山西省忻州市繁峙县砂河镇砂河中学2021年高二数学理模拟试卷含解析

山西省忻州市繁峙县砂河镇砂河中学2021年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.2.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. B. C. D.参考答案：C【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.直线的倾斜角的大小是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.过圆内点 有几条弦，这几条弦的长度成等差数列，如果过点的圆的最短的弦长为，最长的弦长为，且公差，那么n的取值集合为（

）

（A）.

（B）.

（C）.

（D）.参考答案：A略5.设是椭圆上一动点，是椭圆的两个焦点，则的最大值为[来A.3

B.4

C.5

D.16参考答案：B6.下列说法中正确的是（）A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150，……的学生，这种抽样方法是分层抽样法.B.线性回归直线不一定过样本中心.C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1.D.若一组数据2,4,a,8的平均数是5，则该组数据的方差也是5.参考答案：D7.若函数满足,且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.函数y=sin(2x+)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象做以下平移得到（

）

A.向右平移

B.向左平移

C.向右平移

D.向左平移

参考答案：B略9.下列说法正确的是（）A．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥αB．经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行C．平行于同一平面的两条直线平行D．直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a?α；B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行；C，行于同一平面的两条直线位置关系不能确定；D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线；【解答】解：对于A，若直线a与平面α内无数条直线平行，则可能a?α，故错；对于B．平移其中一条异面直线使两异面直线相交两条异面直线可确定一个平面，而这条直线与平面中的一条直线平行，故正确；对于C，平行于于同一平面的两条直线位置关系不能确定，故错；对于D，直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能是异面直线，故错；故选：B10.下列命题中，正确的命题个数(

)①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ≤0)＝－p；④回归直线一定过样本点的中心．A．1个B．2个

C．3个

D．4个参考答案：C①错误，r越接近0，说明两个变量有较弱的相关性；②正确，据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，一般地，E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ＋b)＝a2Dξ(a，b为常数)；③正确，据正态分布的对称性易得P(－1＜ξ≤0)＝；④正确，回归直线一定过样本点的中心，这个作为一个性质考生应理解并熟记它．综上可知共有3个正确命题，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a=

．参考答案：2【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，求得当x∈（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a＞0，f（1）为最大值﹣1，解方程可得a的值．【解答】解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，由当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1．由f（x）=alnx﹣ax+1的导数为f′（x）=﹣a=，由函数在（0，2）上取得最大值，可得a＞0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增．最大值为f（1）=1﹣a=﹣1，解得a=2，故答案为：2．12.“”是“”成立的

条件.（从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写）参考答案：充分不必要13.若双曲线右支上一点P到右焦点的距离为8，则点P到左焦点的距离是.参考答案：16因点P在右支上，点P到左焦点的距离－8＝8，所以点P到左焦点的距离＝16.14.观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时，=（最后结果用m，n表示）参考答案：n2﹣m2【考点】F1：归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知，=n2﹣m2．故答案为：n2﹣m215.经过点，的双曲线方程是___________________.

参考答案：略16.已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.则a的取值范围是_____.参考答案：【分析】对于函数求导，可知或时，，一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数求解.【详解】对于函数，当或时，，当时，，所以一定存在增区间，若无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调.，则不能为增函数，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和分段函数的单调性问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17.△ABC中，,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果,b,c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为，那么b=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，,．（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，数列的前项和，求证：．参考答案：证明：（1）由得：且，所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，（2）由（1）得:,故；（3）由得：，∴从而：则略19.已知的展开式的二项式系数的和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．参考答案：略20.(12分)已知函数的图象过点和．(1)求函数的解析式；(2)记，，是数列的前n项和，求满足的值．参考答案：(1)由题意得：

解得：，；(2)，

∵为等差数列∴

由得

∴

∵∴21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC=2，过AD的平面分别交PB，PC于M，N两点．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）若M，N分别为PB，PC的中点，①求证：PB⊥DN；②求二面角P﹣DN﹣A的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）推导出BC∥AD，从而BC∥平面ADNM，由此能证明MN∥BC．（II）①推导出PB⊥MA，DA⊥AB，从而DA⊥PA．再由PB⊥DA，得PB⊥平面ADNM，由此能证明PB⊥DN．②以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz利用向量法能求出二面角P﹣DN﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分14分）证明：（I）因为底面ABCD为直角梯形，所以BC∥AD．因为BC?平面ADNM，AD?平面ADNM，所以BC∥平面ADNM．…因为BC?平面PBC，平面PBC∩平面ADNM=MN，所以MN∥BC．…（II）①因为M，N分别为PB，PC的中点，PA=AB，所以PB⊥MA．…因为∠BAD=90°，所以DA⊥AB．因为PA⊥底面ABCD，所以DA⊥PA．因为PA∩AB=A，所以DA⊥平面PAB．所以PB⊥DA．…因为AM∩DA=A，所以PB⊥平面ADNM，因为DN?平面ADNM，所以PB⊥DN．…解：②如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．…则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．…由（II）知，PB⊥平面ADNM，所以平面ADNM的法向量为=（﹣2，0，2）．…设平面PDN的法向量为=（x，y，z），因为，，所以．令z=2，则y=2，x=1．所以=（1，2，2），所以cos＜＞===．所以二面角P﹣DN﹣A的余弦值为．…22.（本小题共12分）已知