高中数学北师大版1第一章常用逻辑用语单元测试

简单的逻辑用语单元检测试题一、选择题1．命题“对任意x＞0，x2＋x＞0”的否定是(C)A．存在x＞0，x2＋x＞0B．任意x＞0，x2＋x≤0C．存在x＞0，x2＋x≤0D．任意x≤0，x2＋x＞0【解析】先把任意“任意”改为存在“存在”，再把结论给予否定．2．命题“若则”的逆否命题是(D)A．若则B．若则C．若则D．若则【解析】由逆否命题的构成可知答案为D．3．命题甲：动点P到两定点A,B的距离之和（，常数），命题乙：点P的轨迹为椭圆，则命题甲是命题乙的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】甲推不出乙，乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件命题P:“存在实数，使方程有实数根”，则其否定形式的命题为（C）存在实数，使方程无实数根B．不存在实数，使方程无实数根C．对任意实数，使方程无实数根D．至多有一个实数，使方程有实数根【解析】特称命题的否定为全称命题，对其否定时先改量词，后否定结论5．下列命题中，真命题是(B)A．存在x∈[0，eq\f(π,2)]，sinx＋cosx≥2B．任意x∈(3，＋∞)，x2＞2x＋1C．存在x∈R，x2＋x＝－1D．任意x∈(eq\f(π,2)，π)，tanx＞sinx【解析】对于A，sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)，因此命题不成立；对于B，x2－(2x＋1)＝(x－1)2－2，显然当x＞3时(x－1)2－2＞0，因此命题成立；对于C，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)＞0，因此x2＋x＞－1对于任意实数x成立，所以命题不成立；对于D，当x∈(eq\f(π,2)，π)时，tanx＜0，sinx＞0，显然命题不成立．6．已知命题p：点P在直线y＝2x－3上；命题q：点P在直线y＝－3x＋2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是(C)A．(0，－3)B．(1,2)C．(1，－1)D．(－1,1)【解析】命题“p且q”为真命题的含义是这两个命题都是真命题，即点P既在直线y＝2x－3上，又在直线y＝－3x＋2上，即点P是这两条直线的交点．命题“若△ABC有一个角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题(D)与原命题同为假命题B．与原命题的否命题同为假命题C．与原命题的逆否命题同为假命题D．与原命题同为真命题【解析】互为逆否的两个命题同真同假，故选B已知半径为的圆的圆心到直线的距离为，命题P:直线与圆相交，命题直线与圆相切，则下列判断正确的是（A）A.或为真，且为真，非为假B.或为真，且为假，非为真C.或为假，且为假，非为假D.或为真，且为假，非为假【解析】因为P为真，为真，所以或为真，且为真，非为假9．若函数f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(a∈R)，则下列结论正确的是(C)．A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数【解析】对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．10．已知集合A＝{x∈R|eq\f(1,2)＜2x＜8}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是(C)A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．－2＜m＜2【解析】A＝{x∈R|eq\f(1,2)＜2x＜8}＝{x|－1＜x＜3}．∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A⊆B，∴m＋1＞3，即m＞2.填空题11．已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d的命题否定为【解析】若则的命题否定为若则非，所以命题“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的否定为：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋cb＋d12．若向量则“”是“”的条件【解析】当时，；当时，，即，所以，所以“”是“”的充分不必要条件13若命题“存在，”是假命题，则实数的取值范围是________．【解析】因为存在，是假命题，即对任意，为真命题，所以，即，所以实数的取值范围是14．已知，若为假命题，则的取值范围________．【解析】若p为真：则，；若q为真，则-1<x<5，所以为真命题时，又因为为假命题，∴的取值范围为解答题15．命题：已知为实数，若有非空解集，则。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题及命题否定形式，并判断它们的真假【解】逆命题：已知为实数，若，则有非空解集（真）否命题：已知为实数，若没有非空解集，则（真）逆否命题：已知为实数，若，则没有非空解集（真）命题否定：已知为实数，若有非空解集，则（假）16.判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.（1）存在实数，使得；（2）有些三角形是等边三角形；（3）方程的每一个根都不是奇数.【解】（1）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数，都有，该命题的否定是真命题.（2）该命题是特称命题，该命题的否定是：所有三角形都不是等边三角形，该命题的否定是假命题.（3）该命题是全称命题，该命题的否定是：方程至少有一个奇数根（或：方程至少有一个根是奇数），该命题的否定是假命题.17．已知命题p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0，))命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【解】将p满足的集合记为A,则，将q满足的集合记为B,则∵p是q的充分不必要条件，∴∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))∴m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．已知（1）是否存在实数，使不等式对于任意恒成立？并说明理由若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围【解】（1）假设存在实数使，在R上恒成立，则在R上恒成立，即，又因为，所以，所以，故存在实数；（2）要使不等式成立，只需，又因为，所以=4，所以19．设命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求的取值范围．【解】若命题p为真命题，则，解得。若命题P为假命题，则；若命题为真命题，则，解得，若为假时，，又由p或q为真，p且q为假知p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，，所以为空集；当p为假，q为真时，.所以，综上，c的取值范围为{|}．20．已知a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1成立的充要条件是a2－b2＝1.【证明】充分性：若a2－b2＝1，则a4－b4－2b2＝(a2＋b2)(a2－b2)－2b2＝a2＋b2－2b2＝a2－b2＝1，所以a2－b2＝1是a4－b4－2b2＝1成立的