自动控制原理2

1本章重点线性系统微分方程的建立；运用拉氏变换法求解线性微分方程；传递函数的概念和性质；传递函数和微分方程之间的关系；结构图的绘制及其等效变换；结构图和信号流图的关系；梅逊公式。2本章难点运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程；(2)建立系统的结构图或信号流图；(3)结构图和信号流图等效变换的灵活运用；(4)建立系统的动态方程。3第二章线性系统的数学模型物理模型—理想化的物理系统数学模型—物理模型的数学描述建模——建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型。

建模的线性化问题

两种基本方法：机理分析法和实验辨识法。求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性4§2.1线性系统的输入—输出时间函数描述§2.2线性系统的输入—输出传递函数描述§2.3典型环节的数学模型§2.4控制系统的结构图及其等效变换§2.5自动控制系统的传递函数第二章线性系统的数学模型5第二章线性系统的数学模型§2.1线性系统的输入—输出时间函数描述

系统的输入—输出描述：是一种外部描述，目的在于通过该数学模型确定被控制量与给定量或扰动量之间的关系。一、列写微分方程法（机理分析法）1.线性元件的微分方程(1)确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进一些中间变量。(2)根据物理或化学定律，列出微分方程。(3)消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程（标准形式）。6

微分方程中含有时间、输出量、输入量及它们的各阶导数。

微分方程又称为动态方程或运动方程。系统的阶数微分方程的阶数微分方程中最高阶导数项的阶数7负载效应的概念

单个元件不具有、而若干个元件聚在一起时所具有的某些现象，称为负载效应。例电阻电感电容组合谐振现象8

单输入—单输出线性定常系统的微分方程式：系统的输入量；系统的输出量；系统的结构参数9

用解析法列写微分方程的一般步骤：分析系统的原理，确定系统和各元件的输入量和输出量；根据各元件所遵循的基本定律列写微分方程组，同时要注意负载效应的影响；消去中间变量，求出描述系统输入量与输出量关系的微分方程，该方程只含有系统的输入、输出及其各阶导数；10对微分方程进行整理和化简，输出变量及其各阶导数放在等号左边，输入变量及其各阶导数放在等号右边，各自都按照导数的降阶排列。112.1.1电气网络系统电气网络无源网络有源网络只含无源器件电阻电感电容包含有源器件电源放大器12电阻、电容、电感两端电压与电流的关系电阻电容电感13[例2-1]如下图所示的RLC串联电路，

为输入，

为输出，建立该电路的微分方程。14[解]假设回路电流为，如图所示。根据基尔霍夫回路电压定律，有15即这里的是中间变量，需要消去，依据：代入得：16令：再令：于是微分方程还可写为：二阶线性定常系统17[例2-2]由理想运算放大器组成的电路如图所示，-+A电压为输入量，电压为输出量。建立该电路的微分方程。18[解]理想运算放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为零。根据基尔霍夫电流定律，对A点有整理后得或一阶线性定常系统192.1.2机械系统机械系统中的三种理想化要素质量弹簧阻尼器描述机械系统20质量要素运动方程21弹性要素运动方程弹性系数22阻尼要素运动方程粘性阻尼系数23惯性要素运动方程角速度24做直线运动的物体应遵循牛顿第二定律做转动运动的物体应遵循牛顿转动定律线位移角位移力矩转动惯量25做直线运动的物体所受的摩擦力满足恒值摩擦力又称库仑摩擦力粘性摩擦力粘性阻尼系数26做转动运动的物体所受的摩擦力矩满足恒值摩擦力矩粘性摩擦力矩粘性阻尼系数27[例2-3]机械平移系统如图所示，输入量输出量写出系统的运动方程。28[解]取垂直向下为正方向，当时，物体的平衡位置为位移的零点。该物体受到四个力的作用，分别为：外力弹簧的弹力粘性摩擦力重力正方向正方向负方向负方向29根据牛顿第二定律可得：

------时物体处于平衡状态下弹簧的伸长量30整理得：二阶线性定常系统重力对物体的运动没有影响。31[例2-4]一个机械转动系统如图所示，粘性摩擦力矩负载阻力矩粘性摩擦系数主动外力矩输入量分别以和为输出量列写微分方程。32[解]根据牛顿转动定律可得其中于是又因为，于是332.1.3机电系统机电系统机械和电磁元件组合在一起并相互作用的系统称为机电系统。机械能电能相互转换与磁场有关34[例2-5]电枢控制式直流电动机系统如图所示，+-35设电枢电压为输入量，电机转速或转角为输出量，列写微分方程式。[解]列写原始方程式根据基尔霍夫电压定律得：反电动势电势系数36由以上两式得：电机轴上的转矩平衡：电机轴上的电磁转矩折算到电机轴上的等效负载转矩折算到电机轴上的等效转动惯量37电机转动惯量负载转动惯量减速器传动比38检查中间变量

和是中间变量，电机轴上的电磁转矩电枢电流电动机转矩系数39消去中间变量已得方程式消去和40令机电时间常数电枢回路电磁时间常数41则方程式可写为以电机轴角速度为输出量的微分方程式输入信号扰动二阶线性定常系统42若以为输出，则由于，则微分方程式可写为：三阶线性定常系统43根据式在静态时有负载对转速的稳态值有影响，称为负载效应。44线性系统满足叠加原理，可以将和两个输入分开研究。当时45若，则可忽略的影响，方程式可简化为电机的传递系数46当时忽略的影响，47系统的总输出为48第二章线性系统的数学模型2非线性方程的线性化

非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。在一定工作范围内进行线性化处理。将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。例：直流发电机X轴表示励磁电流Y轴表示输出电势由于存在磁路饱和，y和x呈非线性关系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒级数

49第二章线性系统的数学模型忽略高次项，然后用增量表示是比例常数。经上述处理后，就变成了线性方程。50第二章线性系统的数学模型对于具有两个自变量的非线性函数在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数。用增量表示及是比例常数。51第二章线性系统的数学模型上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化。几点注意：(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。(2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近，且变量只能在小范围内变化。(3)不同静态工作点得到的方程是不同的。(4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。(5)线性化后得到的是增量微分方程。52第二章线性系统的数学模型二、脉冲响应法（实验辩识法）描述线性定常系统的微分方程为：实验辨识方法的理论依据：C(t)=H(t)r(t)假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零，其响应和输入之间满足齐次和线性关系，即：53第二章线性系统的数学模型给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理脉冲函数的表达式为：A为脉冲面积或脉冲强度。脉冲强度A=1时的脉冲函数记为，令并求取极限，则称为单位脉冲函数。，令54第二章线性系统的数学模型零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)。55第二章线性系统的数学模型§2.2线性系统的输入—输出传递函数描述为什么采用传递函数来描述？微分方程描述不直观、求解困难。线性常微分方程经过拉氏变换，即可得到系统在复数域中的数学模型，称之为传递函数。将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数。表示其输入输出关系。56第二章线性系统的数学模型R(s)输入r(t)的像函数，即输入函数的拉氏变换；C(s)输出c(t)的像函数，即输出函数的拉氏变换。传递函数——初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。也称为频（率）域描述。

几点说明：只适用于线性定常系统。是系统的动态数学模型。分母的阶数一定高于分子的阶数。(为什么？）有惯性元件和受到功率的限制57第二章线性系统的数学模型客观物理世界的基本属性，它反映了一个基本事实：一个物理系统的输出不能完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统，若多输入多输出要采用传递函数矩阵。传递函数可以表示成有理分式，也可以表示成零极点表示的形式。也可以表示成时间常数的形式K值具有量纲也称为传递系数58第二章线性系统的数学模型7.分子分母的系数都是实数，所以如果有复数零极点则必为共轭复数。式中，59第二章线性系统的数学模型复习－拉氏变换（Laplacetransform）

拉氏变换的定义t<0时f(t)=02.几个简单的函数的拉氏变换单位阶跃指数函数60第二章线性系统的数学模型余弦函数61第二章线性系统的数学模型单位斜坡函数

3.拉氏变换的一些性质线性性质叠加性质62第二章线性系统的数学模型延迟性质像函数（复域）的微分相似定理本函数（时域）的微分63第二章线性系统的数学模型例：复域延迟性质例：已知64第二章线性系统的数学模型终值定理：有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的，且要sF(s)在虚轴（除原点）和右半平面上没有极点。初值定理：卷积定理：已知函数f(t)和g(t)，其卷积定义为65第二章线性系统的数学模型3.拉氏反变换求本函数（1）部分分式分解法极点的几种情形：都是一阶实极点。66第二章线性系统的数学模型例：已知：计算f(t)

重的一阶实极点67第二章线性系统的数学模型含有共轭极点。2.留数方法（略）

微分方程是时域中的数学模型，传递函数是采用L[]法求解微分方程时引申出来的复频域中的数学模型，它不仅可以表征系统的动态性能，而且可以用来研究系统的结构和参数变化时对系统性能的影响，是经典控制理论中最重要的模型。输入与输出之间的关系仅取决于电路的结构形式及其参数（固有特性）,与输入的具体形式无关，无论输入如何，系统都以相同的传递作用输出信息或能量。传递函数是代数式，其传递作用还经常用方框图直观的表示：传递函数的实际意义G(s)Uc(s)Ur(s)Uc(s)=G(s)Ur(s)传递函数的性质

(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。

(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。

(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。(e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）(f)传递函数一般为复变量s的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即nm。并且所有的系数均为实数。(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。

系统辨识

70第二章线性系统的数学模型§2.3典型环节的数学模型典型环节：运动规律相同，具有相同的数学模型。

一、比例环节K称为比例系数或放大系数，有时也称为环节的增益。二、惯性环节τ－时间常数，K－比例系数输出量不能立即跟随输入量变化。存在时间上的延迟。可以用τ来量度。71第二章线性系统的数学模型对惯性环节输入单位阶跃信号并且具有零初始条件时，其输出量y(t)为：72第二章线性系统的数学模型三、积分环节积分环节的动态方程为积分环节在单位阶跃输入下的响应K－比例系数，T－积分时间常数。73第二章线性系统的数学模型四、微分环节，

τ—时间常数。

纯微分

一阶微分二阶微分74第二章线性系统的数学模型输入是单位阶跃响应，即r(t)=1(t)，则输出的单位阶跃响应为：几个实际微分的例子RC串联电路τ＝RC

—时间常数75第二章线性系统的数学模型实际的比例微分电路76第二章线性系统的数学模型五振荡环节弹簧阻尼系统的传递函数为：机械旋转系统的传递函数为：RLC电路的传递函数为：振荡环节的微分方程为传递函数为：77第二章线性系统的数学模型设0<ζ<1，K=1,输入信号r(t)=1(t)，R(s)=1/s，求阶跃响应。令无阻尼自然振荡频率阻尼自然振荡频率78第二章线性系统的数学模型如果令79振荡环节的单位阶跃响应第二章线性系统的数学模型80第二章线性系统的数学模型六、纯滞后环节输出信号比输入信号迟后一段时间。c(t)=r(t-τ)τ－滞后时间常数。得到传递函数1.结构图的定义

定义:由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。

§2-4控制系统的结构图及其等效变换

一、结构图的基本概念

下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传递函数的概念后，就可迎刃而解。放大器电动机测速机urufuae+-

转速控制系统由三个环节（元件）构成，把各元件的传递函数代入相应的方框中，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。

用G(s)代替相应的元件，好处：补充了方框中各变量之间的定量关系，既能表明信号的流向，又直观的了解元件对系统性能的影响；因此，它是对系统每个元件功能和信号流向的图解表示，也就是对系统数学模型的图解表示。Ka1/keTaTms2+Tms+1KfUr(s)Uf(s)Ua(s)(s)E(s)+P34，ML＝0

2.结构图的基本组成

1）画图的4种基本元素

信号传递线是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。指向方框表示输入，从方框出来的表示输出。r(t),R(s)

分支点

表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。r(t),R(s)r(t),R(s)

方框

表示对输入信号进行的数学运算。方框中的传递函数是单向的运算算子，使得输出与输入有确定的因果关系。R(s)R(s)

U(s)U(s)G(s)C(s)R(s)C(s)=G(s)R(s)+

相加点对两个以上的信号进行代数运算，“+”号表示相加，“”号表示相减。外部信号作用于系统需通过相加点表示。2）结构图的基本作用：

(a)简单明了地表达了系统的组成和相互联系，可以方便地评价每一个元件对系统性能的影响。信号的传递严格遵照单向性原则，对于输出对输入的反作用，通过反馈支路单独表示。

(b)对结构图进行一定的代数运算和等效变换，可方便地求出整个系统的传递函数。

(c)s=0时，表示的是各变量间的静态特性，否则，动态特性。结构图的绘制步骤

(1)列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便于分析），要考虑相互间负载效应。

(2)设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。

(3)将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。

例

画出下图所示RC网络的结构图。

R

C

u1

u2

解：(1)列写各元件的原始方程式

i(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式(3)将这些方框依次连接起来得图。U2(s)1CsI(s)U1(s)﹣+U2(s)UR(s)……1RI(s)UR(s)二.结构图的基本连接形式

1.三种基本连接形式

(1)串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一个环节的输入，依次按顺序连接。

故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。G2(s)U(s)C(s)G1(s)R(s)U(s)

由图可知：U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)

消去变量U(s)得C(s)=G1(s)G2(s)R(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G2(s)U(s)C(s)

(2)并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。

由图有

C1(s)=G1(s)R(s)

C2(s)=G2(s)R(s)

R(s)C(s)G1(s)C1(s)R(s)G2(s)C2(s)R(s)+C(s)=C1(s)C2(s)

消去C1(s)和C2(s)，得

C(s)=[G1(s)G2(s)]R(s)=G(s)R(s)

故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)G1(s)R(s)G2(s)C2(s)C(s)+(3)反馈连接

连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加法时为正反馈，做减法时为负反馈。由图有C(s)=G(s)E(s)

B(s)=H(s)C(s)

E(s)=R(s)B(s)消去B(s)和E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]

R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。G(s)1G(s)H(s)R(s)C(s)定义：G(s)：前向通道传递函数

E(s)C(s)H(s)：反馈通道传递函数

C(s)B(s)H(s)=1单位反馈系统G(s)H(s)开环传递函数

E(S)B(s)R(s)C(s)G(s)H(s)B(s)E(s)+式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“-”号。2.闭环系统的常用传递函数考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。（1）控制输入下的闭环传递函数令N(s)=0有G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（2）扰动输入下的闭环传递函数令R(s)=0有

（3）两个输入量同时作用于系统的响应

G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++（4）控制输入下的误差传递函数（5）扰动输入下的误差传递函数（6）两个输入量同时作用于系统时的误差G1(s)R(s)C(s)﹣+H(s)E(s)G2(s)N(s)++3.闭环控制系统的几个特点

闭环控制系统的优点通过定量分析，更令人信服。（1）外部扰动的抑制——较好的抗干扰能力（2）系统精度有可能仅取决于反馈通道的精度（3）各传递函数具有相同的特征方程式。动态特性相同（固有属性）与输入和输出无关三、

结构图的等效变换

变换的原则：变换前后应保持信号等效。1.分支点后移GRCRGRC1/GR2.分支点前移GRCCGRCGC4.比较点前移3.比较点后移GFGRC+FRGCF+GRC+FF1/GRGC+F5.比较点互换或合并R1CR2++R3R1CR2++R3结构图的简化

对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。R1CR2+R3100引出点移动G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41101G2H1G1G3综合点移动G1G2G3H1错！G2无用功向同类移动G1102G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H1RCG1G2G3H1H2练习用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。解：方法11/G3RCG1G2G3H1H2方法2RCG1G2G3H1H2RCG1G2G3H1H21/G1

练习用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。RG1G2CG3RG1G2CG3解：RG1G2CG3RG1G2CG31/G2107§2-6信号流程图一、基本概念是一种将线性代数方程用图形表示的方法。支路有三个特点：联接有因果关系的节点；有方向性；有加权性。108二、一些术语和定义节点：表示变量或信号的点。支路：起源于一个节点，终止于另一个节点，这两个节点之间不包含或经过第三个节点。出支路：离开节点的支路。入支路：指向节点的支路。源(节)点：只有出支路的节点，对应于自变量或外部输入，如x0。汇节点：只有入支路的节点，对应于因变量，如x6

。109开通道：如果通道从某节点开始终止在另一节点上，而且通道中每个节点只经过一次，则该通道称为开通道。通道：又称路径，从一个节点出发，沿着支路的箭头方向相继经过多个节点的支路。混合节点：节点既连接入支路又连接出支路。闭通道：如果通道的终点就是通道的始点，并且通道中每个节点只经过一次，该通道称为闭通道或反馈环、回环、回路等。如果从一个节点开始，只经过一个支路又回到该节点的，称为自回环。110前向通道：在开通道中，从源节点开始到汇节点终止，而且每个节点只通过一次的通道，称为前向通道。不接触回环：如果一些回环没有任何公共节点，就称它们为不接触回环。支路传输：两个节点之间的增益。通道传输或通道增益：沿通道各支路传输的乘积。回环传输或回环增益：闭通道中各支路传输的乘积。三、信号流图的简化111混合节点的消除回路的消除自回路的消除串联支路的合并并联支路的合并112四、梅逊(Mason)公式及其应用梅逊公式为：T—从源节点到任何节点的传输；Pk—第k条前向通道的传输；Δ—信号流图的特征式ΣL1—为所有不同回环的传输之和；ΣL2—为任何两个不互不接触的回环传输的乘积之和；ΣL3—为任何三个不互不接触的回环传输的乘积之和；ΣLm—为任何m个不互不接触的回环传输的乘积之和；Δk—为余子式，即从Δ中除去与第k条前向通道Pk相接触的回环的回路增益后余下的部的特征式。113例1：系统只有一个回路增益为-G2G3H两条前向通道：其余子式其余子式114三条前向通道：回路增益：L1=-G1G2G3G4H2L2=-G1G6H2L3=-G3H1L2和L3互不接触，所以特征式为：P1=G1G2G3G4，P2=G3G4G5

P3=G1G6

115R(s)C(s)L1=–G1H1L2=–G3H3L3=–G1G2G3H3H1L4=–G4G3L5=–G1G2G3L1L2=(–G1H1)(–G3H3)=G1G3H1H3L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3(s)

G4(s)

H1(s)H3(s)

G1(s)

G2(s)

G3