高中数学苏教版3第二章概率2．2超几何分布 第2章超几何分布

超几何分布1．了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布的概率及表示阅读教材P53～P55，完成下列问题．一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,M)C\o\al(n－r,N－M),C\o\al(n,N))记为H(r；n，M，N)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的总体中只有两类物品．()(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．()(3)若X～H(n，M，N)，则n≤M.()(4)超几何分布X～H(n，M，N)中n是随机一次取出的样本容量，M是总体中不合格产品的总数，N是总体中的个体总数．()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.【解析】P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,4.【答案】eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(4－r,5),C\o\al(4,10))，r＝0,1,2,3,43．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________.【导学号：29440038】【解析】由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28).【答案】eq\f(15,28)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]超几何分布的辨析下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．【精彩点拨】eq\x(总体是否由两类个体构成)→eq\x(随机变量是否为样本中一类个体的个数)→eq\x(是否为不放回抽样)【自主解答】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．[再练一题]1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.【解析】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．【答案】①②超几何分布的概率现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为eq\f(1,7).(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．【精彩点拨】(1)利用古典概型求解．(2)借助超几何分布的概率公式求解．【自主解答】(1)设甲班的学生人数为M，则eq\f(C\o\al(2,M),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7).即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4),C\o\al(2,7))＋eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,4),C\o\al(2,7))＝eq\f(4,7)＋eq\f(1,7)＝eq\f(5,7).求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解.[再练一题]2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？【解】设X表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X服从参数为N＝10，M＝5，n＝5的超几何分布．X的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X的分布列为P(X＝r)＝eq\f(C\o\al(r,5)C\o\al(5－r,5),C\o\al(5,10))(r＝0,1,2,3,4,5)．若要获得精美小礼品，只需X≥2，故获得精美小礼品的概率为P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq\f(C\o\al(0,5)C\o\al(5,5),C\o\al(5,10))－eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(4,5),C\o\al(5,10))＝eq\f(113,126).若要获赠一套丛书，必须X＝5，故获赠一套丛书的概率为P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(5,5)C\o\al(0,5),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,252).[探究共研型]两点分布与超几何分布探究1利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X25PX不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.探究3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．【精彩点拨】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,10))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).因此X的分布列为X01Peq\f(3,5)eq\f(2,5)(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,4)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(30,45)＝eq\f(2,3).②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3)，P(Y＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(18,45)＝eq\f(2,5)，P(Y＝20)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(0,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15)，P(Y＝50)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15)，P(Y＝60)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,45)＝eq\f(1,15).因此随机变量Y的分布列为Y010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)1．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．[再练一题]3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝11)＝eq\f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列为X3711Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)[构建·体系]1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．【解析】设随机变量X为抽到白球的个数，X服从超几何分布，由公式，得P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(4×10,84)＝eq\f(10,21).【答案】eq\f(10,21)2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.【导学号：29440039】【解析】P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,6),C\o\al(3,10))＋eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(29,30).【答案】eq\f(29,30)3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋中装有6个白球，6个红球，今从两袋内任意取出1个球，设取出的白球个数为X，则P(X＝1)＝________.【解析】P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,6)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(1,12)C\o\al(1,12))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)4．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人