山西省忻州市走马岭中学高三数学理模拟试题含解析

山西省忻州市走马岭中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}，集合B={x|1﹣x＞0}，则A∩B等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣1，1）参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|（x+1）（3﹣x）＞0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故选：D．2.在中，，则的面积为_______.参考答案：3.若等比数列{an}的前项和为Sn，且S2=3，S6=63，则S5=（）A．﹣33 B．15 C．31 D．﹣33或31参考答案：D【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S2=3，S6=63，∴a1（1+q）=3，=63，消去a1，化为q4+q2﹣20=0，解得q=±2．q=2时，a1=1；q=﹣2，a1=﹣3．则S5==31，或S5==﹣33．故选：D．4.函数的最小正周期为，且．当时，那么在区间上，函数的零点个数是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略5.设偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=－，且当x∈时，f(x)=4x,则f(107.5)=

(

)A.10

B. C.－10 D.—参考答案：B6.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为A.B.C.D.参考答案：C7.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（

）A.1升

B.升

C.升

D.升参考答案：B设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，

根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，

即4a1+6d=3①，

3a1+21d=4②，

②×4-①×3得：66d=7，解得d=，代入①得：a1=，则a5=+（5－1）×=．8.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种 B．30种 C．24种 D．6种参考答案：B【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．【解答】解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：36﹣6=30故选：B．9.执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为（）A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=1.25，b=1.5时满足条件|a﹣b|＜0.3，退出循环，输出的值为1.375．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，c=0.3执行循环体，m=，不满足条件f（m）=0，满足条件f（a）f（m）＜0，b=1.5，不满足条件|a﹣b|＜c，m=1.25，不满足条件f（m）=0，不满足条件f（a）f（m）＜0，a=1.25，满足条件|a﹣b|＜c，退出循环，输出的值为1.375．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确依次写出每次循环得到的a，b的值是解题的关键，属于基础题．10.将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）(

) A．由最大值，最大值为 B．对称轴方程是 C．是周期函数，周期 D．在区间上单调递增参考答案：D考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由两角差的正弦公式化简函数，再由图象平移的规律得到，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由，求出x，即可判断B；再由正弦函数的增区间，即可得到g（x）的增区间，即可判断D．解答： 解：化简函数得，所以将函数y=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数g（x）=2sin，即，易得最大值是2，周期是π，故A，C均错；由，得对称轴方程是，故B错；由，令k=0，故D正确．故选D．点评：本题考查三角函数的化简和图象变换，考查三角函数的最值和周期、以及对称性和单调性，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的反函数参考答案：答案：

解析：由12.函数的定义域为R,则实数的范围

．参考答案：略13.已知集合，则

▲

．参考答案：14.函数（为常数，A＞0，＞0）的部分图象如图所示，则的值是

.参考答案：由图象可知，，所以,,所以，，所以，所以，所以，.15.若x，y满足约束条件则的最小值为__________．参考答案：2【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化，因此当直线在轴上截距最小时，取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：因为目标函数可化为，因此当直线在轴上截距最小时，取最小.由图像易得，当直线过点时，在轴上截距最小，即.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.16.将三项式展开，当时，得到如下左图所示的展开式，右图所示的广义杨辉三角形：

第0行

1

第1行

111

第2行

12321

第3行

1367631

第4行

14101619161041……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第行共有个数．若在的展开式中，项的系数为75，则实数的值为___________．参考答案：2试题分析：展开式中系数为151530455145301551，所以在的展开式中，项的系数为考点：新定义17.已知函数与，它们的图像有一个横坐标为的交点，则的值是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知向量，其中函数的最小正周期为.（1）求的值.（2）求函数在上的最大值.参考答案：【知识点】向量的坐标运算;三角函数的化简求值.

F2

C7【答案解析】(1)(2)

解析：(1)2m·n-1

=．

………………6分由题意知：，即，解得．……7分(2)由(Ⅰ)知，∵≤x≤，得≤≤，又函数y=sinx在[，]上是减函数，∴…………10分

=．…………………12分【思路点拨】由向量的坐标运算可以列出关系式，求出的值，再根据解析式在定义域内求出函数的最大值.19.对于数集，其中，，定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P.例如具有性质P.（I）若，且具有性质，求的值；（II）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数），求有穷数列的通项公式.参考答案：（1）选取，Y中与垂直的元素必有形式.

……2分

所以x=2b，从而x=4.

……4分（2）[解法一]猜测，i=1,2,…,n.

``

记，k=2,3,…,n.

先证明：若具有性质P，则也具有性质P.

任取，、?.当、中出现-1时，显然有满足；

当且时，、≥1.

因为具有性质P，所以有，、?，使得，从而和中有一个是-1，不妨设=-1.假设?且?，则.由，得，与?矛盾.所以?.从而也具有性质P.

……6分现用数学归纳法证明：，i=1,2,…,n.当n=2时，结论显然成立；

假设n=k时，有性质P，则，i=1,2,…,k；

当n=k+1时，若有性质P，则

也有性质P，所以.

取，并设满足，即.由此可得s=-1或t=-1.

若，则不可能；

所以，，又，所以.

综上所述，，i=1,2,…,n.

……10分

[解法二]设，，则等价于.

记，则数集X具有性质P当且仅当数集B关于原点对称.注意到-1是X中的唯一负数，共有n-1个数，所以也只有n-1个数.由于，已有n-1个数，对以下三角数阵

……

注意到，所以，从而数列的通项公式为

，k=1,2,…,n.20.(本小题满分14分)已知函数的减区间是．⑴试求m、n的值；⑵求过点且与曲线相切的切线方程；⑶过点A（1，t）是否存在与曲线相切的3条切线，若存在求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解：⑴由题意知：的解集为，

所以，-2和2为方程的根，

………………2分由韦达定理知

，即m=1，n=0．

………………4分⑵∵，∴，∵

当A为切点时，切线的斜率，∴切线为，即；

………………6分

当A不为切点时，设切点为，这时切线的斜率是，切线方程为，即

因为过点A（1，-11），

，∴，∴或，而为A点，即另一个切点为，∴，切线方程为，即………………8分所以，过点的切线为或．

…………9分⑶存在满足条件的三条切线．

…………10分设点是曲线的切点，则在P点处的切线的方程为

即因为其过点A（1，t），所以，，

由于有三条切线，所以方程应有3个实根，

…………11分设，只要使曲线有3个零点即可．设=0，∴分别为的极值点，当时，在和上单增，当时，在上单减，所以，为极大值点，为极小值点.所以要使曲线与x轴有3个交点，当且仅当即，解得

.

…………14分略21.设点M是x轴上的一个定点，其横坐标为a（a∈R），已知当a=1时，动圆N过点M且与直线x=﹣1相切，记动圆N的圆心N的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）当a＞2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0）（y0＞0），且l与以定点M为圆心的动圆M也相切，当动圆M的面积最小时，证明：M、P两点的横坐标之差为定值．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）通过圆N与直线x=﹣1相切，推出点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，说明点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，求出轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），联立得，利用相切关系，推出k，求解直线l的方程为．通过动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．利用动圆M的面积最小时，即d最小，然后求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为圆N与直线x=﹣1相切，所以点N到直线x=﹣1的距离等于圆N的半径，所以，点N到点M（1，0）的距离与到直线x=﹣1的距离相等．所以，点N的轨迹为以点M（1，0）为焦点，直线x=﹣1为准线的抛物线，所以圆心N的轨迹方程，即曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y﹣y0=k（x﹣x0），由得，又，所以，因为直线l与曲线C相切，所以，解得．所以，直线l的方程为．动圆M的半径即为点M（a，0）到直线l的距离．当动圆M的面积最小时，即d最小，而当a＞2时；==．当且仅当，即x0=a﹣2时取等号，所以当动圆M的面积最小时，a﹣x0=2，即当动圆M的面积最小时，M、P两点的横坐标之差为定值．22.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna．令h（x）=f'（x）=2x+（ax﹣1）lna，h'（x）=2+axln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…（2分）又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞）