高中数学人教B版1第一章常用逻辑用语第1章2

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为存在性命题的是()A．奇函数的图象关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0【解析】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在性命题，故选D.【答案】D2．下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，cosx<2B．∃x∈Z，log2(3x－1)<0C．∀x>0,3x>3D．∃x∈Q，方程eq\r(2)x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，eq\r(2)x－2＝0⇔x＝eq\r(2)∉Q，所以D是假命题．故选A.【答案】A3．有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π]，eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝eq\f(π,2).其中为假命题的是()A．p1，p4 B．p2，p4C．p1，p3 D．p2，p3【解析】sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1恒成立，p1错；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，p2对；当x∈[0，π]时，sinx≥0，∴eq\r(\f(1－cos2x,2))＝eq\r(sin2x)＝sinx，p3对；当x＝eq\f(2,3)π，y＝eq\f(π,6)时，sinx＝cosy成立，但x＋y≠eq\f(π,2)，p4错．【答案】A4．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x∈N，x2≤x；④∃x∈N＋，x为29的约数．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x＝0或x＝1时，有x2≤x成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x＝1时，x为29的约数成立，所以④为真命题．【答案】C5．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)【解析】f(x)＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＋eq\f(4ac－b2,4a)(a>0)，∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－eq\f(b,2a)，当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，∴∀x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．【答案】C二、填空题6．给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.【导学号：25650010】【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题，而③为存在性命题．【答案】①②④7．已知命题：“∃x0∈[1,2]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是______________．【解析】当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)8．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N*，都有an≠bn；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．【解析】命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有an<bn，即an≠bn，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列全称命题或存在性命题的真假．(1)∀x∈R，x2＋1≥1；(2)有一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0；(3)存在两个相交平面垂直于同一条直线．【解】(1)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1，所以全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(2)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以存在性命题“有一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0”(3)由于垂直于同一直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交平面垂直于同一条直线，所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．10．若x∈[－2,2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．【解】设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则此问题转化为当x∈[－2,2]时，f(x)min≥0即可．①当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3).又因为a>4，所以a不存在．②当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(12－4a－a2,4)≥0，解得－6≤a≤2.又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7.又因为a<－4，所以－7≤a<－4.综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．[能力提升]1．(2023·豫东、豫北十所名校联考)已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“∃x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定正确的是()A．a≥0 B．a<0C．b≤0 D．b>1【解析】函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足∃x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B.【答案】B2．下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是()A．存在一个α，使tan(90°－α)＝tanαB．存在实数x，使sinx＝eq\f(π,2)C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ【解析】B是存在性命题，但为假命题，C是全称命题，但为假命题，D为全称命题且为假命题．【答案】A3．已知函数f(x)＝x2＋m，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，若对任意x1∈[－1,3]，存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．【解析】因为对任意x1∈[－1,3]，f(x1)∈[m,9＋m]，即f(x)min＝m.存在x2∈[0,2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要满足g(x)min≤m即可，而g(x)是单调递减函数，故g(x)min＝g(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(1,4)，得m≥eq\f(1,4).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))4．已知a>eq\f(1,2)且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝eq\r(x＋|x－a|－2)的定义域为R，如果p∨q为真，试求a的取值范围.【导学号：25650011】【解】若p为真，则0<2a－1<1，得eq\f(1,2)<a<1.若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对∀x∈R恒成立．记