高中数学人教B版3第一章计数原理排列与组合学业分层测评5

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.以下四个命题，属于组合问题的是()A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【解析】从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.【答案】C2.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为() 【解析】由于“村村通”公路的修建，是组合问题.故共需要建Ceq\o\al(2,8)＝28条公路.【答案】C3.组合数Ceq\o\al(r,n)(n>r≥1，n，r∈N)恒等于()\f(r＋1,n＋1)Ceq\o\al(r－1,n－1) B.(n＋1)(r＋1)Ceq\o\al(r－1,n－1)\o\al(r－1,n－1) \f(n,r)Ceq\o\al(r－1,n－1)【解析】eq\f(n,r)Ceq\o\al(r－1,n－1)＝eq\f(n,r)·eq\f(n－1！,r－1！n－r！)＝eq\f(n！,r！n－r！)＝Ceq\o\al(r,n).【答案】D4.满足方程Cx2－x16＝Ceq\o\al(5x－5,16)的x值为(),3,5，－7 ,3,3,5 ,5【解析】依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意.【答案】B5.异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是() \o\al(3,9) \o\al(2,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)【解析】分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定Ceq\o\al(1,4)个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定Ceq\o\al(1,5)个平面.故可确定Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)＝9个不同的平面.【答案】B二、填空题\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)的值等于________.【解析】原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(17,21)＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(18,22)＝Ceq\o\al(4,22)＝7315.【答案】73157.设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个.【解析】从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有Ceq\o\al(3,5)＝10个子集.【答案】10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________.(用数字作答)【解析】从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有Ceq\o\al(4,10)＝210种分法.【答案】210三、解答题9.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【解】从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,3×2×1)＝20个.10.(1)求式子eq\f(1,C\o\al(x,5))－eq\f(1,C\o\al(x,6))＝eq\f(7,10C\o\al(x,7))中的x；(2)解不等式Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8).【解】(1)原式可化为：eq\f(x！5－x！,5！)－eq\f(x！6－x！,6！)＝eq\f(7·x！7－x！,10·7！).∵0≤x≤5，∴x2－23x＋42＝0，∴x＝21(舍去)或x＝2，即x＝2为原方程的解.(2)由eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，得eq\f(1,9－m)>eq\f(3,m)，∴m>27－3m，∴m>eq\f(27,4)＝7－eq\f(1,4).又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N，即7≤m≤8，∴m＝7或8.[能力提升]1.已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所有线段在圆内的交点有()个 个个 个【解析】此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对角线交点个数即为所求，所以交点为Ceq\o\al(4,9)＝126个.【答案】D2.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有()种 种种 种【解析】可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法.【答案】C3.对所有满足1≤m<n≤5的自然数m，n，方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1所表示的不同椭圆的个数为________.【解析】∵1≤m<n≤5，所以Ceq\o\al(m,n)可以是Ceq\o\al(1,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)，Ceq\o\al(2,5)，Ceq\o\al(3,5)，Ceq\o\al(4,5)，其中Ceq\o\al(1,3)＝Ceq\o\al(2,3)，Ceq\o\al(1,4)＝Ceq\o\al(3,4)，Ceq\o\al(1,5)＝Ceq\o\al(4,5)，Ceq\o\al(2,5)＝Ceq\o\al(3,5)，∴方程x2＋Ceq\o\al(m,n)y2＝1能表示的不同椭圆有6个.【答案】64.证明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\