山西省忻州市圪廖中学2021年高三数学理期末试卷含解析

山西省忻州市圪廖中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（

）A．

B.

C．

D．参考答案：C2.已知函数为偶函数，则m+n=(

)

A．1

B．-1

C．2

D．-2参考答案：B3.某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A． B．

C． D．参考答案：A略4.下列结论正确的是①“”是“对任意的正数，均有”的充分非必要条件②随机变量服从正态分布，则③线性回归直线至少经过样本点中的一个④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为,中位数为,众数为，则有A．③④

B．①②

C．①③④

D．①④参考答案：D略5.在复平面内，复数对应的点位于

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D6.“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断．7.已知集合，，则（

）． A． B． C． D．参考答案：B∵或，，，故选．8.若实数、满足，实数的最小值为

（

）A．

B．0

C．

D．3参考答案：D9.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：cm3）是（

）A． B． C． D．参考答案：B10.函数定义在R上，常数，下列正确的命题个数是①若，则函数的对称轴是直线②函数的对称轴是③若，则函数的对称轴是④函数的图象关于直线对称A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______．参考答案：略12.已知为等差数列{}的前n项和，若＝1，＝4，则的值为

__________.参考答案：略13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，则sinA=，b=．参考答案：，2考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．分析：利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由二倍角公式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值．解答：解：∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案为：，2．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力，属于基础题14.已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，=3，若P是BC边上的动点，则?的取值范围是．参考答案：[﹣，]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】函数的性质及应用．【分析】运图形得出=×4×（﹣）=﹣8，=，=，0≤λ≤1化简得出?=（+）=2+λ2+3×，运用数量积求解即可．【解答】解：∵三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°∴AB=，∠ABC=30°，求出=×4×（﹣）=﹣8，∵=3，∴=，=，0≤λ≤1∵?=（+）=2+λ2+3×∴?=﹣8λ+12λ×（﹣8）=4，0≤λ≤1根据单调性得出：?的取值范围，故答案为：[﹣，]

【点评】本题考查了平面向量的运用算，向量的分解合成，数量积的运用，属于中档题，关键是转化为统一的向量求解．15.已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为__________.参考答案：的外接圆的半径，点到面的距离,为球的直径点到面的距离为此棱锥的体积为16.在极坐标系下，已知圆O：和直线．（1）求圆O和直线的直角坐标方程；（2）当时，求直线与圆O公共点的一个极坐标．参考答案：故直线与圆O公共点的一个极坐标为．……10分17.

若，使得成立，则实数的取值范围是

。

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】：绝对值不等式的解法；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．【分析】：（1）a=5时，表达式中对数的真数大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情况讨论不等式的解集，最后取并集即可得到函数f（x）的定义域．（2）函数f（x）的定义域为R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根据绝对值不等式的性质求出左边的最小值，即可得到实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当a=5时，要使函数f（x）有意义，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①当x≤1时，不等式①等价于﹣2x+1＞0，解之得x；②当1＜x≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，无实数解；③当x＞5时，不等式①等价于2x﹣11＞0，解之得x综上所述，函数f（x）的定义域为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域为R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）+（x﹣5）|=4，（当且仅当1≤x≤5时取等号）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得实数a的取值范围是（﹣∞，4）．【点评】：本题给出含有绝对值的对数形式的函数，求函数的定义域并讨论不等式恒成立．着重考查了函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法与性质等知识，属于中档题．19.已知函数，其中常数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设定义在D上的函数在点处的切线方程为，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，当时，试问是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，请说明理由.参考答案：（1））函数的定义域为

……1分………………3分，由，即，得或由，得…………，单调递减区间为…………5分（2）解：当时，，从而所以在点处的切线的斜率为所以在点处的切线方程为……7分令则又则令得或

………………8分①当，即时，令，则，所以函数在区间上单调递减，又易知所以当时，，从而有时，②当，即时，令，则，所以在上单调递减，所以当时，，从而有时，所以当时，函数不存在“类对称点”…………10分③当时，，所以函数在上是增函数，若，，若，，

故恒成立所以当时，函数存在“类对称点”，其横坐标为。……………12分20.已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001、002、800编号.(1)

如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）

8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695566719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩各等级人数，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42.1

若在该样本中，数学成绩优秀率是，求a,b的值；人数数学优秀良好及格

地理优秀7205良好9186及格a4b

②在地理成绩及格的学生中，已知求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.

参考答案：（1）785,667,199；（2）①a=14,b=17，②.解析：（1）785,667,199.----3分（2）①-----5分

②------6分因为所以a,b的搭配是：（10,21），（11,20）,(12,19),,(15,16),(16,15),(23,8),共有23-9=14种.------8分设时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件A，事件A包括：（10,21），（11,20），（12,19），，（15,16），共15-9=6个基本事件.-----10分所以,即：数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为.---12分

略21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N

分别是PA、BC的中点．(I)求证：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE⊥平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．∵,.∴四边形为平行四边形，……………3分∴，又平面,…………5分∴MN∥平面PCD.……6分（Ⅱ）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.设AB=2，则B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，设PC上一点E坐标为，，即，则．………………7分由,解得．∴.………………9分作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，∴AH⊥平面PBC,取为平面PBC的法向量．则，∴设AE与平面PBC所成角为，,的夹角为，则.…………12分22.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且是1与an的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{}的前n项和，证明：＜Tn＜1（n∈N*）参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）n=1时，可求得a1=1；依题意，4Sn=（an+1）2，n≥2时，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2，二式相减，可得