山西省大同市天镇县逯家湾镇逯家湾中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析

山西省大同市天镇县逯家湾镇逯家湾中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为.

(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：B略2.若实数x,y满足，则的最小值是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C3.已知实数x、y，满足条件，则2x-y的最大值是A．2 B．5 C．6 D．8参考答案：C4.已知集合，A∩B=（

）A．

B．(－1,2)

C.(2,3)

D．(2,4)参考答案：C求解二次不等式可得：，结合交集的定义可得：.表示为集合的形式即.本题选择C选项.

5.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，离心率为，则的最小值为（

）A

B

C

D

参考答案：C略6.正方体中为棱的中点（如图1），用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为参考答案：C7.已知0<a<b<l．则

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D8.从（其中）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片各放入一信封，则不同的方法共有A．72种

B．18种

C．36种

D．54种参考答案：A略10.若函数的反函数图象过点（1，5），则函数的图象必过点（

）.A．（1，1）

B．（1，5）

C．（5，1）

D．（5，5）参考答案：答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则的最小值为．参考答案：3考点：基本不等式．专题：导数的综合应用．分析：由已知x≥0，y≥0，且x+y=1，可得0≤x≤1，y=1﹣x．代入可得==f（x），再利用导数研究其单调性即可得出．解答：解：∵x≥0，y≥0，且x+y=1，∴0≤x≤1，y=1﹣x．∴==f（x），∴f′（x）==≥0，∴函数f（x）在[0，1]上单调递增．∴当x=0时，f（x）取得极小值即最小值3．故答案为：3．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．12.（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（），曲线的极坐标方程是，正六边形的顶点都在上，且、、、、、依逆时针次序排列。若点的极坐标为，则点的直角坐标为

．参考答案：略13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为

．参考答案：（或）略14.已知实数x，y满足条件则z=x2+（y+1）2的最小值为

．参考答案：5【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣1）距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．15.设f（x）=，则f[f（﹣8）]=

．参考答案：-2【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，从而f[f（﹣8）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣8）=﹣（﹣8）=2，f[f（﹣8）]=f（2）=2+=﹣2．故答案为：﹣2．16.若△ABC的三条边a，b，c所对应的角分别为A，B，C，且面积S△ABC=（b2+c2﹣a2），则角A=．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】根据余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA，根据三角形的面积公式S=bcsinA和题意求出tanA，根据A的范围和特殊角的三角函数值求出A的值．【解答】解：由余弦定理得，b2+c2﹣a2=2bccosA，因为S△ABC=（b2+c2﹣a2），所以bcsinA=×2bccosA，则sinA=cosA，即tanA=1，又0＜A＜π，则A=，故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，注意内角的范围．17.在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则

=__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如=1，=2，=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（），则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）已知f（x）=x+，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．参考答案：【考点】函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】新定义；转化思想；归纳法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据Ω函数的定义直接判断函数f（x）=x2﹣x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（Ⅱ）根据Ω函数的定义，分别求k=1，a=，进行证明即可；（Ⅲ）根据周期函数的定义，结合Ω函数的条件，进行判断和证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2﹣x是Ω函数，g（x）=sinπx不是Ω函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）法一：取k=1，a=∈（1，2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则令=1，m==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（）=f（）=f（1）所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣法二：取k=1，a=∈（0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则令=﹣1，m=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此时f（﹣）=f（）=f（﹣1），所以f（x）是Ω函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（说明：这里实际上有两种方案：方案一：设k∈N?，取a∈（k2，k2+k），令=k，m=，则一定有m﹣=﹣k=∈（0，1），且f（m）=f（），所以f（x）是Ω函数．）方案二：设k∈N?，取a∈（k2﹣k，k2），令=﹣k，m=﹣，则一定有m﹣=﹣﹣（﹣k）=﹣∈（0，1），且f（x）=f（），所以f（x）是Ω函数．）（Ⅲ）T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为f（x）是以T为最小正周期的周期函数，所以f（T）=f（0）．假设T＜1，则=0，所以f（）=f（0），矛盾．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以必有T≥1，而函数l（x）=x﹣的周期为1，且显然不是Ω函数，综上，T的最小值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．19.（本小题满分12分）在三棱柱中，侧面为矩形，，D为的中点，BD与交于点O，侧面．(I)证明：；(Ⅱ)若，求直线与平面ABC所成角的正弦值．

参考答案：(1)证明：由题意,

注意到,所以,

所以,

所以,

……3分又侧面，又与交于点，所以,又因为,所以.……………6分(2)如图，分别以所在的直线为轴，以为原点，建立空间直角坐标系则，，，，，又因为，所以

…………8分所以，，设平面的法向量为，则根据可得是平面的一个法向量,设直线与平面所成角为，则………………12分20.（本题满分14分）如图，已知、分别为椭圆的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点M是与在第二象限的交点，且（I）求椭圆的方程；（II）已知点和圆，过点P的动直线与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（且），求证：点Q总在某条定直线上。参考答案：（1）解法一：令M为，因为M在抛物线上，故，①又，则

②由①②解得，

ks5u椭圆的两个焦点为，，点M在椭圆上，由椭圆定义，得，又，椭圆的方程为解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即又，即，解得椭圆的方程为（2）证明：设，，由，可得⑥

⑤

即

由，可得⑧

⑦

即⑤×⑦得，

⑥×⑧得两式相加，得又点A，B在圆上，，且即，故点Q总在直线上方法二：由，可得，所以由，可得，所以所以，所以（*）当斜率不存在时，由特殊情况得到当斜率存在时，设直线为代入（*）得，而，消去，得而满足方程，所以Q在直线上21.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…因AA1=AB，则AD⊥A1B…由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…22.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？参考答案：(1)当0＜x≤100时，p＝60；当100＜x≤600时，p