高中数学每日一题(含答案)

高中数学每日一题1.平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，则n条彼此相交而无三条共点的直线，可把平面分成多少部分？思路分析：可通过画图寻找规律，当直线条数n为3,4,5时，分别计算出它们将平面分成的区域数Sn，从中发现规律，再归纳出结论．解析：设平面被n条直线分成Sn部分，则当n＝1时，S1

＝1＋1＝2；当n＝2时，S2

＝1＋1＋2＝4；当n＝3时，S3

＝1＋1＋2＋3＝7；当n＝4时，S4

＝1＋1＋2＋3＋4＝11.

据此猜想，得．

Sn＝1＋点评：本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况．2．(2010年山东卷)在如右图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC；解析：证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.

因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，因此BC⊥平面PDC，在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，因此GF⊥平面PDC.

又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.

3.(2010年锦州模拟)在数列{an}中，a1＝tanx，an＋1.(1)写出a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式，并加以证明．解析：(1)a2＝a3＝

(2)猜想：an＝

，下面用数学归纳法证明之：①当n＝1时，显然成立；②假设n＝k时(k≥1，k∈N*)猜想正确，猜想也正确．由①②知对任何n∈N*猜想都正确．4.已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足(

)A．m≤－B．m≥－C．m＝－D．m＝思路分析：因为方程有实根，故可设根为a，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．解析：设实数a为方程x2＋(1－2i)x＋3m－i＝0的实根，则a2＋(1－2i)a＋3m－i＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，答案：D点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本思想方法．而复数相等是实现复数问题实数化的常用方法．5．(2010年山东卷)已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝(

)A．－1

B．1

C．2

D．3解析：由＝b＋i得a＋2i＝bi－1，所以由复数相等的意义知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1，故选B.

答案：B6.(2011年厦门高三综合测试)已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：(1)若ab>0，bc－ad>0，则(2)若ab>0，则bc－ad>0；(3)若bc－ad>0，则ab>0，其中正确命题的个数是(

)A．0

B．1

C．2

D．3解析：对于(1)，由不等式的性质得因为ab>0，bc－ad>0，故该命题是真命题．类似可推得命题(2)(3)也是真命题．故正确命题的个数为三个，因此选D.答案：D7.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集7.已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}，其中β＞α＞0，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集解析：由已知条件得a＜0，∴原不等式可化为x2＋x＋<0，∵α，β为方程x2＋x＋＝0的两根，∴＝－(α＋β)，＝αβ，由>0，a＜0得，c＜0，∴不等式cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋>0.∵＝×＝－＝－，＝>0，∴不等式x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，∴它的解集.点评：根据一元二次不等式解集的形式可以确定a＜0及c＜0，这是解答本题的关键．8.8.9.(2010年福州模拟)如右图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？10.(2010年柳州调研)在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是(

)A．4

B．4

C．2

D．2思路分析：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积．解析：由题意，作出已知的不等式组表示的平面区域，即△ABC所在区域(如右图所示)，其中，三个顶点分别为A(2,4)、B(2,0)、C(0,2)．于是，三角形ABC的面积为S△ABC＝＝4.答案：B10.若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.解析：∵f（1）=3×1+1=4，f（2）=3×2+1=7，f（3）=3×3+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定义知a4=10,a2+3a=3k+1a2+3a=10,a4=3k+1.或（1）（2）∵a∈N，∴方程组（1）无解.解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}.11.（09年东北师大附中月考）设，则的定义域为：（）A：（-4，0）∪（0，4）B：（-4，-1）∪（1，4）

C：（-2，-1）∪（1，2）D：（-4，-2）∪（2，4）分析：已知f(x)的定义域[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.解析：∵f（x）的定义域是（-2，2），故应有-2<x/2<2且-2<2/x<2，解得-4<x<-1或1<x<4.正确答案：B12.(2009年柳州模拟）函数y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为a2,则实数a的取值范围是（）A.0≤a≤1B.0≤a≤2C.-2≤a≤0D.-1≤a≤0解析：y=-x2-2ax=-(x+a)2+a2(0≤x≤1)的最大值是a2，所以0≤-a≤1，即-1≤a≤0.答案：D

13.(2008年珠海质检)偶函数f(x)在区间［0,a］(a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)=0在区间［-a,a］内根的个数是()A.3B.2C.1D.0答案是：B14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(