高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试【全国一等奖】

选修2-2第一章第2课时一、选择题1．已知eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，则eq\i\in(a,b,)6f(x)dx等于eq\x(导学号10510335)()A．6 B．6(b－a)C．36 D．不确定[答案]C[解析]eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝6eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝36.故应选C.2．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0，,2xx<0，))则eq\i\in(,1,)－1f(x)dx的值是eq\x(导学号10510336)()\i\in(－1,1,)x2dx B．eq\i\in(－1,1,)2xdx\i\in(－1,0,)x2dx＋eq\i\in(0,1,)2xdx \i\in(－1,0,)2xdx＋eq\i\in(0,1,)x2dx[答案]D[解析]由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.3．若eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝1，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝－3，则eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝eq\x(导学号10510337)()A．2 B．－3C．－1 D．4[答案]C[解析]eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝2eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝2×1－3＝－1.4．由函数y＝－x的图象，直线x＝1、x＝0、y＝0所围成的图形的面积可表示为eq\x(导学号10510338)()\i\in(0,1,)(－x)dx B．eq\i\in(0,1,)|－x|dx\i\in(－1,0,)xdx D．－eq\i\in(0,1,)xdx[答案]B[解析]围成图形如图，由定积分的几何意义可知，所求图形面积S＝－eq\i\in(0,1,)(－x)dx＝eq\i\in(0,1,)|－x|dx，故选B.5．eq\i\in(0,2π,)cosxdx＝eq\x(导学号10510339)()A．0 B．πC．－π D．2π[答案]A[解析]作出[0,2π]上y＝cosx的图象如图，由y＝cosx图象的对称性和定积分的几何意义知，阴影部分在x轴上方和下方部分的面积相等，积分值符号相反，故eq\i\in(0,2π,)cosxdx＝0.6．下列命题不正确的是eq\x(导学号10510340)()A．若f(x)是连续的奇函数，则eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则eq\i\in(a,b,)f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b)上连续且eq\i\in(a,b,)f(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正[答案]D[解析]本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．二、填空题7．由y＝sinx、x＝0、x＝eq\f(π,2)、y＝0所围成的图形的面积可以写成________.eq\x(导学号10510341)[答案]eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\s\up4(\f(π,2)),))sinxdx[解析]由定积分的几何意义可得．\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝\x(导学号10510342)[答案]12[解析]如图A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△MBC＝eq\f(1,2)×4×8＝16，∴eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝16－4＝12.9．设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分eq\i\in(0,1,)f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值为\x(导学号10510343)[答案]eq\f(N1,N)[解析]因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：eq\i\in(0,1,)f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积．又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为eq\f(N1,N)×1＝eq\f(N1,N)，即eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\f(N1,N).三、解答题10．利用定积分的几何意义，解释下列等式.eq\x(导学号10510344)(1)eq\i\in(0,1,)2xdx＝1；(2)eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).[解析](1)eq\i\in(0,1,)2xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0、x＝1、y＝0所围成的图形的面积，如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝eq\f(1,2)×1×2＝1，故eq\i\in(0,1,)2xdx＝1.(2)eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx表示由曲线y＝eq\r(1－x2)，直线x＝－1、x＝1、y＝0所围成的图形面积(而y＝eq\r(1－x2)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝eq\f(π,2)，故eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).一、选择题1．(2023·威海高二检测)已知t>0，若eq\i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8，则t＝eq\x(导学号10510345)()A．1 B．－2C．－2或4 D．4[答案]D[解析]作出函数f(x)＝2x－2的图象与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，∵eq\i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8，且eq\i\in(0,1,)(2x－2)dx＝－1，∴t>1，∴S△AEF＝eq\f(1,2)|AE||EF|＝eq\f(1,2)×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故选D.2．下列等式不成立的是eq\x(导学号10510346)()\i\in(a,b,)[mf(x)＋ng(x)]dx＝meq\i\in(a,b,)f(x)dx＋neq\i\in(a,b,)g(x)dx\i\in(a,b,)[f(x)＋1]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋b－a\i\in(a,b,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx·eq\i\in(a,b,)g(x)dx\i\in(－2π,2π,)sinxdx＝eq\i\in(－2π,0,)sinxdx＋eq\i\in(0,2π,)sinxdx[答案]C[解析]利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．例如eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\f(1,2)，eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\f(1,3)，eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4).但eq\i\in(0,1,)x3dx≠eq\i\in(0,1,)xdx·eq\i\in(0,1,)x2dx.故选C.二、填空题3．已知f(x)是一次函数，其图象过点(3,4)且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1，则f(x)的解析式为_________.eq\x(导学号10510347)[答案]f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5)[解析]设f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)图象过(3,4)点，∴3a＋b又eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax＋b)dx＝aeq\i\in(0,1,)xdx＋eq\i\in(0,1,)bdx＝eq\f(1,2)a＋b＝1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝4，,\f(1,2)a＋b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,5)，,b＝\f(2,5).))∴f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5).4．比较大小：eq\i\in(－2,0,)exdx________eq\i\in(－2,0,)\x(导学号10510348)[答案]>[解析]eq\i\in(－2,0,)exdx－eq\i\in(－2,0,)xdx＝eq\i\in(－2,0,)(ex－x)dx，令f(x)＝ex－x(－2≤x≤0)，则f′(x)＝ex－1≤0，∴f(x)在[－2,0]上为减函数，又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，由定积分的几何意义又知eq\i\in(－2,0,)f(x)dx>0，则由定积分的性质知，eq\i\in(－2,0,)exdx>eq\i\in(－2,0,)xdx.三、解答题5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3x∈[－2，2，,2xx∈[2，π，,cosxx∈[π，2π].))求f(x)在区间[－2,2π]上的积分.eq\x(导学号10510349)[解析]由定积分的几何意义知eq\i\in(－2,2,)x3dx＝0，eq\i\in(2,π,)2xdx＝eq\f(π－22π＋4,2)＝π2－4，eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝0，由定积分的性质得eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,2,)x3dx＋eq\i\in(2,π,)2xdx＋eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝π2－4.6．已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，eq\x(导学号10510350)求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.[解析](1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3(eq\i\in(0,1,)x3dx＋eq\i\in(1,2,)x3dx)＝3×(eq\f(1,4)＋eq\f(15,4))＝12.(2)eq\i