山西省忻州市蒋坊中学高二数学理月考试题含解析

山西省忻州市蒋坊中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D. 参考答案：B2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:β∩γ=l,l∥α,mα且m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥m

B.α∥β且α⊥γC.α⊥γ且m∥β

D.m∥β且l∥m参考答案：A略3.已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）A.

B.

C.(0,1)

D.

参考答案：C设,则,则,因为所以,,,故选C.

4.下列不等式正确的是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：A5.已知函数的最小正周期为，则该函数图象（

）A．关于点对称

B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：A6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第6幅图的蜂巢总数为（

）A．61

B．90

C．91

D．127参考答案：C7.设随机变量的分布列为,则实数的值为（

）

A．1

B．

C． D．参考答案：D8.已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是(

) A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20参考答案：C考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项的性质，可得结论．解答： 解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；a6+a10≠a16，即C错误a4+a12=a6+a10=20，即D正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键．9.下列有关命题的说法错误的是(

)A、命题“若

则”的逆否命题为：“若,则”.B、“”是“”的充分不必要条件.C、若为假命题，则、均为假命题.D、对于命题：使得.则：

均有参考答案：C略10.通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好“踢毽子运动”，计算得到统计量值k2的观测值k≈4.892，参照下表，得到的正确结论是（） P（k2≥k）0.100.050.010k2.7063.8416.635A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关” C．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性有关” D．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关” 参考答案：A【考点】独立性检验． 【专题】概率与统计． 【分析】通过计算得到统计量值k2的观测值k，参照题目中的数值表，即可得出正确的结论．【解答】解：∵计算得到统计量值k2的观测值k≈4.892＞3.841， 参照题目中的数值表，得到正确的结论是： 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关”． 故选：A． 【点评】本题考查了通过计算得到统计量值k2的观测值k，对照数表估计概率结论的应用问题，是基础题目． 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（坐标系与参数方程）在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

.参考答案：12.当双曲线M：的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．参考答案：【分析】求出双曲线离心率的表达式，求解最小值，求出m，即可求得双曲线渐近线方程．【详解】解：双曲线M：，显然，双曲线的离心率，当且仅当时取等号，此时双曲线M：，则渐近线方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题．13.(A卷）（1+的展开式中，系数最大的项是第___________ 项。参考答案：n+114.过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，已知双曲线的焦点在x轴上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点，则双曲线的离心率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略15.命题p：，的否定是：__________．参考答案：【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结论即可。【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以“，”的否定是“”【点睛】本题考查全称命题的否定形式，属于简单题。16.已知命题P：对任意的x∈R，有sinx≤1，则￢P是．参考答案：?x∈R，有sinx＞1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得命题的否定．【解答】解：∵命题P为全称命题，∴根据全称命题的否定是特称命题，得￢P：?x∈R，有sinx＞1．故答案为：：?x∈R，有sinx＞1．17.已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与x轴平行，在点（1，f（1））处切线的斜率为1，又对任意x∈R，都有x≤f'（x）恒成立．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求g（x）=12f（x）﹣4x2﹣3x﹣3在上的最大值；（Ⅲ）设h（x）=+x?lnx，若对任意x1，x2∈，都有h（x1）≥g（x2）．求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导，利用导数几何意义，导数与切线斜率的关系，联立方程即可求得b=，c=﹣a，对任意x∈R，都有x≤f'（x）恒成立，转化成ax2﹣x+﹣a≥0恒成立，则，即可求得a和c的值，求得f（x）的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，求得g（x），求导，利用二次函数的性质即可求得在上的最大值；（Ⅲ）由题意可知m≥[x﹣x2lnx]max，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求得函数的最大值，即可求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵求导f（x）=ax3+bx2+cx，f′（x）=ax2+bx+c，因为函数f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线与x轴平行，∴f′（﹣1）=0，即a﹣b+c=0，①，而f′（1）=1，即a+b+c=1，②，由①②可解得b=，c=﹣a，由对任意x∈R，x∈R，都有x≤f'（x）恒成立．即ax2﹣x+﹣a≥0恒成立．则，即，解得：a=．∴f（x）=x3+x2+x；（II）∵g（x）=12f（x）﹣4x2﹣3x﹣3=x3+4x2+3x﹣4x2﹣3x﹣3=x3﹣x2﹣3，∴求导，g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x∈[，]时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）max=g（）=﹣；当x∈[，2]时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）max=g（2）=1；因为g（2）＞g（），当x∈[，2]时，g（x）max=g（2）=1；∴g（x）在上的最大值1；（III）∵h（x）=+x?lnx，对任意x1，x2∈，都有h（x1）≥g（x2），则x∈[，2]时，都有h（x）≥g（x）max=1，∴m≥x﹣x2lnx，则m≥[x﹣x2lnx]max．令p（x）=x﹣x2lnx，≤x≤2，∴p′（x）=1﹣2xlnx﹣x，则p′（x）=0，当x∈（1，2）时，p′（x）=1﹣x﹣2xlnx＜﹣2xlnx＜0，此时p（x）单调递减；当x∈（，1）时，p′（x）=1﹣x﹣2xlnx＞﹣2xlnx＞0，此时p（x）单调递增，∴p（x）max=p（1）=1，∴m≥1，实数m的取值范围[1，+∞）．19.已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a≠0．（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值及h（x）的单调区间；（2）若对任意的x1，x2∈[1，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）对h（x）求导数，利用h′（x）=0时存在极值点，求出a的值，再利用导数讨论h（x）的单调性；（2）设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，分别求出函数f（x）在区间[1，2]的最小值与g（x）在[1，2]上的最大值，列出不等式求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵h（x）=f（x）+g（x）=2x++lnx，其定义域为（0，+∞），∴h′（x）=2﹣+；又x=1是函数h（x）的极值点，∴h'（1）=0，即3﹣a2=0，∵a＞0，∴a=；经检验，a=时，x=1是函数h（x）的极值点，∴a=；又h′（x）==，∴当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是单调减函数，x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是单调增函数；∴h（x）的单调减区间为（0，1），增区间为（1，+∞）；（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈[1，2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1，x2∈[1，2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]max，当x∈[1，2]时，g′（x）=1+＞0．∴函数g（x）=x+lnx在[1，2]上是增函数．∴[g（x）]max=g（2）=2+ln2．∵f′（x）=1﹣=，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）=x+在[1，2]上是增函数．∴[f（x）]min=f（1）=1+a2．由1+a2≥2+ln2，得a≤﹣，又﹣1＜a＜0，∴a≤﹣不合题意．②当﹣＜≤a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则f′（x）=＜0，若﹣a＜x≤2，则f′（x）=＞0，∴函数f（x）=x+在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．∴[f（x）]min=f（﹣a）=﹣2a﹣2a≥2+ln2，得a≤﹣1﹣ln2，∴﹣2＜a≤﹣1﹣ln2．综上，存在实数a的取值范围为（﹣2，﹣1﹣ln2）．【点评】主要考查函数的单调性与导数的关系，以及函数的最值与导数的应用问题，也考查了分类讨论思想与函数思想的应用问题，是较难的题目．20.如图四棱锥E﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△BCE为等边三角形，△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形，且AC=BC．（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）设O为BE的中点，连接AO与CO，说明AO⊥BE，CO⊥BE．证明AO⊥CO，然后证明平面ABE⊥平面BCE．（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，求出相关点的坐标，平面ADE的法向量，平面DEC的法向量，利用向量的数量积求解二面角A﹣DE﹣C的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：设O为BE的中点，连接AO与CO，则AO⊥BE，CO⊥BE．…设AC=BC=2，则AO=1，，?AO2+CO2=AC2，…∠AOC=90°，所以AO⊥CO，故平面ABE⊥平面BCE．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AO，BE，CO两两互相垂直．OE的方向为x轴正方向，OE为单位长，以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O﹣xyz，则A（0，0，1），E（1，0，0），，B（﹣1，0，0），，所以，，，，，…设=（x，y，z）是平面ADE的法向量，则，即所以，设是平面DEC的法向量，则，同理可取，…则=，所以二面角A﹣DE﹣C的余弦值为．…21.（本题满分13分）已知数列满足，（1）计算的值；（2）由（1）的结果猜想的通项公式，并证明你的结论。参考答案：解析：（1）由，当时……2分时……………………4分时…………6分（2）由（1）猜想……8分证明①当时成立………………9分②假设时成立…………10分那么时有即时成立综合①②可知……………………13分22.已知函数f（x）=xex+ex（e为自然对数的底）（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程（2）求y=f（x）的极小值点．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．