高中数学人教B版第二章平面向量 学业分层测评18

学业分层测评(十八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2023·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()＋e2和e1－e2－4e2和6e1－8e2＋2e2和2e1＋e2和e1＋e2【解析】B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底.【答案】B2.(2023·合肥高一检测)如图2­2­9，向量a－b等于()图2­2­9A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2－3e2－e2【解析】不妨令a＝eq\o(CA,\s\up13(→))，b＝eq\o(CB,\s\up13(→))，则a－b＝eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\o(BA,\s\up13(→))，由平行四边形法则可知eq\o(BA,\s\up13(→))＝e1－3e2.【答案】C3.(2023·大连高一检测)如图2­2­10，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，用a、b表示eq\o(AG,\s\up13(→))＝()图2­2­10\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b \f(1,3)a＋eq\f(1,3)b\f(3,4)a－eq\f(1,4)b \f(3,4)a＋eq\f(3,4)b【解析】易知eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(CE,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up13(→)).设eq\o(CG,\s\up13(→))＝λeq\o(CA,\s\up13(→))，则由平行四边形法则可得eq\o(CG,\s\up13(→))＝λ(eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＝2λeq\o(CE,\s\up13(→))＋2λeq\o(CF,\s\up13(→))，由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝eq\f(1,4)，从而eq\o(CG,\s\up13(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up13(→))，从而eq\o(AG,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)(a＋b).【答案】D4.若D点在三角形ABC的边BC上，且eq\o(CD,\s\up13(→))＝4eq\o(DB,\s\up13(→))＝req\o(AB,\s\up13(→))＋seq\o(AC,\s\up13(→))，则3r＋s的值为()\f(16,5) \f(12,5)\f(8,5) \f(4,5)【解析】∵eq\o(CD,\s\up13(→))＝4eq\o(DB,\s\up13(→))＝req\o(AB,\s\up13(→))＋seq\o(AC,\s\up13(→))，∴eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→)))＝req\o(AB,\s\up13(→))＋seq\o(AC,\s\up13(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5)，∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).【答案】C5.如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是()A.若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B.空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对【解析】选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对.【答案】A二、填空题6.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ【解析】由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))【答案】－eq\f(1,3)7.设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.【解析】因为a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝eq\f(a＋b,3)代入②得e1＝e2－b＝eq\f(a＋b,3)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，故有e1＋e2＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.【答案】eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b三、解答题8.如图2­2­11，平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))，其中eq\o(OA,\s\up13(→))与eq\o(OB,\s\up13(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up13(→))与eq\o(OC,\s\up13(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝1，eq\o(|OC,\s\up13(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up13(→))＝λeq\o(OA,\s\up13(→))＋μeq\o(OB,\s\up13(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.图2­2­11【导学号：72023056】【解】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→))＋eq\o(OE,\s\up13(→))，在Rt△OCD中，因为|eq\o(OC,\s\up13(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|eq\o(OD,\s\up13(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up13(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up13(→))＝4eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OE,\s\up13(→))＝2eq\o(OB,\s\up13(→))，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.9.(2023·马鞍山二中期末)如图2­2­12所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b.图2­2­12(1)用a，b表示eq\o(DE,\s\up13(→))；(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线.【解】(1)eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(AE,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝a＋eq\f(1,2)b－b＝a－eq\f(1,2)b.(2)证明：连接AC，BD交于O，则eq\o(CO,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up13(→))，∵E，F分别是BC，DC的中点，∴G是△CBD的重心，∴eq\o(GO,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CO,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\o(AC,\s\up13(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up13(→))，又C为公共点，∴A，G，C三点共线.[能力提升]1.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心【解析】eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)为eq\o(AB,\s\up13(→))上的单位向量，eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)为eq\o(AC,\s\up13(→))上的单位向量，则eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD,\s\up13(→))的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))的方向与eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)的方向相同.而eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))，∴点P在eq\o(AD,\s\up13(→))上移动，∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.【答案】B2.如图2­2­13所示，OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且eq\o(OP,\s\up13(→))＝xeq\o(OA,\s\up13(→))＋yeq\o(OB,\s\up13(→)).图2­2­13(1)求x的取值范围；(2)当x＝－eq\f(1,2)时，求y的取值范围.【解】(1)因为eq\o(OP,\s\up13(→))＝xeq\o(OA,\s\up13(→))＋yeq\o(OB,\s\up13(→))，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(－∞，0).(2)如图所示，当x＝－eq\f(1,2)时，在OA的反向延长线取点C，使OC＝eq\f(1,2)OA，过C作CE∥OB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，则CD＝eq\f(1,2)OB，CE＝eq\f(3,