高等数学2半期考试复习打印

向量代数与空间解析几何多元微分学及其应用重积分高数（下）半期复习重点第8章向量代数与空间解析几何

本章以矢量代数为工具，运用形数结合的方法，研究空间的曲面和曲线，同时重点研究了平面和直线。一基本要求：1.正确理解矢量概念，熟练掌握矢量的坐标表示式、其代数运算及两个矢量相互平行、垂直的条件或其夹角的求法。2.平面方程四形式3.直线方程四形式4.点、直线、平面间的位置关系5.平面与平面的位置关系6.直线与直线的位置关系7.掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影方程。二典型例子矢量坐标表示既有大小又有方向的量模及方向角方向余弦一基本要求1.矢量运算及坐标表示xzyn={A,B,C}M(a,b,d)A(x–a)+B(y–b)+C(z–d)=0Ax+By+Cz+D=0bca(1)

点法式:(2)

一般式.(3)

截距式：(4)

三点式：0其中D=–Aa–Bb–Cd2.平面方程(1)标准式：S={m,n,p}M(a.,b,c)LS(2)参数式:x=a+mty=b+ntz=c+pt(4)两点式:AB.(3)一般式L.L3.直线方程(1)点到平面的距离(3)直线平行于平面.(2)

点到直线的距离MdNlMdlN.记.4.点、直线、平面的位置关系（用解析法判断）nss(4)直线在平面内(5)直线垂直于平面(6)直线与平面的夹角lll....N4.点、直线、平面的位置关系（用解析法判断）.sssnnn(1)两个平面垂直(2)两个平面平行(3)两个平面重合已知两个平面..5.平面与平面的位置关系(4)两个平面夹角为(5)两个平行平面间的距离为d已知两个平面d.5.平面与平面的位置关系.12n1n2..已知两条直线(1)两条直线共面(2)两条直线的夹角(3)两条平行直线的距离d(4)两条异面直线间的最短距离dABdABA..B6.直线与直线的位置关系

d..7.掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影方程。（以例子在下面说明）曲面方程的定义：空间曲面7.掌握空间曲线及曲面知识；会建立旋转曲面方程及空间曲线在坐标面上的投影方程。研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.[1]旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴.方程特点:（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面[2]柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之为柱面.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.从柱面方程看柱面的特征：(1)平面(3)抛物柱面(4)椭圆柱面(2)圆柱面[3]二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面（3）马鞍面（4）单叶双曲面（5）圆锥面空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参数方程如图空间曲线一般方程为参数方程为[3]空间曲线在坐标面上的投影消去变量z后得：设空间曲线的一般方程：曲线在面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面[4]空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面1,2,3垂直........1.填空3.y+z=1.解：.M解：lN(2,–3,1)d.......(p,q同号)(p,q同号)椭球面双叶双曲面二次锥面单叶双曲面双曲抛物面椭圆抛物面相交...M0M垂面方程为2o求出L1与此平面的交点M：..L=t解：L12.1o过M0作L1的垂面，dL1L2方法I思路：1o

过L1做平面

，使//L2.2o

点ML2,,点M到平面的距离即为d.M(2)解：..先求平面

的法矢量：取点M(2,3,–4)L2,,.n方法II思路：.解：L1L2MN利用混合积的几何意义：所求的d就是三矢量构成的平行六面体的高....(2)(3)思路I：因为：(1)

它们共面.(2)

它们不平行.(L2平行于已知平面，但显然L1不平行于

.)相交。问题：L2与L1相交吗？求直线的一般式方程.21L1L2.M0具体解答如下：nM1L1L2M0M1解：.思路I：求直线的一般式方程.sn21(3).思路II：求直线的标准式方程.L1从思路I的分析知：..L2如图：.n21解：(3).3解由题设条件得解得4解所求投影直线方程为5解由于高度不变,故所求旋转曲面方程为一重点与难点1.理解多元函数的极限、连续、偏导数、全微分等概念练习理解它们之间的关系(七框图)(有关七框图的提问).2.熟练掌握多元复合函数的一阶、二阶偏导数的求法；3.掌握隐函数的求导法则。(1)一个方程确定的隐函数*(2)方程组确定的隐函数4.掌握空间曲线的切线及法平面的求法。5.掌握空间曲面的切平面及法线的求法。6.掌握二元函数极值、给定区域上的最值、及条件极值的求法。7.理解方向导数与梯度的概念和计算方法，以及二者的关系。二典型例题(8个)三课堂练习1.求偏导、求全微分(4个)2.计算(5个)第9章多元函数微分学1.二元函数的基本概念..逆否命题：称二元函数z=f(x,y)极限：即A为f(x,y)当PP0时的(二重)极限。连续：在点P0(x0,y0)连续.一重点与难点.

偏导数：..全微分：..o偏导数的几何意义..00不存在0不存在不存在都不连续。(2)在x轴、y轴以外连续.(1)连续.二元函数的极限、连续及偏导数练习:.不存在不存在....003

将二元函数z=f(x

,y)在点(x,y)的以下七个命题填入框图：（1）有定义;（2）有极限;（3）连续;（4）偏导存在;（5）方向导数存在;（6）偏导连续;（7）可微.（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）问题：1.成立的怎么证明？2.箭头是否可逆？举例.3.没有箭头意味什么？七框图充分答：有关七框图的提问(7个).不一定。..不一定。一定。.4..不一定。.？证毕..6.不一定。..它在点(0,0)的任何邻域中都无界，7.3.隐函数的求导法则..(1)

一个方程确定的隐函数.且3.隐函数的求导..(1)

一个方程确定的隐函数法则3.隐函数..*(2)

方程组确定的隐函数的求导法则4.空间曲线的切线及法平面空间曲线L............5.空间曲面的切平面及法线曲面S的方程.........6.

二元函数极值的求法A<0(或C<0),A>0(或C>0),待定。.f(M0)为极大值。f(M0)为极小值。.求f(x,y)在给定区域上的最大值和最小值求在区域内的驻点，及边界上的最值嫌疑点；择其最大者为最大值，最小者为最小值。求u=f(x,y,z)的条件极值:7.方向导数与梯度的概念它是函数在一点处沿给定方向的变化率。方向导数是单向导数：方向导数的计算公式：则.梯度是个向量。其模是该点各方向导数的最大值。梯度的计算公式：.方向导数是个数。其方向,是函数在该点的方向导数取得最大值的方向；二.典型例题例1.证明：因其值依赖于k,

所以原极限不存在。证明：故函数在全平面连续。例2.解：这是偏导数的几何意义问题。.例3.设所成角为，..例4.解：联立这三个方程，=–2解得点：.多元复合函数偏导数的求法解：..例6.解：..解：曲线L在点P(1,–2,1)处切向量为:其方向余弦...例7.例8.解：=0=0得驻点：x=1,y=–1代入原式得在点(1,–1,–2)处，在点(1,–1,6)处，..注：几何上也易解。原方程可化为球面..由三1.求偏导、求全微分.三2.计算：聚点：D...沿x轴正方向l的方向导数与偏导数的区别：.沿x轴正方向的方向导数与偏导数的关系：.其中大于零；其中x可以大于零，也可以小于零。三1.求导解答(1)解：=0=0(2)解：证毕..解：(3).解：(4).解：.这是偏导数的几何意义问题。设所成角为，三2.计算解答(1)解：.计算解答(2)计算解答(3)解：.同理：(4)解：.(5)ABC结论(1,2)(2,1)(–1,–2)(–2,–1)6612>0z(1,2)非极值12126<0极小值z(2,1)=–28–6–6–12>0z(–1,–2)非极值–12–12–6<0极大值z(–2,–1)=28列表分析：第10章1.熟练掌握二重积分的极坐标2.会改变二重积分的积分次序3.熟练掌握用对称性计算重积分4.熟练掌握三重积分柱坐标1.设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4,则在极坐标系下先对r积分的二次积分为__________.2.若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分化成累次积分为3.计算解：积分区域关于x,y轴及原点对称，所以4.求其中D是由圆所围成的平面区域(如图).解:令

由对称性注:对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(04数三)5.

设f(x)为连续函数，(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.(04数一)解：交换积分次序，得

从而有

故应选(B)6.计算二重积分解：7.

计算二重积分其中(05数二、三)解：如图,将D分成D1与D2两部分.

解