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文档简介
学业分层测评(十八)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2023·衡水高一检测)设e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是()+e2和e1-e2-4e2和6e1-8e2+2e2和2e1+e2和e1+e2【解析】B中,∵6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴(6e1-8e2)∥(3e1-4e2),∴3e1-4e2和6e1-8e2不能作为基底.【答案】B2.(2023·合肥高一检测)如图229,向量a-b等于()图229A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2-3e2-e2【解析】不妨令a=eq\o(CA,\s\up13(→)),b=eq\o(CB,\s\up13(→)),则a-b=eq\o(CA,\s\up13(→))-eq\o(CB,\s\up13(→))=eq\o(BA,\s\up13(→)),由平行四边形法则可知eq\o(BA,\s\up13(→))=e1-3e2.【答案】C3.(2023·大连高一检测)如图2210,已知E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若eq\o(AB,\s\up13(→))=a,eq\o(AD,\s\up13(→))=b,用a、b表示eq\o(AG,\s\up13(→))=()图2210\f(1,4)a+eq\f(1,4)b \f(1,3)a+eq\f(1,3)b\f(3,4)a-eq\f(1,4)b \f(3,4)a+eq\f(3,4)b【解析】易知eq\o(CF,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up13(→)),eq\o(CE,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up13(→)).设eq\o(CG,\s\up13(→))=λeq\o(CA,\s\up13(→)),则由平行四边形法则可得eq\o(CG,\s\up13(→))=λ(eq\o(CB,\s\up13(→))+eq\o(CD,\s\up13(→)))=2λeq\o(CE,\s\up13(→))+2λeq\o(CF,\s\up13(→)),由于E,G,F三点共线,则2λ+2λ=1,即λ=eq\f(1,4),从而eq\o(CG,\s\up13(→))=eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up13(→)),从而eq\o(AG,\s\up13(→))=eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))=eq\f(3,4)(a+b).【答案】D4.若D点在三角形ABC的边BC上,且eq\o(CD,\s\up13(→))=4eq\o(DB,\s\up13(→))=req\o(AB,\s\up13(→))+seq\o(AC,\s\up13(→)),则3r+s的值为()\f(16,5) \f(12,5)\f(8,5) \f(4,5)【解析】∵eq\o(CD,\s\up13(→))=4eq\o(DB,\s\up13(→))=req\o(AB,\s\up13(→))+seq\o(AC,\s\up13(→)),∴eq\o(CD,\s\up13(→))=eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up13(→))=eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up13(→))-eq\o(AC,\s\up13(→)))=req\o(AB,\s\up13(→))+seq\o(AC,\s\up13(→)),∴r=eq\f(4,5),s=-eq\f(4,5),∴3r+s=eq\f(12,5)-eq\f(4,5)=eq\f(8,5).【答案】C5.如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么下列命题正确的是()A.若实数λ1,λ2,使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中λ1,λ2∈RC.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内D.对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对【解析】选项B错误,这样的a只能与e1,e2在同一平面内,不能是空间任一向量;选项C错误,在平面α内任一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式,故λ1e1+λ2e2一定在平面α内;选项D错误,这样的λ1,λ2是唯一的,而不是有无数对.【答案】A二、填空题6.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ【解析】由题意可以设a+λb=λ1(-b+3a)=3λ1a-λ1b,因为a与b不共线,所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1=3λ1,,λ=-λ1,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1=\f(1,3),,λ=-\f(1,3).))【答案】-eq\f(1,3)7.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=________.【解析】因为a=e1+2e2①,b=-e1+e2②,显然a与b不共线,①+②得a+b=3e2,所以e2=eq\f(a+b,3)代入②得e1=e2-b=eq\f(a+b,3)-b=eq\f(1,3)a-eq\f(2,3)b,故有e1+e2=eq\f(1,3)a-eq\f(2,3)b+eq\f(1,3)a+eq\f(1,3)b=eq\f(2,3)a-eq\f(1,3)b.【答案】eq\f(2,3)a-eq\f(1,3)b三、解答题8.如图2211,平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up13(→)),eq\o(OB,\s\up13(→)),eq\o(OC,\s\up13(→)),其中eq\o(OA,\s\up13(→))与eq\o(OB,\s\up13(→))的夹角为120°,eq\o(OA,\s\up13(→))与eq\o(OC,\s\up13(→))的夹角为30°,且|eq\o(OA,\s\up13(→))|=|eq\o(OB,\s\up13(→))|=1,eq\o(|OC,\s\up13(→))|=2eq\r(3),若eq\o(OC,\s\up13(→))=λeq\o(OA,\s\up13(→))+μeq\o(OB,\s\up13(→))(λ,μ∈R),求λ+μ的值.图2211【导学号:72023056】【解】如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则eq\o(OC,\s\up13(→))=eq\o(OD,\s\up13(→))+eq\o(OE,\s\up13(→)),在Rt△OCD中,因为|eq\o(OC,\s\up13(→))|=2eq\r(3),∠COD=30°,∠OCD=90°,所以|eq\o(OD,\s\up13(→))|=4,|eq\o(CD,\s\up13(→))|=2,故eq\o(OD,\s\up13(→))=4eq\o(OA,\s\up13(→)),eq\o(OE,\s\up13(→))=2eq\o(OB,\s\up13(→)),即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.9.(2023·马鞍山二中期末)如图2212所示,在▱ABCD中,E,F分别是BC,DC的中点,BF与DE交于点G,设eq\o(AB,\s\up13(→))=a,eq\o(AD,\s\up13(→))=b.图2212(1)用a,b表示eq\o(DE,\s\up13(→));(2)试用向量方法证明:A,G,C三点共线.【解】(1)eq\o(DE,\s\up13(→))=eq\o(AE,\s\up13(→))-eq\o(AD,\s\up13(→))=eq\o(AB,\s\up13(→))+eq\o(BE,\s\up13(→))-eq\o(AD,\s\up13(→))=a+eq\f(1,2)b-b=a-eq\f(1,2)b.(2)证明:连接AC,BD交于O,则eq\o(CO,\s\up13(→))=eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up13(→)),∵E,F分别是BC,DC的中点,∴G是△CBD的重心,∴eq\o(GO,\s\up13(→))=eq\f(1,3)eq\o(CO,\s\up13(→))=eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))eq\o(AC,\s\up13(→))=-eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up13(→)),又C为公共点,∴A,G,C三点共线.[能力提升]1.已知点O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足eq\o(OP,\s\up13(→))=eq\o(OA,\s\up13(→))+λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)+\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心【解析】eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)为eq\o(AB,\s\up13(→))上的单位向量,eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)为eq\o(AC,\s\up13(→))上的单位向量,则eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)的方向为∠BAC的角平分线eq\o(AD,\s\up13(→))的方向.又λ∈[0,+∞),∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)+\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))的方向与eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)的方向相同.而eq\o(OP,\s\up13(→))=eq\o(OA,\s\up13(→))+λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)+\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|))),∴点P在eq\o(AD,\s\up13(→))上移动,∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.【答案】B2.如图2213所示,OM∥AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且eq\o(OP,\s\up13(→))=xeq\o(OA,\s\up13(→))+yeq\o(OB,\s\up13(→)).图2213(1)求x的取值范围;(2)当x=-eq\f(1,2)时,求y的取值范围.【解】(1)因为eq\o(OP,\s\up13(→))=xeq\o(OA,\s\up13(→))+yeq\o(OB,\s\up13(→)),以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形,由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线,当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-∞,0).(2)如图所示,当x=-eq\f(1,2)时,在OA的反向延长线取点C,使OC=eq\f(1,2)OA,过C作CE∥OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E,则CD=eq\f(1,2)OB,CE=eq\f(3,
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