BD⊥AC于D,利用直角三角形的性质和三角函数解答即可.【详解】如图,作BD⊥AC于D,由题意可得:BD=1400﹣1000=400(米),∠BAC=30°,∠BCA=45°,在Rt△ABD中,∵tan30°=,即,∴AD=400(米),在Rt△BCD中,∵tan45°=,即,∴CD=400(米),∴AC=AD+CD=400+400≈1092.8≈1093(米),答:隧道最短为1093米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.18、(1)篮球每个50元,排球每个30元.(2)满足题意的方案有三种:①购买篮球8个,排球12个;②购买篮球9,排球11个;③购买篮球2个,排球2个;方案①最省钱【解析】试题分析:(1)设篮球每个x元,排球每个y元,根据费用可得等量关系为:购买2个篮球,3个排球,共需花费190元;购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同,列方程求解即可;(2)不等关系为:购买足球和篮球的总费用不超过1元,列式求得解集后得到相应整数解,从而求解.试题解析:解:(1)设篮球每个x元,排球每个y元,依题意,得:解得.答:篮球每个50元,排球每个30元.(2)设购买篮球m个,则购买排球(20-m)个,依题意,得:50m+30(20-m)≤1.解得:m≤2.又∵m≥8,∴8≤m≤2.∵篮球的个数必须为整数,∴只能取8、9、2.∴满足题意的方案有三种:①购买篮球8个,排球12个,费用为760元;②购买篮球9,排球11个,费用为780元;③购买篮球2个,排球2个,费用为1元.以上三个方案中,方案①最省钱.点睛:本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用;得到相应总费用的关系式是解答本题的关键.19、发现:(1)1,60°;(2)2;拓展:(1)相切,理由详见解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】
发现:(1)利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离;利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′.(2)根据切线的性质得到∠OBA′=90°,从而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,进而求出∠OBP=30°.过点O作OG⊥BP,垂足为G,容易求出OG、BG的长,根据垂径定理就可求出折痕的长.拓展:(1)过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C与半圆相切;(2)当NA′与半圆相切时,可知ON⊥A′N,则可知α=45°,当O′在时,连接MO′,则可知NO′=MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°<α<30°或45°≤α<90°.【详解】发现:(1)过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图1所示,∵⊙O的半径为2,AB=2,∴OH==在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠,得到点A的对称点A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)过点O作OG⊥BP,垂足为G,如图2所示.∵BA′与⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=OB=1.∴BG=.∵OG⊥BP,∴BG=PG=.∴BP=2.∴折痕的长为2拓展:(1)相切.分别过A'、O作A'H⊥MN于点H,OD⊥A'C于点D.如图3所示,∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=A'N=MN=2∴A'C与半圆(2)当NA′与半圆O相切时,则ON⊥NA′,∴∠ONA′=2α=90°,∴α=45当O′在上时,连接MO′,则可知NO′=MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案为:45°;30°.(3)∵点P,M不重合,∴α>0,由(2)可知当α增大到30°时,点O′在半圆上,∴当0°<α<30°时点O′在半圆内,线段NO′与半圆只有一个公共点B;当α增大到45°时NA′与半圆相切,即线段NO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时,点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合,∴α<90°,∴当45°≤α<90°线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识,正确的作出辅助线是解题的关键.20、(1)不可能;(2).【解析】
(1)利用确定事件和随机事件的定义进行判断;(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数,然后根据概率公式计算.【详解】(1)某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件;故答案为不可能;(2)画树状图:共有12种等可能的结果数,其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2,所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率=.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.21、(1)35元/盒;(2)20%.【解析】
试题分析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设年增长率为m,根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量,再根据2014年的销售利润×(1+增长率)2=2016年的销售利润,即可得出关于m的一元二次方程,解之即可得出结论.试题解析:(1)设2014年这种礼盒的进价为x元/盒,则2016年这种礼盒的进价为(x﹣11)元/盒,根据题意得:,解得:x=35,经检验,x=35是原方程的解.答:2014年这种礼盒的进价是35元/盒.(2)设年增长率为m,2014年的销售数量为3500÷35=100(盒).
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