山西省太原市北留中学高三数学文上学期期末试卷含解析

山西省太原市北留中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U=R，集合A=，B=，那么集合A、

B、

C、

D、参考答案：答案：D2.已知：tan，则等于（

）A．3

B．-3

C．2

D．-2参考答案：A3.已知a＞b＞0，ab=ba，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③?a，b满足a?b＜e2；④a?b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④参考答案：C【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据题意，得出=，f（x）=，x＞0，利用导数判断0＜x＜e时f（x）增，x＞e时f（x）减；x=e时f（x）取得最大值；根据f（a）=f（b）得出a＞e＞b，判断①正确②错误；由＞e＞b得出f（b）＜f（）且f（a）＜f（），即ab＞e2，判断④正确③错误．【解答】解：∵a＞b＞0，ab=ba，∴blna=alnb，∴=，设f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x=e时，f（x）max=f（e）=；∵f（a）=f（b），∴a＞e＞b＞0，∴①正确，②错误；∴＞e＞b，∴f（b）＜f（），∴f（a）＜f（），∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．故选：C．【点评】本题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目．4.如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则(

).（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.设函数y=f（x）的反函数为f－1（x）,将y＝f（2x－3）的图像向左平移两个单位，再关于x轴对称后所得到的函数的反函数是A.y＝

B.

y＝C.y＝

D.y＝参考答案：A6.已知函数f（x）=sin（x+）﹣在上有两个零点，则实数m的取值范围为(

)A． B． D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函数y=sin（x+）在上的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由f（x）=0得sin（x+）=，作出函数y=g（x）=sin（x+）在上的图象，如图：由图象可知当x=0时，g（0）=sin=，函数g（x）的最大值为1，∴要使f（x）在上有两个零点，则，即，故选：B【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用三角函数的图象是解决本题的关键．7.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）A． B． C．4π D．参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，这是求得相关量的关键．8.已知是定义在R上的奇函数，且时的图像如图所示，则

A.-3

B.-2

C.-1

D.2

参考答案：【知识点】函数的奇偶性.

B4【答案解析】B

解析：因为是奇函数，所以，又时的图像如图所示，所以，所以-2，故选B.【思路点拨】利用函数的奇偶性及函数的图像获得结果.9.在中，若，则的形状是（

）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B由正弦定理可知由，因为，所以，因为，所以，所以，即.同理可得，所以三角形为等边三角形，选B.10.抛物线和圆，直线l经过C1的焦点F，依次交C1，C2于四点，则的值为（

）A．

B．1

C.2

D．4参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中的常数项为_________．参考答案：略12.给出下列不等式：，，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为

．参考答案：13.过点引直线与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于___________.参考答案：略14.

．（用数字作答）参考答案：5515.已知都是正实数，函数的图像过点（0,1），则的最小值是

.参考答案：略16.椭圆x2+4y2=1的离心率为

．参考答案：考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，可得a2，b2．再利用即可得出．解答： 解：椭圆x2+4y2=1化为标准方程得，∴a2=1，，∴=．故答案为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．17.某几何体三视图如所示，则该几何体的体积为(）

A．8－

B．8－

C．8－π

D．8－2π参考答案：【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案解析】C

解析：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故选：C．【思路点拨】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分)已知函数．(1)当时，求函数的最值；(2)求函数的单调区间；(3)试说明是否存在实数使的图象与无公共点．参考答案：（1）函数的定义域是．当时，，所以在为减函数,在为增函数，所以函数f(x)的最小值为=．(2)若时，则(x)在恒成立，所以的增区间为．若，则故当，，当时，f(x),所以时的减区间为，的增区间为．(3)时，由（2）知在上的最小值为，由在上单调递减，所以则，因此存在实数使的最小值大于，故存在实数使的图象与无公共点．19.甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩清况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：

分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数231015分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数15x31

乙校:

分组[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)频数1298分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数1010y3

（1）计算x，y的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率；（3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

甲校乙校总计优秀

非优秀

总计

P(K2≥k0)0.100.0250.010k02.7065.0246.635

附：；.参考答案：（1）由题意知，甲校抽取人，乙校抽取人，∴.（2）由题意知，乙校优秀率为.（3），∴有的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

20.已知数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：参考答案：略21.已知a，b是正实数，且，证明：（1）；（2）．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用基本不等式证明即可．（2）利用综合法，通过重要不等式证明即可．【详解】是正实数，，，∴，当且仅当时，取∴∴∴当且仅当即时，取【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，基本不等式的应用，是基本知识的考查．22.已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①讨论f（x）的单调性；②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】①求出函数f（x）的定义域，然后在定义域内分a＞0，a≤0两种情况解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函数的单调区间；②设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），只需证明g（x）＞0即可，进而转化为利用导数求函数的最值；③由①易判断a≤0时不满足条件，只需考虑a＞0时情形，由①可得f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，由②可推得f（﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，借助函数单调性可得结论；【解答】解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣，（i）当a＞0时，则由f'（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；（ii）当a≤0时，f（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；②设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=﹣=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g'（x）=+﹣2a=，当x∈（0，）时，g'（x