一建、工程造价单利复利计算

利息与利率累积函数（本息）,终值实际利率单利复利名义利率利息力利息：贴现：实际贴现率名义贴现率贴现力1、利息：利息（interest)是在一定时期内借款为了一笔资金而付给出借者的报酬。（1）资金拥有者角度：希望从自己的出借中得到补偿；（2）资金使用者角度：必须付给出借者一定的报酬以获得使用资金的权利。因此，利息可被视为借款者所缴纳的租金，用以补偿出借者因为不能使用这笔资金而蒙受的损失。1.1累积函数（accumulationfunction):指期初的一元本金在t时刻的本金累积值，通常记为a(t)，具有以下性质：a(0)=1;a(t)为时间t的递增函数，即利息是非负的。若期初本金不为1，为A(0)，则在t时刻的累积函数为：A(t)=A(0)a(t)，a(t)=A(t)/A(0).用I(t)表示0～t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0).1.1.2实际利率(effectiverateofinterest)实际利率指的是一元本金在期末时赚取的利息，通常用百分数表示，例如i=5％。

用累积函数表示：1.1.3单利（simpleinterest)定义：指只对本金计算利息，而对前期已经产生的利息在后期不再产生利息。在单利条件下，每期的利息都是常数。若a(0)=1，则a(t)=1+it，t=0,1,2,…。a(t)1+i101t1+it图1单利的累积函数单利与实际利率的关系：在单利条件下，从t时刻起的实际利率为：由右式可以看到，随着时间t的增大，实际利率越来越低。1.1.4复利（compoundinterest)定义复利指前期赚取的利息在后期会继续产生利息。这意味着前期的利息将自动进行投资。设年利率为i，那么1元本金在第一年末的利息为i，本息累积值a(1)=1+i，作为第二年的本金进行投资;第二年末赚取的利息为i(1+i)，累积值为(1+i)*(1+i)，做为第二年的本金进行投资;……第n年末赚取的利息为i(1+i)n-1，累积值为(1+i)*(1+i)n-1=(1+i)n

，做为第n+1年的本金进行投资.实际上，对非整数的t年末，累积值a(t)＝(1＋i)t

也成立。（将月，日转化为年做单位）。例2若复利的年利率为5%，初始本金为2000元，试计算（1）9个月后的累积值；（2）在2年零三个月后的累积值。解：9个月等于0。75年，故9个月的累积值为2年3个月等于2.25年，故2年3个月后的累积值为复利与实际利率的关系：在复利条件下，从t时刻起的实际利率为：由右式可以看到，在复利条件下，实际利率等于实际利率。例3小张从银行借款20000元，4年后需偿还25249.54元，请计算该笔借款的年实际利率。解令（年）实际利率为i，则根据题意得1.1.5名义利率（nominalrateofinterest)名义利率指给定一年的年利率，但是该利率是分多次结转。给出名义利率是为了给出不足一年的区间的实际利率。例如，银行的贷款利率为12％（一般指年利率），如果借款人从银行借得期限为1年，金额为100元的贷款，则一年的利息为12元。如果银行要求年末支付利息，则12％为实际利率。如果银行要求每个月末支付一次利息1元，那么12％就为名义利率，一个月的实际利率为1％。反之，如果一个月的实际利率为1％，则年名义利率为12％。如果一个季度的实际利率为2％，则年名义利率为8％。年名义利率必须与一年所包含的小区间（月，季度等）相联系例年名义利率为12％，每年结转4次（或每个季度复利一次），则月实际利率为12％/4=3％，年实际利率为(1+3%)4-1=12.55%如果年名义利率为i，复利m次，则年实际利率为令则年实际利率年累积值（本息）为t年累积值（本息）为例42000元的本金按每年复利4次的年名义利率6％投资，试计算2年零6个月后的累积值。解名义利率为6％，每年复利4次，即每季度复利一次，季度利率为6％/4=1.5%.(法一)2年零6个月等于10季度，故10个季度后累积值为2000*(1+1.5%)10=2321.08(元)(法二)年实际利率为(1+1.5%)4－1=6.137%.故2年零6个月后的累积值为2000*(1+6.137%)2.5=2321.08(元)表1年实际利率随复利次数的变化情况

（年名义利率为10％）复利次数年实际利率年初1000元本金年末的本息(累积值）1(每年复利1次)0.100001100.002(每半年复利1次)0.102501102.504(每季度复利1次)0.103811103.8112(每月复利1次)0.104711104.7152(每周复利1次)0.105071105.07365(每天复利1次)0.105161105.161.1.6利息力（forceofinterest)定义利息力指的是资本在任意一个时间点上获取利息的能力。

t时刻的利息力可用累积值来表示：上式中，表示的是在区间内产生的利息。每个区间的实际利率与一年所包含的区间个数相乘就是年名义利率一年内包含的区间个数为意味着连续结转利息(即连续复利).因此，利息力是连续结转利息时的名义利率。由利息力得到累积函数：由利息力的定义式关于s在[0，t]上进行积分得用s代替t，若初始资本不为1，为A(0)，t时刻累积值为A(t)，有

表示金额A(s)在ds时段内因利息力的作用而赚取的利息。将其在[0,t]上积分，得到在t个度量期内赚取的利息总额。1.2终值、现值与贴现由于贷出货币具有收益（获得利息），持有货币具有成本（需要支付或损失利息），因此，在不同时间获得的货币其价值是不同的。现在获得的一定量的货币比未来获得的等量货币具有更高的价值。这就是货币的时间价值（TimeValueofMoney）。这种货币的时间价值可以通过计算现金流的现值或终值来反映。1.2.1终值与终值系数终值(FutureValue)是用复利计息方法计算的一笔投资在未来某个时间获得的本息和，计算公式为:式中，A(t)为t年后的本息和，即以复利计算的t年终值。A（0）为初始本金。与初始本金A（0）相乘的系数(1+i)t称为终值系数，本质是1元本金在t年后的累积值,故为

a(t)。利率相同，期限相同的投资的终值系数是相同的，因此，不同金额的投资的终值是其投资额与同一终值系数的乘积。如果现在的X在1年后的终值为Y，意味着如果想在1年后想得到的价值为Y的资金，必须在当前投资X。即：Y的现在价值为X,简称现值。例如：年实际利率为5%，则当前的1000元在一年后的终值为1050元，而一年末的1050元，在当前的现值为1000元。如果在t期末获得1元的累积值，期初的本金应该是多少？这是一个求现值的问题。求现值的过程也被称作贴现过程。显然贴现过程与累积过程是互逆的。1.2.2现值与贴现系数复利的贴现系数为：

a-1(t)=1/(1+i)t=v

t

v=1/(1+i)称为贴现因子。v的意义：第一期末的一元钱的期初本金。期初的x元在t期末的累积值为x(1+i)t,t期末的y元在期初的现值为yv

t=y(1+i)-t。如果在t期末希望获得1元终值,期初的本金就应该是a-1(t)。称a-1(t)为贴现系数（discountfactor)。例

假设复利的年利率为5%。（1）如果希望在9个月末获得2000元；（2）如果希望在2年零3个月后获得2000元，试分别计算期初的本金应为多少？解：贴现的本质是预付利息：0时刻1时刻1元1+i