高中数学人教A版5用数学归纳法证明不等式

第四讲一一、选择题1．下列命题中能用数学归纳法证明的是()A．三角形的内角和为180°B．(1－n)(1＋n＋n2＋…＋n100)＝1－n101(n∈R)\f(1,nn＋1)＋eq\f(1,n＋1n＋2)＋eq\f(1,n＋2n＋3)＝eq\f(3,nn＋3)(n＞0)D．cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(sin2α,2sinα)(sinα≠0，n∈N＋)解析：因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，只有D符合要求．答案：D2．某个命题：(1)当n＝1时，命题成立(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时成立，可以推出n＝k＋2时也成立，则命题对________成立()A．正整数 B．正奇数C．正偶数 D．都不是解析：由题意知，k＝1时，k＋2＝3；k＝3时，k＋2＝5，依此类推知，命题对所有正奇数成立．答案：B3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)解析：因为是奇数，所以排除C、D，又当k∈N*时，A中2k＋1取不到1，所以选B.答案：B4．空间中有n个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k个这样的平面把空间分成f(k)个区域，则k＋1个平面把空间分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋________.()A．k＋1 B．kC．k－1 D．2k解析：空间中有个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，则当n＝k＋1时，即增加一个平面，所以与k个平面都相交有k条交线，一条交线把平面分成两部分，所以k条交线把平面分成2k部分；一部分平面又把空间分为两部分，故新增加的空间区域为2k部分．答案：D二、填空题5．用数学归纳法证明eq\f(1,2)＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝eq\f(1,sinα)·sineq\f(2n＋1,2)α·coseq\f(2n－1,2)α(α≠nπ，n∈N)，在验证n＝1等式成立时，左边计算所得的项是________．解析：由等式的特点知，当n＝1时，左边从第一项起，一直加到cos(2n－1)α.答案：eq\f(1,2)＋cosα6．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，从n＝k到n＝k＋1一步时，等式左边应增添的式子是________．解析：等式左边从k到k＋1需增加的代数式可以先写出n＝k时两边，再将式子中的n用k＋1来代入，得出n＝k＋1时的等式，然后比较两式，得出需增添的式子是(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k.答案：(3k－1)＋3k＋(3k＋1)－k三、解答题7．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式成立．由(1)(2)可知对任何n∈N＋等式均成立．8．用数学归纳法证明：34n＋2＋52n＋1能被14整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，34×1＋2＋52×1＋1＝36＋53＝854＝61×14，能被14整除．(2)假设当n＝k时，命题成立，即34k＋2＋52k＋1能被14整除，则当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k＋6＋52k＋3＝34·34k＋2＋34·52k＋1－34·52k＋1＋52·52k＋1＝34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1(34－52)＝34(34k＋2＋52k＋1)－56·52k＋1，由此可知，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1也能被14整除．这就是说，当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对任何n∈N*,34n＋2＋52n＋1能被14整除．9．有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．证明：(1)当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)＝2，又n＝1时，n2－n＋2＝2，∴命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分，那么设第k＋1个圆为⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k个圆相交于2