精品PPT大物-第三章 振动、波动和声

第三章振动、波动和声广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化。

振动分类非线性振动线性振动受迫振动自由振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。线性振动：系统中构件的弹性服从胡克定律，运动时产生的阻尼力与广义速度（广义坐标的时间导数）的一次式成正比的振动。非线性振动：恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。自由振动：系统受初扰动后不再受外界激励时所作的振动。振动按照能量是否亏损分为阻尼振动(减幅振动)和无阻尼振动（等幅振动)；按照振动的成因又分为受迫振动和自激振动.3-1

简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其所受的回复力跟离开平衡位置的位移成正比方向相反。一、简谐振动的基本特征及其表示弹簧振子模型弹簧振子：弹簧—物体系统平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律物体—可看作质点简谐振动微分方程其通解为：简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程二、描述简谐振动的特征量1、振幅A简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。初始条件频率：单位时间内振动的次数。2、周期、频率、角频率对弹簧振子角频率周期T：物体完成一次全振动所需时间。0

是t=0时刻的位相—初位相3、位相和初位相—位相，决定谐振动物体的运动状态位相差两振动位相之差。当=2k

,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1)

,k=0,±1,±2...两振动步调相反,称反相2

超前于1

或1滞后于

2

位相差反映了两个振动不同程度的参差错落三、简谐振动的旋转矢量表示法0t=0xt+0t=toX谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4T/4例：

一质点沿x

轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0

=0.06m,

此时刻质点向x

正向运动。求此简谐振动的表达式。解取平衡位置为坐标原点。由题设T=2s，则A=0.12m由初条件x0

=0.06m，v00得简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为例

已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：方法1设振动方程为故振动方程为方法2：用旋转矢量法辅助求解。v的旋转矢量与v轴夹角表示t时刻相位由图知以弹簧振子为例谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、

简谐振动的能量一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成合振动是简谐振动,其频率仍为质点同时参与同方向同频率的谐振动:合振动:3-2

简谐振动的合成如A1=A2,则A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:合振动不是简谐振动式中随t缓变随t快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二.同方向不同频率简谐振动的合成---拍分振动合振动当21时,拍

合振动忽强忽弱的现象拍频:单位时间内强弱变化的次数

=|2-1|

xtx2tx1t三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。*四、两个相互垂直方向不同频率的简谐振动的合成如果两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系，这时合振动为有一定规则的稳定的闭合曲线，这种曲线称为利萨如图形一、阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。3-3

阻尼振动受迫振动共振阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子受阻力系统固有角频率阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比—阻力系数弱阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的准周期何为临界阻尼，过阻尼二、受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力——策动力稳定解(1)频率:等于策动力的频率(2)振幅:(3)初相:特点:稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化阻尼振动简谐振动三、共振在一定条件下,振幅出现极大值,振动剧烈的现象。1、位移共振(1)共振频率:取极大值。(2)共振振幅:2、速度共振一定条件下,速度振幅极大的现象。波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械波。声波、水波3-4机械波的产生和传播一、机械波产生的条件如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的介质二、纵波和横波横波——振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波——振动方向与传播方向相同，如声波。切变：

两个距离很近、大小相等、方向相反的平行力作用于同一物体上所引起的形变。

在物理中，横波在弹性介质中传播时，一部分介质相对相邻部分介质发生横向移动称为切变。横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。容变：拉伸和压缩形变。纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）的振动状态和能量。（介质的质点并不移动）三、波线和波面波场--波传播到的空间。波面--波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）--离波源最远的波面。波线（波射线）--代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波线波面波面波线平面波球面波波面波线波线波面四、描述波动的几个物理量振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速1、波速u在固体媒质中纵波波速为G、E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为介质的密度在固体媒质中横波波速为在同一种固体媒质中，横波波速比纵波波速小些3、波长2、波的周期、波长和频率波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需的时间，用T表示，时间的周期性。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波的数目，用表示。同一波线上相邻的位相差为2

的两质点的距离，空间的周期性。介质决定波源决定一、平面简谐波的波动方程平面简谐波简谐波的波面是平面。(可当作一维简谐波研究）3-5

波动方程一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，x轴即为某一波线设原点振动表达式：y表示该处质点偏离平衡位置的位移x为p点在x轴的坐标于是p点的振动方程：t时刻p处质点的振动状态与O处时刻质点的振动状态相同振动状态以速度u沿x轴正向传播，

时刻，P点的振动状态与O点在t=0时刻的状态或位移相同。上式表示：沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动。为p点的振动落后与原点振动的时间。同理：沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程若波源（原点）振动初位相不为零或波矢，表示在2长度内所具有的完整波的数目。“负号”表示波向x轴正向传播，“正号”表示-向x轴负向传播。二、波动方程的物理意义1、如果给定x，即x=x0tTTx0处质点的振动初相为为x0处质点落后于原点的位相为x0处质点的振动方程则y=y(t)若x0=

则x0处质点落后于原点的位相为2是波在空间上的周期性的标志2、如果给定t，即t=t0

则y=y(x)表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0

时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差XYOx1x2同一质点在相邻两时刻的振动位相差T是波在时间上的周期性的标志3.如x,t

均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形t时刻,x处的某个振动状态经过t，传播了x的距离在时间t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离x行波振动曲线与波动曲线的区别声速的测量例5已知波动方程为，其中x，y的单位为m，t的单位为s，求(1)振幅、波长、周期、波速；(2)距原点为8m和10m两点处质点振动的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔0.2s内的位相差.解(1)(2)同一时刻波线上坐标为和两点处质点振动的位相差(3)对于波线上任意一个给定点(x一定)，在时间间隔Δt内的位相差例.一平面简谐波沿x正方向传播，振幅A＝10cm，圆频率当t=1.0s时，位于x=10cm处的质点a经过平衡位置向y轴负方向运动。此时,位于x=20cm处的质点b的位移为5cm,且向y轴正方向运动。设该波波长，试求该波的波动方程。解：设该波的波动方程为：求解的关键是求出波速u及原点的初位相由题意知t=1.0s时所以XOabu取故得波动方程为得时，b点的位相只能取－（还考虑了以及的条件。）注意b点落后于a点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相取同理XOabuP例一平面简谐波在时刻的波形图如图，设频率，且此时P

点的运动方向向下，求1）该波的波函数;解：波向轴负向传播O

2）求在距原点O

为100m处质点的振动方程与振动速度表达式.P例：如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为（1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程（2）写出距P点为b的Q点的振动方程原点的振动方程波动方程原点的振动方程波动方程OPQXYuPQXOYu一、波的能量和能量密度波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波质量为在x处取一体积元质点的振动速度3-6

波的能量体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点的弹性势能为(剪切形变产生的势能）体积元内媒质质点的总能量为：1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。平衡位置处动能最大，形变也最大。2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒（能量作周期变化。波动过程不断吸收能量，不断释放能量，反应了波动过程是一个传播能量的过程）能量密度单位体积介质中所具有的波的能量。平均能量密度一个周期内能量密度的平均值。能流:单位时间内通过介质中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度波强平均能流：在一个周期内能流的平均值。能流密度（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。三、波的吸收波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为dx的介质，其强度衰减量为-dI介质的吸收系数与介质的性质和波的频率有关一、惠更斯原理惠更斯原理：介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。3-7波的叠加原理波的干涉t时刻波面

t+t时刻波面波的传播方向如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易?(若广播台、电视台都在山前侧)二、波的叠加原理各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。波传播的独立性原理或波的叠加原理：能分辨不同的声音正是这个原因两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。相干条件具有恒定的相位差振动方向相同两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为相干波源。三、波的干涉现象和规律传播到p点引起的振动分别为：在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。合成振动为：其中：对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。其中：相长干涉的条件：相消干涉的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为相长干涉相消干涉称为波程差四、驻波当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波，称为驻波。

将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮P对弦线提供一定的张力，调节刀口B的位置，就会在弦线上出现驻波。1、驻波方程函数不满足它不是行波它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。（1）、波腹与波节驻波振幅分布特点2、驻波的特点相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为：因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。（2）、驻波的位相的分布特点时间部分提供的相位对于所有的

x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。3-8声波声波：客观上是声振动在弹性介质中的传播，主观上是这种物理现象可引起人的听觉。声波：可听声频率20Hz~20000Hz

次声频率<20Hz

超声频率>20000Hz声波是纵波，可在固、液、气态中传播声的主要特征量：频率和声压一、声压、声强和声强级

1．声压：当声波在介质中传播时，介质的密度作周期性变化，稠密时压强大，稀疏时压强小，在某一时刻，介质中某一点的压强与无声波时的压强之差。若声波方程为：则可以证明：声压的幅值：2．声阻抗声阻抗是表征介质声学特性的一个重要物理量声压的单位即压强的单位N/m2,声阻抗的单位是kg.m-2.s-1。讨论：（1）声压与介质振动速度具有相同位相，（2）声压超前位移/2，（3）声压与f成正比；（4）声压一定，声阻抗与介质振动速度幅值成反比，（5）要注意声速与介质振动速度区别。3.声强：单位时间通过单位面积（与声速垂直）的平均能量，也叫能流密度。例：1000hz的痛域强度I=1W/m2在听觉区域中，声强差别很大，但人耳主观感觉差别并没有这样大。因此用声强级来表示声音强度的等级。4．声强级：例：已知两声强级之差为20dB，求两声强之比。表3-2几种声音的声强、声强级声源 声强（w/m2）声强级（dB） 引起听觉伤害的声音 100 140 炮声1 120 引起痛觉的声音 1 120 钻岩机或铆钉机 10－2 100 闹市车声 10－５

70 通常的谈话 10－6 60 耳语 10－10 20 树叶沙沙声 10－11 10二、听觉域引起人耳听觉的声波，不仅有频率范围，而且有声强范围。对每一给定的可闻频率，声强都有上下两个限值。下限值是能引起听觉的最低声强—听阈。低于下限值的声强，不能引用听觉。上限是人耳所能忍受的最高声强—痛阈。高于上限值的声强，只能引起耳的疼痛，不能产生听觉。听阈随声波频率变化的曲线—听阈曲线。痛阈随声波频率变化的曲线—痛阈曲线。由听阈曲线、痛阈曲线、20hz和20000hz线所围成的区域—听觉区域。3-9多普勒效应

当我们在火车站送别亲人和朋友的时候，望着远去的火车，我们会觉得火车也呜咽着，声音比较低沉，好像我们依依惜别的心情。而当我们接亲人的时候，进站的汽笛声仿佛也变得尖锐而高昂，也很符合我们当时的心情。同样的现象还出现在呼啸而来的警车或者救护车的警笛声中，来时尖锐急促，走时冷静低沉。这是我们的心理作用吗？

1842年，奥地利物理学家克里斯琴·多普勒在前人观察的基础上，验证了运动的声源与观察者接受到的声音音高的变化。具体说就是接近观察者的声源，声音会变尖锐，而远离观察者的物体，声音会变得低沉。多普勒这样解释这一现象：当声源朝你运动时，声波被物体的运动压缩而导致波长变短，频率升高；当物体远离的时候，声波被拉开，波长变长，频率变低。如果物体的运动速度足够大以至于这种频率的变化能够被我们的耳朵分辨出来的时候，这种变化体现在我们的耳朵当中就是声音的变高或者变低。这种由于声源和观察者之间存在相对运动，使观察者感到声调变化的现象就叫做多普勒效应。

正如多普勒指出的那样，多普勒效应不