高中数学人教A版3第一章计数原理单元测试 高质作品

1.2排列与组合第三课时组合与组合数公式一、课前准备1．课时目标(1)理解组合的定义，能区分一个问题是组合还是排列；(2)熟记组合数公式，能利用组合数进行熟练的计算；2．基础预探1．一般地，从个不同的元素中，任意取出个元素，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.2．从个不同的元素中，任意取出个元素的个数，叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数，用符号表示.3．组合数的计算公式：=，由于，所以__________（,并且ｍ≤ｎ）。4．组合数的性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②二、学习引领1.处理组合问题应注意什么？①组合要求ｎ个元素是不同的，被取的ｍ个元素也是不同的，即从ｎ个不同元素中进行ｍ次不放回的取出.②组合定义中包含了两点：一是“取出元素”，二是“并成一组”即与元素的顺序无关，无序性是组合的本质.如从某班中找出10名同学为组合，若找出10名同学后再排成一队则为排列问题。③如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同，即使只有一个元素不相同，就不是相同的组合.2.组合与排列有何异同？组合与排列的共同点是都要“从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”.不同点是前者是“不管顺序并成一组”，而后者要“按照一定顺序排成一列”.区分某一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.3.组合数的计算有什么技巧？①“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是一个具体的事件，不是一个数；而“组合数”是符合条件的所有组合的个数，它是一个数.②利用组合数公式进行计算、证明时，要注意隐含条件ｍ≤ｎ且n为整数.③计算时还要灵活运用组合数的性质，若ｍ比较大，可利用性质；不计算而改为计算；在计算多个组合数和时，注意性质.三、典例导析题型一简单的组合问题的应用例1甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种思路分析:本题的解决要分为三步，甲选2门，乙选3门，丙选3门，然后利用分步乘法计数原理得到总的种数。解：甲先从4门课程中选修2门，乙、丙再选修3门，则不同的选修方案共有种，故选C.方法规律：按元素性质分类，按事件发生的过程分步是处理排列、组合问题的基本思想方法.组合问题只需按事件发生的过程分步完成即可，与“谁先取，谁后取”，对结果没有影响.变式训练：某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种(用数字作答).答案:：A题型二组合数的简单应用例2已知,求的值.思路导析：先将等式利用组合数公式展开化简，得到关于m的方程求解。解：因为，所以，解得或x=21（舍去）所以方法规律：解和组合数有关的方程、不等式、求值、证明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条件.组合数公式有两种形式，乘积式主要用于计算，阶乘式主要用于化简或证明.变式训练：解方程:题型三组合数的综合应用例3已知，求x的值。思路导析:利用公式将原式合并后，再利用组合数相等建立关于x的方程求解。解析：由得所以或解得或又因为，所以，所以规律总结：利用组合数公式求和时，注意的应用，特别留意两个式子上标差1，下标相同时。变式训练：计算四、随堂练习1.给出下面几个问题，其中是组合问题的有()①由1，2，3，4构成的2元素集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1，2，3组成两位数的不同方法数；④由1，2，3组成无重复数字的两位数．A①③B②④C①②D．①②④2．若，则的值为().A．6B．7C．8D．93.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为（）A.100B.110C.120D.1804.某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是____。5．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的结果数有_______________。6.有10名教师,其中男教师6名,女教师4名现要从中选2人去参加会议,有多少种不同的选法?现要从中选出男、女教师各两名去参加会议,有多少种不同的选法?五、课后作业1.从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A85B56C49D282.计算的值为（）A120B240C60D4803.安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.4．在一个半圆周上共有12个点，如图，以这些点为顶点，可以画出____个三角形．5．计算：(1)；(2).6.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？参考答案:1.2排列与组合第三课时组合与组合数公式一、课前准备2．基础预探1.合成一组2.不同组合3.4.三、典例导析例1变式训练答案:A解析：方法一：可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.方法二:不加任何限制共有种，去掉全选A类选修课共种，再去掉全选B类选修课共种，适合题意的种数有。例2变式训练解:由已知可得或,解得x=1或x=5,或x=-7,或x=3.当x=1时,有符合题意,同理可验证x=3与x=5也成立,当x=-7时,5x-5=-40显然不符合组合数公式,所以方程的解集为{1,3,5}.例3变式训练解：四、随堂练习1.答案:C解析：对于①．两个元素的集合，与元素的顺序无关，是组合问题；对于②．单循环比赛，只需两个队比赛一场，与两个队的顺序无关，是组合问题；对于③．组成的两位数，若取出的是同一个数字，则与顺序无关，是组合问题，若两次取出的不是同一数字，则是排列问题；对于④，由③可知是排列问题．2．答案:B解析：由，得，故.3.答案:B解析：10人中任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，所以符合要求的组队方案数为110种.4.答案:16解析：从6所高校中选取3所学校进行考试，一共有种不同的报考方法，除去两所学校的考试时间相同的报考数，故共有种不同的报考方法。5．答案:60解析：编号之和为奇数共有2类情况，一类是2个球的编号为偶数一个球的编号为奇数，一类是三个球的编号都为奇数，故结果数共有CC+C=60.6.解:(1)相当于从10个元素中选出2个元素的组合数,有个.(2)选两名男教师有种不同的选法,选两名女教师有种不同的选法,,共有15×6=90种不同的选法.五、课后作业1.答案:C解析：分为两类：一类是甲乙两人只有一人入选的选法有：，另一类是甲乙都入选法有=7，所以共有42+7=49，故选C.2.答案:A解析：3.答案:60解析