山西省大同市浑源县第三中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山西省大同市浑源县第三中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?池州二模）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．0C．1D．3参考答案：C考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（1，0）=1故选：C点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．2.已知函数f（x）=若y=f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是(

)A．[2，4] B．[2，4] C．（2，+∞） D．[2，+∞）参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，根据二次函数、指数函数的单调性以及增函数的定义便可得到，这样解该不等式组便可得出实数a的取值范围．【解答】解：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；∴；解得2≤a≤4；∴实数a的取值范围为[2，4]．故选：A．【点评】考查分段函数单调性的判断，二次函数、指数函数的单调性，以及增函数的定义．3.某学校为了更好的培养尖子生，使其全面发展，决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”，要求每名教师的“包教”学生不超过2人，则不同的“包教”方案有（）A．60 B．90 C．150 D．120参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】先分组5个尖子生分为（2，2，1），再分配即可．【解答】解：5个尖子生分为（2，2，1），故其分组的方法有=15种，再分配给3名教师，共有15A33=90种，故选：B．4.已知A，B，C三点在球心为O，半径为3的球面上，且三棱锥O—ABC为正四面体，那么A，B两点间的球面距离为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知变量x，y满足，则目标函数的最值是(

）A.

B.C.，z无最小值

D.z既无最大值，也无最小值参考答案：C6.已知直线l：kx+y﹣2=0（k∈R）是圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0的对称轴，过点A（0，k）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长为（）A．2 B．2 C．3 D．2参考答案：D【考点】圆的切线方程．【分析】利用配方法求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：kx+y﹣2=0经过圆C的圆心（3，﹣1），求得k的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得AB的值．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x+2y+9=0得，（x﹣3）2+（y+1）2=1，表示以C（3，﹣1）为圆心、半径等于1的圆．由题意可得，直线l：kx+y﹣2=0经过圆C的圆心（3，﹣1），故有3k﹣1﹣2=0，得k=1，则点A（0，1），即|AC|=．则线段AB=．故选：D．7.在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（1，1）参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：由=，则复数对应的点的坐标是：（﹣1，1）．故选：A．8.

=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.直线被圆所截得的弦长为，则直线l的斜率为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】可得圆心到直线的距离d，由弦长为，可得a的值，可得直线的斜率.【详解】解：可得圆心（0，0）到直线的距离，由直线与圆相交可得，，可得d=1，即=1，可得，可得直线方程：，故斜率为，故选D.【点睛】本题主要考察点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系，相对简单.10.函数的最大值为（

）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设点A，B是圆上的两点，点，如果，则线段AB长度的最大值为_________．参考答案：12.已知集合，，若，则

▲

．参考答案：－113.已知O为原点，点，，，若，则实数m=______．参考答案：6【分析】先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求出m的值.【详解】由题得，因为，所以-m+6=0,所以m=6.故答案为：6【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为

▲

。参考答案：215.函数的值域是

。参考答案：略16.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆x2+y2﹣6x+5=0截得的弦长为2，则离心率e=．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的方程的渐近线方程，求得圆的圆心和半径，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=2b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣6x+5=0即为（x﹣3）2+y2=4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=2b2，即有c2=a2+b2=a2，则e==．故答案为：．17.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是

_．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．（I）求线段中点的轨迹的方程；（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．参考答案：解析：（I）由题可设，，，其中.则

1分∵的面积为定值2，∴.

2分，消去，得：．

4分由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．5分（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．由消去得：，

6分设点、、、的横坐标分别是、、、，∴由得

8分解之得：．∴.

9分由消去得：，由消去得：，∴.

10分由于为的三等分点，∴.

11分解之得.

12分经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.13分19.已知等差数列{an}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an+an+1）=2n（n+1）（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据数列的递推公式求出公差d，即可求出数列{an}的通项公式，（2）根据错位相减法即可求出前n项和．【解答】解：∵（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an+an+1）=2n（n+1），①∴（a1+a2）+（a2+a3）+…+（an﹣1+an）=2n（n﹣1），②由①﹣②可得，an+an+1=4n，③，令n=n﹣1，可得an+an﹣1=4（n﹣1），④，由③﹣④可得2d=4，∴d=2，∵a1+a2=4，∴a1=1，∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，（2）=（2n﹣1）?（）n﹣1，∴Sn=1?（）0+3?（）1+5?（）2+…+（2n﹣1）?（）n﹣1，∴Sn=1?（）1+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣3）?（）n+（2n﹣1）?（）n，∴Sn=1+2?（）1+2?（）2+2?（）3+…+2?（）n﹣1﹣（2n﹣1）?（）n=1+2﹣（2n﹣1）?（）n=3﹣（2n+3）?（）n，∴Sn=6﹣（2n+3）?（）n﹣1．20.本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（是参数）.(1)将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值.参考答案：解：（1）曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:

直线的直角坐标方程为：（2）（法一）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，圆心到直线l的距离或

（法二）把（是参数）代入方程,得,24..

或

略21.已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求f(a)＝2－a|a