高中数学北师大版第一章数列 同课异构

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是()A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．摆动数列解析：∵an＋1－an＝3>0，∴{an}递增．答案：A2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，… B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，… D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(n)解析：A是递减数列，B是递减数列，D是递增数列，但只有n项．答案：C3．数列{an}的通项公式an＝3n2－28n，则数列{an}各项中最小的项是()A．第4项 B．第5项C．第6项 D．第7项解析：∵an＝3n2－28n＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2－\f(28,3)n))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(14,3)))2＋eq\f(196,3)，∴当n＝5时，an最小．答案：B4．已知数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤an＜\f(1,2)))，,2an－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤an＜1)).))若a1＝eq\f(6,7)，则a2012的值为()\f(6,7) \f(5,7)\f(3,7) \f(1,7)解析：计算得a2＝eq\f(5,7)，a3＝eq\f(3,7)，a4＝eq\f(6,7)，故数列{an}是以3为周期的周期数列，又知2012除以3余2，所以a2012＝a2＝eq\f(5,7).答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的________条件解析：设{an}的首项为a1，公比为q，若a1＜a2，则q＞1，从而有a1qn－1＜a1qn，即an＜an＋1，因此{an}是递增的等比数列；反之，若{an}是递增数列且a1＞0，则必有q＞1，故a1＜a2.答案：充要条件6．数列lgeq\f(210,1×2)，lgeq\f(210,2×3)，…，lgeq\f(210,nn＋1)，…中首次出现负值的项是第________项．解析：由lgeq\f(210,nn＋1)＜0得eq\f(210,nn＋1)＜1，∴n(n＋1)＞210，∴n＞14，∴n≥15.答案：15三、解答题(每小题10分，共20分)7．把数列{n2－9n}用列表法表示出来，并在直角坐标系中画出它的图像，并根据图像指出它的增减性．解析：列表n12345678…k…an－8－14－18－20－20－18－14－8…k2－9k…图像由图像直观地看出它在{1,2,3,4}是递减的，在{5,6,7,8，…}上是递增的．8．已知数列{an}满足an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n).数列{an}是递增数列还是递减数列？为什么？解析：∵an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)，∴an＋1＝eq\f(1,n＋1＋1)＋eq\f(1,n＋1＋2)＋eq\f(1,n＋1＋3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴an＋1－an＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋1)，又n∈N＋，∴2n＋1＜2(n＋1)，∴an＋1－an＞0，∴数列{an}是递增数列．eq\x(尖子生题库)☆☆☆9．(10分)写出满足条件的数列的前4项，并归纳出通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N＋)；(2)a1＝3，an＋1＝3an(n∈N＋)．解析：(1)由递推关系，得a1＝0＝02，a2＝a1＋(2×1－1)＝1＝12，a3＝a2＋(2×2－1)＝4＝22，a4＝a3＋(