山西省忻州市银川学校2023年高二数学理期末试题含解析

山西省忻州市银川学校2023年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.原点和点（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B略2..已知对任意实数，有，且时，，则时（）A． B．C．D．参考答案：B略3.“”是“”的A．充分不必要条件

B．必要不充分条件Ｃ．充要条件

Ｄ．既不充分又不必要条件参考答案：A4.对任意实数,直线与圆的位置关系是(

)A.相交

B.相切

C.相离

D.与K的值有关参考答案：A略5.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A．， B．， C．， D．，参考答案：A【考点】两条平行直线间的距离．【专题】直线与圆．【分析】利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．【解答】解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2∈[，]，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是，．故选：A．【点评】本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．6.“”是“方程表示椭圆”的（

）ks5uA．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B7.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(

*

).

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁参考答案：C略8.抛物线的准线方程为，则的值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略9.若随机变量，且，则（

）A.0.6 B.0.5C.0.4 D.0.3参考答案：A【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，即可得到结果．【详解】∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴对称轴是x=3．∵P（X≥5）=0.2，∴P（1＜X＜5）=1﹣2P（X≥5）=1﹣0.4=0.6．故选：A．【点睛】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．10.函数所对应的曲线在点处的切线的倾斜角为A.

B.

C.

D.参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c,若，则cosA=

参考答案：12.已知数列的前n项和满足，那么（

）A.1

B.9

C.10

D.55参考答案：A13.小明所在的高二年级共有1500名同学，现在以简单随机抽样的方式抽取30名同学来填写调查问卷，则小明被抽到的概率为

．参考答案：用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为，故答案为.

14.若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：(x－2)2＋y2＝1上，点O为坐标原点，则的最大值是

．参考答案：

设，则，．

．（其中）

15.若=1+i，i为虚数单位，则z的虚部为

．参考答案：﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由=1+i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则z的虚部可求．【解答】解：由=1+i，得=，则z的虚部为：﹣1．故答案为：﹣1．16.若中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为

．参考答案：或【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），=或，利用离心率公式，可得结论．【解答】解：∵中心在原点的双曲线的一条渐近线经过点（3，﹣4），∴=或，∴e==或．故答案为：或．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，比较基础．17.某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元），有如下表所示的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元）2.23.85.56.57.0由资料知y对x呈线性相关关系，则其回归直线方程y=bx+a为________________(其中）参考答案：y=1.23x+0.08三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数 （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合； （3）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案：【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 【专题】计算题． 【分析】（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根据T=可求出最小正周期； （2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案． （3）将2x﹣看做一个整体，根据正弦函数的性质可得，进而求出x的范围，得到答案． 【解答】解：（1）∵ ∴f（x）= = =． ∵，即函数f（x）的最小正周期为π． （2）当（5分） 即时，f（x）取最大值1（7分） 因此f（x）取最大值时x的集合是（8分） （3）f（x）=． 再由， 解得． 所以y=f（x）的单调增区间为．（12分） 【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法、正弦函数的定义域和值域和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题．19.观察下列等式：，，，，……（1）依照上述4个式子的规律，归纳出第n个等式；（2）用数学归纳法证明上述第n个等式.参考答案：(1)第个等式为（2）要证明的等式即（i）当时，等号显然成立（ii）假设时，等号成立，则当时，所以假设成立，综上，.19.解：20.如图2，在气象站台A的正西方向的B处有一台风中心，该台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响.⑴台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？参考答案：解：（1）如图，过A作AE⊥BD于E，由于台风中心在BD上移动，所以AE就是气象台距离台风中心的最短距离.在Rt⊿ABE中,AB=240,∠ABE=30°,∴AE=AB=120.所以台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是120km.（2）因为台风中心以每小时的速度沿北偏东的BD方向移动，在距离台风中心内的地方都要受到其影响,所以画以A为圆心,为半径的圆与直线BD相交于C,D两点,那么线段CD就是气象台A受到台风影响的路程.在Rt⊿ACE中,AC=130,AE=120,∴CE==50,∵AC=AD,AE⊥CD,∴CE=ED=50,∴CD=100.∴台风影响气象台的时间会持续100÷50=2(小时).略21.【题文】（本小题满分9分）在一个特定时段内，以点E为中心的10海里以内海域被设为警戒水域.点E正北40海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°且与点A相距100海里的位置B，经过2小时又测得该船已行驶到点A北偏东60°且与点A相距20海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.参考答案：（1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为10海里

则坐标平面中AB=10，AC=2A(0,0)，E(0,－4)

再由方位角可求得：B(5,5)，C(3,)

所以|BC|=

所