山西省忻州市文昌中学高二数学理期末试题含解析

山西省忻州市文昌中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为

参考答案：B该几何体是底面直径和母线都为的圆锥，其高为，体积为，故选.2.已知，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式即可得出．【解答】解：∵，∴==﹣=﹣．故选B．3.四棱锥的底面为菱形，侧棱与底面垂直，则侧棱与菱形对角线的关系是（）．A．平行 B．相交不垂直C．异面垂直 D．相交垂直参考答案：C∵底面，平面，∴，又∵底面为菱形，∴，∴平面，∴，又，异面，所以侧棱与的关系是异面垂直，故选．4.的图像如图所示，则（

）

A.在上为减函数B．在处取极小值C.在上为减函数D.在处取极大值参考答案：C5.设离散型随机变量满足，，则等于

（

）

A．27

B．24

C．9

D．6参考答案：D6.在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②表示同一条曲线；③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线。在这三个结论中正确的是（

）A、①③

B、①

C、②③

D、③参考答案：D7.已知四棱锥S﹣ABCD的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的正弦值为(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出AE，SD所成的角的正弦值．【解答】解：作SO⊥平面ABCD，交平面ABCD于点O，以O为原点，OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，令四棱锥的棱长为2，则A（1，﹣1，0），D（﹣1，﹣1，0），S（0，0，），E（），∴=（﹣，，），=（﹣1，﹣1，﹣），∴设AE，SD所成的角为θ，cosθ=|cos＜＞|==，sinθ==．∴AE，SD所成的角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．8.已知直线与抛物线相交于两点，F为抛物线的焦点，若，则k的值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C9.直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.在中，已知，则b等于

A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，在一个边长为5cm的正方形内部画一个边长为3cm的小正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率为

。参考答案：12.设为常数，若点F（5,0）是双曲线的一个焦点，则=

．参考答案：1613.若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为

参考答案：14.函数的单调递增区间是___________________。参考答案：15.根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为

．参考答案：2116.双曲线y2﹣2x2=8的渐近线方程为

．参考答案：

【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及a、b的值，利用双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：y2﹣2x2=8，变形可得﹣=1，则其焦点在y轴上，且a==2，b==2，则其渐近线方程为，故其答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，需要先将双曲线的方程变形为标准方程．17.以下结论正确的是

（1）根据2×2列联表中的数据计算得出2≥6.635,而P（2≥6.635）≈0.01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系。（2）在线性回归分析中，相关系数为r，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小。（3）在回归分析中，回归直线方程过点。 （4）在回归直线中，变量x=200时，变量y的值一定是15。参考答案：(1)(2)(3)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）求f′（2）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数的运算；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，将x=2代入导函数求出即可；（Ⅱ）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣3，所以f′（2）=9；（Ⅱ）f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1．∴（﹣∞，﹣1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（﹣1，1）为函数f（x）的单调减区间；∴f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（﹣1）=2．19.已知抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）确定抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，利用以AB为直径的圆过点F，可得FA⊥FB，即=0，可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），到抛物线顶点的距离的平方为，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（Ⅱ）由题意可知，直线l不垂直于y轴可设直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±，∴直线l：x=±y+6，即l：2x±y﹣12=0．…【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.（本小题满分12分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.（3）若g(x)=f(),求函数g(x)的单调增区间；参考答案：本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．（1）∵，∴函数的最小正周期为.（2）由，∴，∴在区间上的最大值为1，最小值为.（3）g(x)=f()==,由得函数g(x)的单调增区间是【解析】21.已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．【分析】（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．【解答】解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．22.已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1为幂函数，且为奇函数．(I)求m的值；(II)求函数g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．参考答案：（1）m＝0（2）试题分析：（1）根据幂函数定义得m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5，再根据幂函数为奇函数得m＝0（2）换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与定义区间位置关系确定函数最