山西省忻州市实验学校2021年高三数学理联考试卷含解析

山西省忻州市实验学校2021年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.空气质量指数AOI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AOI，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是（

）A.该地区在该月2日空气质量最好B.该地区在该月24日空气质量最差C.该地区从该月7日到12日AOI持续增大D.该地区的空气质量指数AOI与这段日期成负相关参考答案：D【分析】利用折线图对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A,由于2日的空气质量指数AOI最低，所以该地区在该月2日空气质量最好，所以该选项正确；对于选项B,由于24日的空气质量指数AOI最高，所以该地区在该月24日空气质量最差，所以该选项正确；对于选项C,从折线图上看，该地区从该月7日到12日AOI持续增大，所以该选项正确；对于选项D,从折线图上看，该地区的空气质量指数AOI与这段日期成正相关，所以该选项错误.故选：D【点睛】本题主要考查折线图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

3.若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（

）A.

B.0

C.

D.参考答案：C4.已知a是实数，是纯虚数，则a＝(

)参考答案：A略5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．3 D．参考答案：A【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中点，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是三棱锥S﹣ABC，其中SO⊥底面ABC，O是AC中点，且OA=OC=OB=1，SO=2，OB⊥AC，∴该几何体的体积为：VS﹣ABC===．故选：A．6.若x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（） A．[﹣3，3] B．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D．[﹣1，1]参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行求解即可． 【解答】解：x＞2m2﹣3是﹣1＜x＜4的必要不充分条件， ∴（﹣1，4）?（2m2﹣3，+∞）， ∴2m2﹣3≤﹣1， 解得﹣1≤m≤1， 故选：D． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键． 7.某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为 (A)11 (B)12 (C)13 (D)14参考答案：B略8.已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是A．

B． C． D．参考答案：B9.已知函数，若关于x的不等式f(x)＞f(x+m)的解集为M，且，则实数m的取值范围是（

）A．[-1,0]

B．

C．

D．参考答案：C10.设某气象站天气预报准确率为

，则在3次预报中恰有2次预报准确的概率是(A)0.001

(B)0.729

(C)0.027

(D)0.243参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A（﹣3，﹣2）和圆C：（x﹣4）2+（y﹣8）2=9，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x﹣1后反射（入射点为B），反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是

．参考答案：10考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：求出A点关于直线l：y=x﹣1的对称点D，连接D与圆C的圆心，交圆C于P，则折线ABP的最短长度等于|DC|﹣3．解答： 解：如图：设A（﹣3，﹣2）关于直线l：y=x﹣1的对称点为D（x0，y0），由，解得D（﹣1，﹣4），由圆的方程可知圆心为C（4，8），半径为3．连接DC交圆C于P，则|DC|=．∴折线ABP的最短长度是13﹣3=10．故答案为：10．点评：本题考查了圆的标准方程，考查了直线和圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．12.直线l：x+y=0经过圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0的圆心，则a=．参考答案：﹣1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据题意，将圆C的方程变形为标准方程，即可得其圆心的坐标，将圆心坐标代入直线方程即可得a+1=0，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆C的一般方程为x2+y2﹣2ax﹣2y+a2=0，则其标准方程（x﹣a）2+（y﹣1）2=1，其圆心坐标为（a，1），又由直线l：x+y=0经过圆C的圆心，则有a+1=0，解可得a=﹣1；故答案为：﹣113.已知等比数列{an}中，a2＞a3＝1，则使不等式成立的最大自然数n是__________．参考答案：5略14.设是定义在R上的奇函数，且满足，且，则_______________．参考答案：–2略15.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为

.参考答案：16.在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么∠B等于_______.

参考答案：由题意可得，所以.

17.在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”.则坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__▲__；圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是__▲

_.

参考答案：，（1），画图可知时，取最小值.（2）设圆上点，直线上点，则，画出此折线，可知在时，取最小值，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列是等差数列，满足数列的前n项和是Tn，且（1）求数列及数列的通项公式；（II）若，试比较与的大小.参考答案：

略19.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过对自变量x的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立?+2＜f（x）min恒成立，利用绝对值不等式的性质易求f（x）min=4，从而解不等式＜2即可．【解答】解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．

（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立?+2＜f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|恒成立?+2＜f（x）min恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．20.（本小题满分12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．

（I）计算甲班7位学生成绩的方差；

（II）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．

参考公式：方差，其中．参考答案：

．

………………9分

其中甲班至少有一名学生共有7种情况：．

……………10分记“甲班至少有一名学生”为事件，则，即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为．…12分考点：统计与概率.21.（本小题满分14分）

已知两点F1（-1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图7，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．参考答案：解：（1）依题意，设椭圆的方程为．构成等差数列，，．又，．椭圆的方程为．……………………4分

(2)将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

…………5分由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

…………7分

设，，

…………9分（法一）当时，设直线的倾斜角为，则，，

，………11分，当时，，，．当时，四边形是矩形，．

……………13分所以四边形面积的最大值为．

………………14分略22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆．射线与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）点M（2，）对应的参数φ=代入（a＞b＞0，φ为参数），可得，解得a，b．可得曲线C1的普通方程．设圆C2的半径为R，则曲线C2的极坐标方程为ρ=2Rcosθ