山西省忻州市第三中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

山西省忻州市第三中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在R上定义运算?：x?y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a）?（x﹣b）＞0的解集是（2，3），则a+b的值为(

)A．1B．2C．4D．8参考答案：C考点：一元二次不等式的解法．专题：新定义．分析：根据定义，利用一元二次不等式的解法求不等式的解集．解答：解：∵x?y=x（1﹣y），∴（x﹣a）?（x﹣b）＞0得（x﹣a）＞0，即（x﹣a）（x﹣b﹣1）＜0，∵不等式（x﹣a）?（x﹣b）＞0的解集是（2，3），∴x=2，和x=3是方程（x﹣a）（x﹣b﹣1）=0的根，即x1=a或x2=1+b，∴x1+x2=a+b+1=2+3，∴a+b=4，故选：C．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，利用新定义列出不等式是解决本题的关键．

2.函数（）的单调递增区间是（

）.A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.已知函数，若方程有8个相异实根，则实数b的取值范围A．(－4,－2)

B．C．(－3,－2)

D．参考答案：D画出函数的图象如下图所示．由题意知，当时，；当时，．设，则原方程化为，∵方程有8个相异实根，∴关于的方程在上有两个不等实根．令，．则，解得．∴实数的取值范围为．选D．

4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费(单位：万元）对年销售量(单位：)的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如下表所示：

x1.002.003.004.005.006.00y1.652.202.602.762.903.10

根据上表数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B将表格中的数值描到坐标系内，观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数，代入数值验证，也较为符合，故选B。

5.函数的定义域是A．R

B．[－1,+∞)

C．(－∞,0)∪(0,+∞)

D．[－1,0)∪(0,+∞)参考答案：D，且，得到，且，选D6.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,所得图象再向左平移个单位长度.B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度.C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移个单位长度.D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位长度.参考答案：C7.在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（

）A、

B、

C、

D、。参考答案：C因数列为等比，则，因数列也是等比数列，即，所以，故选择答案C。

8.已知函数若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是(

)(A)(B)(C)(D)参考答案：D略9.函数f（x）=ax2+4（a+1）x﹣3在[2，+∞）上递减，则a的取值范围是（）A．a≤﹣ B．﹣≤a＜0 C．0＜a≤ D．a≥参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】由于x2项的系数为字母a，应分a是否为0，以及a不为0时再对a分正负，利用二次函数图象与性质，分类求解．【解答】解：当a=0时，f（x）=4x﹣3，由一次函数性质，在区间[2，+∞）上递增．不符合题意；当a＜0时，函数f（x）的图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x=﹣≤2，解得a≤﹣；当a＞0时，函数f（x）的图象是开口向上的抛物线，易知不合题意．综上可知a的取值范围是a．故选：A．10.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：解析:，由题设的周期为，∴，由得，，故选C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

,则f（f（2））的值为____________．参考答案：2

12.关于下列命题：①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}；③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．其中不正确的命题的序号是．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）参考答案：①②③【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的值域与最值．【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域，求出各个函数的值域，判断正误即可．【解答】解：①中函数y=2x的定义域x≤0，值域y=2x∈（0，1]；原解错误；②函数y=的定义域是{x|x＞2}，值域y=∈（0，）；原解错误；③中函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，，y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，但它的定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2}；原解错误④中函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，y=log2x≤3，∴0＜x≤8，故①②③错，④正确．故答案为：①②③【点评】本题考查函数的定义域及其求法，函数的值域，指数函数的定义域和值域，对数函数的值域与最值，考查计算能力，高考常会考的题型．13.已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是

．参考答案：14.已知方向上的投影为

。参考答案：15.函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为

．参考答案：[﹣1，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的图象及性质求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）2﹣1，开口向上，对称轴x=1，当x=1时，函数f（x）取得最小值为﹣1，故函数f（x）=（x﹣1）2﹣1的值域为：[﹣1，+∞），故答案为：[﹣1，+∞）．16.若△ABC的三边长分别为10cm,

10cm,16cm,则△ABC的内切圆的半径为______________cm.参考答案：略17.已知向量=（1，），则与反向的单位向量是．参考答案：【考点】97：相等向量与相反向量．【分析】利用与反向的单位向量=﹣即可得出．【解答】解：∵向量=（1，），∴与反向的单位向量=﹣=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了与反向的单位向量=﹣，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知（1）当时，求的最大（小）值；（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围。参考答案：（1），，∴=17，…………5分；（2）由已知得或，即或。……10分19.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=2Sn+1（n∈N*）．（1）当t为何值时，数列{an}为等比数列？（2）在（1）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）先由an+1=2Sn+1求出an+1=3an．再利用数列{an}为等比数列，可得a2=3a1．就可以求出t值．（2）先利用T3=15求出b2=5，再利用公差把b1和b3表示出来．代入a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求出公差即可求Tn．【解答】解：（1）由an+1=2Sn+1

①可得an=2sn﹣1+1

（n≥2）②两式作差得an+1﹣an=2an?an+1=3an．因为数列{an}为等比数列?a2=2s1+1=2a1+1=3a1?a1=t=1．所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列

∴an=3n﹣1．（2）设等差数列{bn}的公差为d，由T3=15?b1+b2+b3=15?b2=5，所以可设b1=5﹣d，b3=5+d．又a1=1，a2=3，a3=9．由题得（5﹣d+1）（5+d+9）=（5+3）2．?d=﹣10，d=2．因为等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且b2=5，所以d=﹣10．解得b1=15，所以Tn=15n+=20n﹣5n2．20.已知以点为圆心的圆C被直线：截得的弦长为.（1）求圆C的标准方程；（2）求过与圆C相切的直线方程；（3）若Q是x轴的动点，QR，QS分别切圆C于R，S两点.试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由.参考答案：（1）；（2）或；（3）见解析【分析】（1）根据圆心到直线的距离，半弦长、半径、构成直角三角形，求解即可；（2）利用圆心到直线的距离等于等于半径求解（3）由题意，则，在以为直径的圆上，设，写出圆的方程，与已知圆联立，得到含参的直线方程，确定是否过定点.【详解】（1）圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则，圆为.（2）设过点的切线方程为，即，圆心到直线的距离为，解得或，所以过点的切线方程为或；（3）由题意，则，在以为直径圆上，设，则以为直径的圆的方程：.即，与圆：，联立得：，令得，，故无论取何值时，直线恒过定点.【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线系过定点问题，属于中档题.21.已知奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，求实数t的范围．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）构造关于a，b，c的方程，解方程可得函数f（x）的解析式；（2）求出函数的导函数，进而根据导数符号与函数单调性的关系，可证得函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；（3）若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，则|t﹣1|≤1，解绝对值不等式可得实数t的范围．【解答】解：（1）∵奇函数f（x）=ax++c的图象经过点A（1，1），B（2，﹣1）．∴函数f（x）=ax++c的图象经过点（﹣1，﹣1），即，解得：故f（x）=﹣x+证明：（2）∵f′（x）=﹣1﹣，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0故函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；解：（3）当x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]时，f（x）∈[﹣1，1]，则f（x）+2∈[1，3]，若|t﹣1|≤f（x）+2对x∈[﹣2，﹣1]∪[1，2]恒成立，则|t﹣1|≤1，则t∈[0，2]【点评】本题考查的知识点是函数