山西省忻州市益民中学2021年高一数学理期末试题含解析

山西省忻州市益民中学2021年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在平面直角坐标系中，如果不同的两点，在函数的图象上，则称是函数的一组关于轴的对称点（与视为同一组），则函数关于轴的对称点的组数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.已知函数在上是减函数，则的取值范围是（

）A． B．

C． D．参考答案：B3.如面程序框图表示的算法是().A．将a、b、c按从小到大输出

B．将a、b、c按从大到小输出C．输出a、b、c三数中的最大数

D．输出a、b、c三数中的最小数参考答案：C4.如图，正四棱锥P—ABCD的侧面PAB为正三角形，E为PC中点，则异面直线BE和PA所成角的余弦值为

（

）A． B．

C． D．参考答案：A略5.下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【分析】对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论．【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．6.设P是圆上的动点，Q是直线上的动点，则的最小值为（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：C略7.已知函数y=,则函数的最值情况为

（

）A.有最小值-1,无最大值；

B.无最小值,有最大值2；

C.有最小值2,无最大值；

D.无最小值,有最大值-1.参考答案：D略8.是成等比数列的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：解析：不一定等比

如

若成等比数列

则

选D9.已知向量，且a∥b，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B∵a∥b，∴，∴，∴选“B”．10.若在

A.第一、二象限

B.第一、三象限

C．第二、三象限

D.第二、四象限参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）若=，则x=

．参考答案：考点： 对数的运算性质．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用指数与对数的运算性质即可得出．解答： ∵=，∴=2﹣3，∴log3x=﹣3，∴x=3﹣3=，故答案为：．点评： 本题考查了指数与对数的运算性质，属于基础题．12.化简2sin15°sin75°的值为． 参考答案：【考点】二倍角的正弦． 【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值． 【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求后，利用特殊角的三角函数值即可得解． 【解答】解：2sin15°sin75° =2sin15°sin（90°﹣15°） =2sin15°cos15° =sin30° =． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 13.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为60°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走200米到B，在B处测得山顶P的仰角为75°，则山高h=

米．参考答案：150（+）

【考点】解三角形的实际应用．【分析】用h表示出BC，AQ，列方程解出h．【解答】解：CQ=200sin15°=50（﹣），AQ==h，BC===（2﹣）h﹣50（3﹣5），∴h﹣（2﹣）h+50（3﹣5）=200cos15°=50（+），解得h=150（+）．故答案为：150（+）．14.南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为参考答案：32π【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【解答】解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S=π（42﹣4|y|），S1=π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]=π（42﹣4|y|）∴S1=S，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，∵Γ1=××（43﹣23﹣23）=×48=32π，∴Γ=32π．故答案为：32π．15.已知函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣2，2]上的值不大于2，则函数g（a）=log2a的值域是．参考答案：[﹣，0）∪（0，]【考点】对数函数的值域与最值；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】计算题；数形结合．【分析】要求函数g（a）=log2a的值域，只要求解a的范围，而根据题意，f（x）=ax（a＞0，a≠1）在区间[﹣2，2]上的值不大于2，则只要最大值不大于2即可【解答】解：由题意可得，当a＞1时，a2≤2，解可得当0＜a＜1时，a﹣2≤2，解可得且log2a≠0∴函数g（a）=log2a的值域为[﹣，0）∪（0，]故答案为[﹣，0）∪（0，]【点评】本题主要考查了指数函数单调性在求解函数最值中的应用，对数函数值域的求解，要注意体会分类讨论思想的应用．16.的定义域为

参考答案：17.已知函数f(x)对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(2)=3，则f(-1)=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（Ⅰ）求三棱柱的体积；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：∥面．参考答案：（Ⅰ）

---------------------------------3分（Ⅱ）∵,∴为等腰三角形∵为中点，∴

---------------------------------4分∵为直棱柱，∴面面

------------------------5分∵面面,面，∴面---------------------------------6分∴

---------------------------7分（Ⅲ）取中点，连结，，--------8分∵分别为的中点∴∥，∥，-----------------9分∴面∥面

-----------------------11分面∴∥面．

-----------------------------12分19.（本小题满分12分）已知函数⑴求函数的定义域；⑵讨论函数f(x)的奇偶性；⑶判断函数f(x)的单调性，并用定义证明.参考答案：（1）使得函数有意义，则有,-解得：.-------------------------2分所以函数的定义域为----------------------------3分（2）由（1）可知函数的定义域关于原点对称，且所以函数为奇函数.------------------------------------------7分（3）

证明：设，

单调递减为奇函数，上也为减函数---------------12分

20.设正数列{an}的前{an}项和为n，且2=an+1． （1）求数列{an}的通项公式． （2）若数列bn=，设Tn为数列{}的前n项的和，求Tn． （3）若Tn≤λbn+1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最小值． 参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）由已知条件，利用数列的性质，推导出﹣=1，a1=1，从而得到Sn=n2，由此能求出数列{an}的通项公式． （2）求出bn的通项公式，再根据列项求和即可求出求Tn． （3）将λ分离出来得λ≥，利用基本不等式即可求出． 【解答】解：（1）∵正数列{an}的前n项和为Sn，且an=2﹣1， ∴Sn=Sn﹣1+an=Sn﹣1+2﹣1， ∴Sn﹣1=（﹣1）2， ∴﹣=1， ∵a1=2+1，解得a1=1， ∴=1+n﹣1=n， ∴Sn=n2， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1， 当n=1时，2n﹣1=1=a1， ∴an=2n﹣1． （2）bn===n+1， ∴==﹣， ∴Tn=﹣+﹣+…+﹣=﹣= （3）Tn≤λbn+1对一切n∈N*恒成立， ∴≤λ（n+2）， ∴λ≥=≥=，当且仅当n=2时取等号，故实数λ的最小值为 【点评】本题主要考查了恒成立问题，以及等比数列的通项和裂项求和法，属于中档题．21.已知函数是上的奇函数，

高考资源网（1）求的值；

（2）先判断的单调性，再利用定义证明.参考答案：（1），代入检验成立.（或直接利用定义）（2）单调递增，利用定义证。略22.已知公差不为零的等差数列{an}满足，是与的等比中项（I）求数列{an}的通项公式；（II）设，判断数列{bn}是否为等比数列。如