高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试【省一等奖】2

第二章推理与证明第一节合情推理和演绎推理第二课时类比推理一、课前准备1．课时目标（1）、了解类比推理的含义、特点，能利用类比进行简单的推理；（2）、能利用类比进行简单的推理；（3）、通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法，体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作；（4）、找到合适的类比对象，分析两类事物在结构或功能等方面的关系，正确运用类比推理的思想方法.2．基础预探（1）．类比推理：由两类对象具有某些 特征和其中一类对象的某些 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由 到 的推理．（2）．合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 ，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理．（3）“三角形是平面内由线段所围成的最简单的封闭图形”，可类比为：“四面体是由所围成的最简单的封闭图形”。（4）合情推理的大致步骤为①②③④（5）类比推理的一般步骤:①②③。二、学习引领1.类比推理的特点（1）.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.（2）.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.（3）.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.2.归纳推理与类比推理联系与区别（1）联系：归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．由这两种推理得到的结论都不一定正确,其正确性有待进一步证明.（2）区别：归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法，类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物,同时,类比推理比归纳推理更富于想像,因而也就更具有创造性.人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的,工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的．因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具.3.合情推理的理解合情推理是指“合乎情理”的推理．数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．三、典例导析题型一类比概念的理解例1定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为______________，这个数列的前n项和的计算公式为_________．思路导析:解决本题的关键是理解即时定义“等和数列”．解：由等和数列的定义，知a1＋a2＝a2＋a3＝a3＋a4＝…，即有a1＝a3＝a5＝…，a2＝a4＝a6＝…．又a1＝2，公和为5，得a18＝a2＝5－2＝3．即有an＝，故当n为偶数时，；当n为奇数时，．规律总结:类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路．变式练习1“在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”，类比上述圆的定义，在空间中可得到类比命题是_________________________,它是_________(真、假)命题.题型二类比性质的应用例2在等差数列中，若，则等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式成立．思路导析:本题是已知等差数列的性质，类比推理等比数列的性质．解：由题设，应该有如果，则等式：成立，我们知道，如果，其中是自然数，对于等差数列，则有，而对于等比数列则有，所以可以得出结论：若，则等式成立．在本题中，故填．规律总结:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．变式练习2：若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列(n∈N*)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0(n∈N*)，则有dn＝_________(n∈N*)也是等比数列．题型三类比方法的应用例3设f(x)＝，利用课本推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为_______．思路导析:本题是类比数学方法，即利用倒序相加法，通过类比方法即可解决．解：由f(x)＋f(1－x)＝＋＝．设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，又S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)∴2S＝12[f(－5)＋f(6)]＝．即S＝3，故填3．规律总结:有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移．变式练习3在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cosA＋cosB＝1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想．题型四情景类比例4定义一种运算“*”，对于正整数n满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝3(n*1)．则n*1用含n的代数式表示是_________．思路导析:本题是新定义一种运算，此运算类比数列通项的情景而命题，故转化为数列的通项问题，即可解决．解：设n*1＝an，则(n＋1)*1＝，由条件可得a1＝1，＝3an，从而有{an}是以1为首项，公比为3的等比数列．∴an＝．故填．规律总结:借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题，应要注意对课本知识的联想及迁移．变式练习4类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知四面体的下列一些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任何两条棱的夹角都相等.（A）①（B）①②（C）①②③（D）③四、随堂练习1.下列说法中正确的是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2.一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2023个圆中有个黑圆.3.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.4.已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：(1)an＝am＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．五、课后作业1．类比推理和归纳推理的相同点是 ()A．从一般到一般B．前提蕴涵结论C．结论都是或然的D．从个别到一般2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积S扇等于()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2)D．不可类比3．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适 ()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形4．医药研究中，研制新药初期，常用一些动物作药性、药理试验，最后才作临床试验与应用，通过对动物的观察，得出对人应用的一些结论，所用推理为_______________．5．等差数列{}中，>0，公差d>0，则有·>·，类比上述性质，在等比数列{}中，若>0，q>1，写出，，，的一个不等关系________．6.如图，已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边分别于A′、B′、C′，则eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝1.这是平面几何中的一道题，其证明常采用“面积法”．eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＝eq\f(S△OBC,S△ABC)＋eq\f(S△OCA,S△ABC)＋eq\f(S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC,S△ABC)＝1请运用类比思想，对于空间中的四面体V－BCD，存在什么类似的结论？并用“体积法”证明．第二课时类比推理答案解析一、基础预探（1）答案：类似；已知特征；特殊；特殊。（2）答案：观察、分析、比较；联想、归纳；猜想。（3）答案：空间中；平面。（4）答案：从具体问题出发;观察，分析，比较，联想;归纳类比;提出结论（5）答案：观察、比较；联想、类推；猜想新结论三．典例导析变式训练1.在空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球面.真2.解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，则对于，则数列{}也是等差数列．类比推断：若数列{}是各项均为正数的等比数列，则当=eq\r(n,c1·c2·…·cn)时，数列{}也是等比数列．答案：eq\r(n,c1·c2·…·cn)3.解：cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把结论类比到四面体P－A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P－A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.4.（C）解析：由合情推理可知①②③全部正确.四、随堂练习1.D.提示：由归纳推理和类比推理的定义容易判断。2.答案：61.观察一下，以“实心个数加空心个数”为一组，这样圆的总数是：2+3+4+…+=2023而（2+63）2/2=2023说明第2023个圆在第62组中，因实心圆排在每一组的末尾，所以第62组没有实心圆．空心圆的个数等于组数2023个球中空心的有：61个．故答案是61．3.答案：21。规律：从第三个数开始，每个数是前两个数的和。故x=8+13=21.4.解：等比数列{bn}中，公比q，前n项和Sn.(1)通项an＝am·qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，则am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，则aeq\o\al(2,p)＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．五、课后作业1.C由类比推理和归纳推理的定义可知，两者的结论都是猜测性的，其正确性有待于证明．故应选C.2.C三角形的高对应扇形的半径，三角形的底对应扇形的弧长，所以可猜测S扇＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(lr,2).故应选C.3.C从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．4.答案：类比推理符合类比推理的方法，故应为类比推理．5.答案：＋>＋将乘积与和对应，再注意下标的对应，有＋>＋.6.解：在四面体V－BCD中，任取一点O，连结VO，DO，BO，CO并延长分别交四个面于E，F，G，H点，则eq\f(OE,VE)＋eq\f(OF,DF)＋eq\f(OG,BG)＋eq\f(OH,CH)＝1.证明：在四面体O－BCD与V－BCD中，eq\f(OE,VE)＝eq\f(h1,h)＝＝eq\f(\f(1,3