北航水力学课件s4 第四章理想流体动力学及恒定平面势流

理想流体-----力与运动的关系通常的流体粘性不为零，在所考虑的问题中，若粘性的作用很小可忽略时，可近似看为理想流体。这意味着粘性带来的能量损失或阻力可忽略。理想流体：粘性为零的流体。理想流体也称为无粘流体。本章：1、推导理想流体的欧拉运动微分方程

2、伯努利方程的推导，以及它的意义和应用

3、理想流体中的平面势流问题第四章理想流体动力学理想流体的运动方程---欧拉方程第一节欧拉运动微分方程设在运动的理想流体中，分析一微小正交六面体在某一瞬间的受力情况和运动情况，如图所示。六面体各边分别与各坐标轴平行，边长分别为。设六面体形心M的坐标为x,y,z,在所考虑的瞬间，M点上动压强为p,流速为u，流体密度为，所受的单位质量力为由于理想流体没有粘滞性，不存在切应力，表面力只有动压强，动压强方向总是沿着作用面的内法线方向，大小只是位置坐标和时间的函数，即

在x轴向上所受的表面力和质量力分别为流体运动时，有加速度，根据牛顿第二定律，则有：和整理得，同理可得，以上就是理想流体的运动方程，也称为欧拉方程

向量形式为其中，为哈密顿算子当时，欧拉运动微分方程转变为流体静力学中的欧拉平衡微分方程式。也就是说欧拉平衡微分方程式是欧拉平衡微分方程式的特例。4.2.1沿流线的伯努利方程和在重力场中的伯努利方程第二节理想流体恒定元流的伯努利方程由欧拉运动微分方程，第二节理想流体恒定元流的伯努利方程流动满足以下条件:理想流体；流体不可压缩，密度为常量；恒定流动；质量力为有势力。由上式得，沿流线积分这就是理想流体中，沿流线的伯努利积分沿不同的流线，积分常数可能不同若作用于流体上的质量力只有重力，重力是有势力，则因此：积分得：代入得对于同一条流线上的任意两点应用以上方程，则上式可以写为4.2.2由动能定理推导理想流体的伯努利方程

推导过程同学们自学本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。4.3.1沿流线的伯努利方程的水力学意义速度水头/高度

压强水头/高度

位置水头/高度

总水头/高度

动能压力势能重力势能机械能测压管水头/高度

第三节元流伯努利方程的意义和应用水力学意义：沿流线机械能等于常数沿流线总水头不变理想流体恒定元流伯努利方程的物理意义：

元流各过流断面上单位重力流体所具有的机械能（位能、压能、动能之和）沿流程保持不变，同时，伯努利方程也表明了元流在不同过流断面上单位重力流体所具有的位能、压能、动能之间可以相互转化的关系。

伯努利方程是物质运动中普遍的能量既可以转化又要守恒的原理在流体力学中的特殊表示形式。

设H不变，流动定常，不考虑粘性，假设管道截面流速分布均匀4.3.2元流伯努利方程的几何意义理想流体恒定元流伯努利方程的几何意义：

元流各过流断面上总水头H（位置水头、压强水头、速度水头之和）沿流程保持不变（守恒），同时，亦表明了元流在不同过流断面上位置水头、压强水头、速度水头之间可以相互转化。

流动流体中的测压管（也称为静压管）静压（staticpressure）相对流体静止管口段垂直流动方向放置测压管得到的压强水头4.3.3如何测量能量------测压管和皮托管也称为静压毕托管

距A点足够远(3d)B处：有一个或多个小孔，可不计速度失真位于测速管前缘点A处：开个小孔头部球形的细长柱状物体，微弱地改变原来流速分布。A、B两点：分别连接到压力计两端QA、B位于同一流线上，由伯努利方程：A：VA=B：VB=0，驻点V由A与C点，B与C点的静压强分布规律：实际应用中，由于流体具有粘性，能量转换时有损失；探头端点处小孔有一定面积，反应的实际上是平均压强；以及毕托管放入流体时会引起流场的扰动，等等因素【例题】[book4-1]物体绕流如图所示，上游无穷远处流速为压强为的水流受到迎面物体的障碍后，在物体表面上的顶冲点S处的流速减至零，压强升高，称S点为滞流点或驻点。求滞流点S处的压强。

物体绕流解：设滞流点S处的压强为，粘性作用可以忽略。根据通过S点的流线上伯努利方程式，有将代入上式并整理，得故滞流点S处的压强

无旋流动与有势流动-流速存在势函数，在数学上是等价的。引入势流的意义：使问题简化。波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流）等等可以看为势流。第四节恒定平面势流的流速势函数和流函数理想流体中才可能存在有势流动，具有粘性的实际流体不会是有势流动。但粘滞性对流动的影响很微小时，影响可以忽略。--机械能守恒以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价

由无旋流的条件→涡量或转动角速度即①4.4.1流速势函数也即称为势函数，也称为速度势函数

因为①，则可引入一个标量函数，满足即物理意义：无旋任意回路做功为零考虑平面流场中的连续方程，即上式化为：即或叫拉普拉斯算子25在平面势流中，除流速势以外，还有一个标量函数--流函数二元流动的流线方程为：

4.4.2流函数即不可压缩流体平面流动的连续性方程为：

上式为使能成为某函数的全微分的充分和必要条件26函数的全微分为积分为函数称为流函数。它的全微分可写成所以，流函数的重要性质1、等流函数线为流线即可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。3、平面势流中，流函数与流速势函数一样，也满足拉普拉斯方程得，满足拉普拉斯方程可以得到流

网4.4.3流网及其特性二维不可压缩势流中存在两族曲线，即等线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构成流网。两族曲线所构成的正交网络，称为流网等

线和速度矢量垂直，或者说，等线与等Ψ线（流线）垂直，流网的特征：【例题】

求：（1）判断该流场是否存在速度势函数，

若存在请给出并画出等势线；（2）判断该流场是否存在流函数，

若存在请给出并画出流线图。

已知90度角