山西省太原市同心外国语学校高二数学理上学期期末试题含解析

山西省太原市同心外国语学校高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.以双曲线的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m=（

）A. B. C. D.参考答案：B【详解】注意到．渐近线方程为，即．右焦点到渐近线距离为．从而．故答案为：B2.有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．其中的真命题有()个。A．0B．1

C．2

D．3参考答案：C略3.y=ex.cosx的导数是(

)A.ex.sinx B.ex(sinx-cosx) C.-ex．sinx D.ex(cosx-sinx)参考答案：D略4.函数在内(－1,0)有极小值，则实数a的取值范围为（

）A．

B．(0,3)

C.(－∞,3)

D．(0,+∞)参考答案：A由函数的解析式可得y′=?3x2+2a，∵函数y=?x3+2ax+a在(?1,0)内有极小值，∴令y′=?3x2+2a=0，则有一根在(?1,0)内，分类讨论：a>0时，两根为，满足题意时，小根在(?1,0)内，则，即0<a<.a=0时，两根相等，均为0，f(x)在(?1,0)内无极小值.a<0时，无实根，f(x)在(?1,0)内无极小值，综合可得，实数的取值范围为.本题选择A选项.

5.在“南安一中校园歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（

）

A．85和6.8

B．85和1.6

C．86和6.8

D．86和1.6参考答案：A6.如果直线与直线平行，则a等于

（

）

A．0

B．

C．0或1

D．0或参考答案：D略7.定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④参考答案：C【考点】等比关系的确定．【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（an+1），故正确；②≠=f2（an+1），故不正确；③==f2（an+1），故正确；④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠=f2（an+1），故不正确；故选C8.在等差数列中，有，则此数列的前13项和为（

）A．24

B．39

C．52

D．104参考答案：C9.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，若，则的实轴长为（

） A.

B.

C.

D.参考答案：C10.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为，若椭圆的离心率为,则的最小值为（

） A． B． C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数的图像过点(2，)，则这个函数的解析式为

▲

．

参考答案：12.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图(1)，(2)，(3)中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3.则e1、e2、e3的大小关系为________．

参考答案：略13.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC．当四边形OACB面积最大时，∠AOB=

．

参考答案：150°【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．【解答】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ，则△ABC的面积=?AB?AC?sin60°=?AB2=（OA2+OB2﹣2OA?OB?sinθ）=（5﹣4cosθ），△OAB的面积=?OA?OB?sinθ==sinθ，四边形OACB的面积=（5﹣4cosθ）+sinθ=﹣cosθ+sinθ=+2sin（θ﹣60°），故当θ﹣60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大值为+2，故答案为：150°．【点评】函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|、最小值为﹣|A|求解，属于中档题．14.对于实数，用表示不超过的最大整数，如若，,为数列的前项和，则：（1）= ；

（2）=

．参考答案：6;.15.若数列{an}为等差数列，定义，则数列{bn}也为等差数列.类比上述性质，若数列{an}为等比数列，定义数列{bn},bn=______，则数列{bn}也为等比数列.参考答案：【分析】可证明当为等差数列时，也为等差数列，从这个证明过程就可以得到等比数列中类似的结论.【详解】因为为等差数列，从而，所以，，所以为等差数列，而当为等比数列时，，故，若，则，此时（为的公比），所以为等比数列，填.【点睛】等差数列与等比数列性质的类比，往往需要把一类数列中性质的原因找到，那么就可以把这个证明的过程类比推广到另一类数列中，从而得到两类数列的性质的类比.需要提醒的是等差数列与等比数列性质的类比不是简单地“和”与“积”或“差”与“商”的类比.16.已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的值为，则循环体的判断框内①处应填

。参考答案：317.根据《环境空气质量指数AQI技术规定》，AQI共分为六级：（0，50]为优，（50，100]为良，（100，150]为轻度污染，（150，200]为中度污染，（200，300]为重度污染，300以上为严重污染．右图是根据盐城市2013年12月份中20天的AQI统计数据绘制的频率分布直方图．由图中的信息可以得出这20天中盐城市环境空气质量优或良的总天数为

.参考答案：5略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，已知曲线上的任意一点到点的距离之和为．（1）求曲线的方程；（2）设椭圆：，若斜率为的直线交椭圆于点，垂直于的直线交曲线于点．（i）求线段的长度的最小值；（ii）问：是否存在以原点为圆心且与直线相切的圆？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由椭圆定义可知曲线的轨迹是椭圆，设的方程为，所以，，则，故的方程．（2）(ⅰ)证明：证明：当，为长轴端点，则为短轴的端点，.当时，设直线：，代入，整理得，即，，所以．又由已知，可设：，同理解得，所以，即故的最小值为．（ⅱ）存在以原点为圆心且与直线相切的圆．设斜边上的高为，由（Ⅱ）(ⅰ)得当时，；当时，，又，由，得，当时，，又，由，得，故存在以原点为圆心，半径为且与直线相切的圆，圆方程为．19.已知函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；（2）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a＞0时，试讨论f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以f′（x）=2x2﹣3又f（3）=9，f′（3）=15所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程为15x﹣y﹣36=0…（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即设，则当时，g'（x）＞0；当时，g′（x）＜0所以当时，g（x）取得最大值故实数a的取值范围为．…（Ⅲ）f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，，①当时，∵∴存在x0∈（﹣1，1），使得f′（x0）=0因为f′（x）=2x2﹣4ax﹣3开口向上，所以在（﹣1，x0）内f′（x）＞0，在（x0，1）内f′（x）＜0即f（x）在（﹣1，x0）内是增函数，f（x）在（x0，1）内是减函数故时，f（x）在（﹣1，1）内有且只有一个极值点，且是极大值点．…②当时，因又因为f′（x）=2x2﹣4ax﹣3开口向上所以在（﹣1，1）内f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，1）内为减函数，故没有极值点…综上可知：当，f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数为1；当时，f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数为0．…20.已知为偶函数,曲线过点，.(1)若曲线有斜率为0的切线,求实数a的取值范围;(2)若当时函数取得极值,试确定的单调区间.参考答案：(1)因为f(x)=x2+bx+c为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,从而b=-b,解得b=0.

又曲线y=f(x)过点(2,5),得22+c=5,故c=1.所以f(x)=x2+1.

2分又函数g(x)=(x+a)f(x)=(x+a)(x2+1)=x3+ax2+x+a,从而g'(x)=3x2+2ax+1.因为曲线y=g(x)有斜率为0的切线,故g'(x)=0有实数解,即3x2+2ax+1=0有实数解,此时有Δ=(2a)2-12≥0,解得a∈(-∞,-]∪[,+∞). 5分(2)因为函数y=g(x)在x=-1处取得极值,故g'(-1)=0,即3-2a+1=0,解得a=2.

7分所以g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).令g'(x)=0,得x1=-1,x2=-.当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,-1)上是递增的;当x∈时,g'(x)<0,故g(x)在上是递减的;当x∈时,g'(x)>0,故g(x)在上是递增的.

11分所以函数y=g(x)的递增区间是，，递减区间是

12分21.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(其中t为参数）.现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P坐标为(－1,0)，直线l交